I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік

I-Тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері

§ 1. Арифметикалық векторлық кеңістік

Векторлар кіші латын әріптерімен белгіленеді: a, b, x, y₁,....

немесе баған түрінде:­­

жазылады. Қалай жазылса да _i скаляры a векторының i-координатасы деп аталады, i = 1, 2,…, n.

Егер a = (α₁, α₂, …, α_n) және b = (β₁, β₂, …, β_n) векторларына α₁ = β₁, α₂ = β₂,…, α_n = β_n болса, онда a және b векторлары тең деп аталады (сәйкес координаталары тең болса).

Берілген a және b векторларының қосындысы:

a + b = (α₁ + β₁, α₂ + β₂, …, α_n + β_n),

деп анықталады (сәйкес координаталары қосылады).

Мысалы, a = (1, –3, 5, 2), b = (4, 6, –3, 1)  R⁴ векторларына a + b = (1 + 4, –3 + 6, 5 – 3, 2 + 1) = (5, 3, 2, 3).

Берілген a = (α₁, α₂, …, α_n) векторын  скалярына көбейту:

деп анықталады (вектордың әрбір координатасы -ға көбейтіледі).

Мысалы, a = (1, –4, 5, 3)  R⁴ векторына 5a = (5, –20, 25, 15).

Теорема 1. n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістігінің векторларына келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген a, b, c векторларына (a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативтік заң.

4. Кез келген a, b векторларына a + b = b + a – коммутативтік заң.

5. Кез келген α, β скалярларына және кез келген a векторына (αβ)a = α(βa).

6. Кез келген α скалярына және кез келген a, b векторларына α(a + b) = αa + αb.

7. Кез келген α, β скалярларына және кез келген a векторына (α + β)a = αa + βa.

8. Кез келген a векторына 1 a = a.

Осы сегіз шарт векторлық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.

Дәлелдеу. 1. a = (α₁, α₂, …, α_n), b = (β₁, β₂, …, β_n), c = (γ₁, γ₂, …, γ_n) векторлары берілсін. Бір жағынан, a + b = (α₁ + β₁, α₂ + β₂, …, α_n + β_n), (a + b) + c = ((α₁ + β₁) + γ₁, (α₂ + β₂) + γ₂, …, (α_n + β_n) + γ_n). Екінші жағынан, b + c = (β₁ + γ₁, β₂ + γ₂,…, β_n + γ_n), a + (b + c) = (α₁+ (β₁ + γ₁), α₂ + (β₂ + γ₂), …, α_n + (β_n + γ_n)).

Кез келген α_i, β_i, γ_i скалярларына (α_i + β_i) + γ_i = α_i + (β_i + γ_i). Сондықтан (a + b) + c және a + (b + c) векторларының сәйкес координаталары тең. Анықтама бойынша, осы векторлар тең болады: (a + b) + c = a + (b + c).

3-қасиеттегі b векторы берілген a векторына қарама-қарсы вектор деп аталады және –a деп белгіленеді.

Осыған ұқсас қалған қасиеттер дәлелденеді.

Векторларды азайту амалы қосу мен қарама-қарсы вектор арқылы анықталады:

1. a₁ = (4, 7, –1, 3), a₂ = (3, –2, –6, –4), a₃ = (6, –6, 6, –1), ₁ = 3, ₂ = 3, ₃ = 7;

2. a₁ = (–5, –2, 4, 3), a₂ = (–2, 2, 4, –2), a₃ = (3, 0, –5, 7), ₁ = 0, ₂ = 3, ₃ = 4;

3. a₁ = (–3, 5, –2, –2), a₂ = (–4, 5, 4, –6), a₃ = (1, –3, 3, –2), ₁ = –4, ₂ = 1, ₃ = 2;

4. a₁ = (6, –3, 7, 3), a₂ = (–3, 2, –2, 4), a₃ = (7, –2, –5, –4), ₁ = –6, ₂ = –2, ₃ = 2;

5. a₁ = (5, –4, –1, 2), a₂ = (–5, 2, 1, –2), a₃ = (–3, –6, –2, 1), ₁ = 5, ₂ = –6, ₃ = –1;

6. a₁ = (6, 3, 3, –6), a₂ = (–3, 4, 0, 2), a₃ = (–4, 3, 0, –2), ₁ = –3, ₂ = –6, ₃ = 3;

7. a₁ = (6, 5, 1, –2), a₂ = (7, –1, –6, 6), a₃ = (–4, 4, 4, –1), ₁ = 7, ₂ = –6, ₃ = 2;

8. a₁ = (4, 1, –5, –2), a₂ = (1, –3, –2, 0), a₃ = (2, 4, 5, 1), ₁ = 0, ₂ = –2, ₃ = 2;

9. a₁ = (7, –3, 6, 2), a₂ = (–2, 5, 0, –5), a₃ = (–4, 6, 6, –1), ₁ = –5, ₂ = –3, ₃ = 3;

10. a₁ = (2, 7, –1, 2), a₂ = (–2, –3, –6, –3), a₃ = (7, 1, –3, 5), ₁ = –4, ₂ = –1, ₃ = 5;

11. a₁ = (1, –5, 0, 4), a₂ = (–5, –1, 4, 7), a₃ = (0, 7, 5, 2), ₁ = –2, ₂ = –2, ₃ = –4;

12. a₁ = (–5, –5, 2, 5), a₂ = (–2, 1, 2, 4), a₃ = (–6, 5, 7, 0), ₁ = 4, ₂ = 3, ₃ = 7;

13. a₁ = (2, –3, 4, 2), a₂ = (1, 0, –2, 2), a₃ = (4, 1, –5, 5), ₁ = 4, ₂ = –6, ₃ = –6;

14. a₁ = (3, 4, –5, 3), a₂ = (6, –1, 5, 0), a₃ = (6, –5, –6, 7), ₁ = 2, ₂ = –1, ₃ = 7;

15. a₁ = (–2, –3, 3, 7), a₂ = (5, 1, 1, 3), a₃ = (1, 1, 6, 3), ₁ = –4, ₂ = –5, ₃ = 3;

16. a₁ = (–2, –6, 5, –2), a₂ = (–6, 6, 4, –6), a₃ = (–2, 1, 3, 1), ₁ = –5, ₂ = –6, ₃ = –3;

17. a₁ = (–1, 1, 2, 2), a₂ = (6, –3, 7, –5), a₃ = (–1, 2, –6, –2), ₁ = –2, ₂ = –4, ₃ = –4;

18. a₁ = (7, –5, 2, –6), a₂ = (5, 5, 7, 7), a₃ = (0, 4, 2, 0), ₁ = –2, ₂ = 0, ₃ = –3;

19. a₁ = (2, –2, 0, 6), a₂ = (–3, –6, 6, 4), a₃ = (1, 1, –6, –6), ₁ = –6, ₂ = –3, ₃ = –4;

20. a₁ = (1, –2, –2, 6), a₂ = (–6, 4, –4, 5), a₃ = (1, 6, –2, 0), ₁ = –1, ₂ = –6, ₃ = –4;

21. a₁ = (–3, 2, –6, 7), a₂ = (–2, 4, 2, 3), a₃ = (6, 1, 2, –3), ₁ = 6, ₂ = –5, ₃ = –4;

22. a₁ = (6, 3, –6, 0), a₂ = (5, 6, –4, 2), a₃ = (2, –4, 0, –3), ₁ = –6, ₂ = –2, ₃ = –6;

23. a₁ = (3, –5, 0, 6), a₂ = (3, 3, –4, –2), a₃ = (–1, 0, 5, –3), ₁ = 7, ₂ = 4, ₃ = 2;

24. a₁ = (3, 7, 1, –2), a₂ = (2, 4, 4, 3), a₃ = (2, 2, –2, –5), ₁ = –4, ₂ = 2, ₃ = –5;

25. a₁ = (4, –6, 4, –1), a₂ = (0, 7, 0, 5), a₃ = (0, 7, 7, 2), ₁ = 2, ₂ = 6, ₃ = 2;

26. a₁ = (–2, 5, 2, –1), a₂ = (–6, 4, 7, –4), a₃ = (–5, 5, –4, 6), ₁ = –2, ₂ = –2, ₃ = 5;

27. a₁ = (–6, 6, 4, –5), a₂ = (–4, –1, 1, –2), a₃ = (5, –5, –2, –3), ₁ = –4, ₂ = –6, ₃ = 3;

28. a₁ = (6, –3, 6, –5), a₂ = (6, –5, 0, 7), a₃ = (–1, 2, 4, –4), ₁ = 7, ₂ = 1, ₃ = 6;

29. a₁ = (1, –5, 5, –6), a₂ = (–3, 5, 6, –5), a₃ = (3, –4, –5, –5), ₁ = –1, ₂ = 1, ₃ = –3;