Разработка биквадратичного преобразования г4, порождаемого отображением поверхностей вращения однополостного гиперболоида и конуса

Разработка биквадратичного преобразования г₄, порождаемого отображением поверхностей вращения однополостного гиперболоида и конуса.

Из точки В проводится вертикальный луч m, который пересекает поверхности Q⁰₁ и Q⁰₂ в точках Вº₁, Вº₂, Вº₃ и Вº₄ (рисунок 1.1.1). Данные точки бинарно (γ,τ) отображаем на совмещенные плоскости НН´.

Первое отображение (γ) точек Вº₁ и Вº₂ поверхности Q⁰₁ на плоскость Н' задается как сумма преобразования (β₁) и ортогонального проецирования (α) (рисунок 4).

Преобразование (β₁) вращает точки Вº₁ и Вº₂ вокруг оси ОХ₂. В результате преобразования (β₁) точки Вº₁ и Вº₂ переходят в новое положение и образуют точки Вº´₁ и Вº´₂. При проецировании точек Вº´₁ и Вº´₂, на плоскость Н´ получаются точки В₁ и В₂ (рисунок 1.1.2).

Рис. 3. Схема расположения поверхностей в пространстве

Через полученные точки В₁ и В₂ проводятся линии, параллельные оси ОХ₂, а через точки В₃ и В₄ - линии параллельные оси ОХ₁. На пересечении этих линий образуются четыре точки: В´₁, В´₂, В´₃ и В´₄, которые соответствуют точке В (рисунок 6).

Таким образом, согласно выше изложенной схеме, каждой точке В плоскости Н соответствуют четыре точки В´₁, В´₂, В´₃ и В´₄ плоскости Н′. Другими словами, на совмещенной плоскости НН´ устанавливается биквадратичное отображение плоскости Г₄.

Преобразование можно выполнить в обратном порядке, где каждой точке D′ плоскости Н′ будут соответствовать четыре точки D₁, D₂, D₃ и D₄ плоскости Н.

Для получения уравнения биквадратичного преобразования плоскости Г₄ используются уравнения поверхностей вращения второго порядка однополостного гиперболоида Q⁰₁ и конуса Q⁰₂:

Соответственно уравнение (1.2.2) записывается следующим образом:

или

Учитывая z ≡ y´ уравнение (1.2.2) записывается как:

x′, y′ - координаты точек-образов;

R - коэффициент преобразования.

Рассмотрим определение уравнения обратного биквадратичного преобразования обозначаемого в дальнейшем символом Г´₄.

Для этого определяется значение x из первого уравнения системы (1.2.5):
. (1.2.6)
Из формулы (1.2.6) значение x подставляется во второе уравнение системы (1.2.5):

или:
. (1.2.7)

Для этого разложим биквадратичное преобразование Г₄ на два квадратичных преобразования и обозначим их F₁ и F₂ соответственно:

Для графического нахождения точек В₁ и В₂ выполним следующие построения. Через точку В проводятся прямые m и n параллельные осям ОХ₁ и ОХ₂ соответственно. Проводится прямая h параллельно оси ОХ₁ на расстоянии R (коэффициент преобразования). На пересечении прямых n и h получается точка 1. Проводится окружность t радиусом О1 с центром в точке О. При пересечении прямой m и окружности t получается точка В₁. Строится точка В₂ симметрично точке В₁ относительно прямой ОХ₂ (рисунок 7).

В уравнении системы (8) величины x и y известные, y′- искомая. Второму уравнению системы соответствует на чертеже прямоугольный треугольник. В данном случае это прямоугольный треугольник 0В1, который строим следующим образом. Через точку В проводится прямая n параллельно ОХ₂. При пересечении прямой n и оси ОХ₁ получается точка 1. Проводится окружность t радиусом ОВ с центром в точке О. При пересечении окружности t с осью ОХ₂ получается точка 2. Через точку 2 проводится прямая m параллельно оси ОХ₁. На пересечении прямых m и n получается точка В₁. Строится точка В₂ симметрично точке В₁ относительно прямой ОХ₁ (рисунок 8).

Точка В подвергаясь квадратичному преобразованию F₂ преобразуется в точки В₃ и В₄. Из точек В₁ и В₂ проводятся вертикальные линии, а из точек В₃ и В₄ – горизонтальные линии. Пересечения этих линий определяют четыре точки - образы В′₁, В′₂, В′₃ и В′₄, которые соответствуют точке В (рисунок 1.3.4).

Таким образом определена графическая модель биквадратичного преобразования Г₄.

Биквадратичные преобразования Г₄, Г´₄ задаваемые уравнениями (7), (1.12) дополняют известные в начертательной геометрии геометрические преобразования 4^-го порядка.