УДК.004.457 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

The article covers the using of the econometric methods.

Может возникнуть естественный вопрос: зачем нужны высокие статистические технологии, разве недостаточно обычных статистических методов? Исследователи в области эконометрики считают (и доказывают своими теоретическими и прикладными работами), что совершенно недостаточно. Так, многие данные в реальной социально-экономической деятельности, а потому и в информационных системах поддержки принятия решений в менеджменте имеют нечисловой характер, например, являются словами или принимают значения из конечных множеств (выбор происходит из конечного числа градаций). Нечисловой характер имеют и упорядочения, которые дают эксперты или менеджеры, например, выбирая главную цель предприятия, следующую по важности и т.д., сравнивая образцы продукции с целью выбора наиболее подходящего для запуска в серию и др. Значит, для контроллинга нужна статистика нечисловых данных. Далее, многие величины известны не абсолютно точно, а с некоторой погрешностью - лежат в пределах от одной границы до другой. Другими словами, исходные данные - не числа, а интервалы. Это - следствие общеинженерного утверждения: любое измерение проводится с погрешностями. Следовательно, для эффективного управления нужна статистика интервальных данных. Мнения людей естественно описывать в терминах теории нечеткости. Значит, менеджеру нужна статистика нечетких данных. Ни статистики нечисловых данных, ни статистики интервальных данных, ни статистики нечетких данных нет и не могло быть в классической статистике. Все это - высокие статистические технологии, разработанные за последние 10-30 лет.

Важная часть эконометрики - применение высоких статистических технологий к анализу конкретных экономических данных. Такие исследования зачастую требуют дополнительной теоретической работы по "доводке" статистических технологий применительно к конкретной ситуации. Большое значение для менеджмента имеют конкретные эконометрические модели, например, вероятностно-статистические модели тех или иных процедур экспертных оценок или экономики качества, имитационные модели деятельности организации. И конечно, такие конкретные применения, как расчет и прогнозирование индекса инфляции. Сейчас уже многим специалистам ясно, что годовой бухгалтерский баланс предприятия может быть использован для оценки его финансово-хозяйственной деятельности только с привлечением данных об инфляции. Различные области экономической теории и практики еще далеко не согласованы. При оценке и сравнении инвестиционных проектов принято использовать такие характеристики, как чистый приведенный доход, внутренняя норма доходности, основанные на учете изменения стоимости денежной единицы во времени (учет осуществляется с помощью дисконтирования). А при анализе финансово-хозяйственной деятельности организации на основе данных бухгалтерской отчетности про необходимость дисконтирования "забывают".

В середине 1980-х годов в советской средней школе ввели новый предмет "Информатика". И сейчас молодое поколение превосходно владеет компьютерами, мгновенно осваивая быстро появляющиеся новинки, и этим заметно отличается от тех, кому за 40-50 лет. Если бы удалось ввести в средней школе курс вероятности и статистики - а такой курс есть в Японии и США, Швейцарии, Кении и Ботсване, почти во всех странах мира (см. подготовленный ЮНЕСКО сборник докладов [3]) - то ситуация с применением эконометрики в нашей стране могла бы быть резко улучшена.

Статистические технологии применяют для анализа данных двух принципиально различных типов. Один из них - это результаты измерений различных видов, например, результаты управленческого или бухгалтерского учета, данные Госкомстата и др. Короче, речь идет об объективной информации. Другой - это оценки экспертов, на основе своего опыта и интуиции делающих заключения относительно экономических явлений и процессов. Очевидно, это - субъективная информация. Стабильная экономическая ситуация позволяет рассматривать длинные временные ряды тех или иных экономических величин, полученных в сопоставимых условиях. В подобных условиях данные первого типа вполне адекватны. В быстро меняющихся условиях приходятся опираться на экспертные оценки. Такая новейшая часть эконометрики, как статистика нечисловых данных, была создана как ответ на запросы теории и практики экспертных оценок [4].

Для решения каких управленческих и экономических задач может быть полезна эконометрика? Практически для всех, использующих конкретную информацию о реальном мире. Только чисто абстрактные, отвлеченные от реальности исследования могут обойтись без нее. В частности, эконометрика необходима для прогнозирования, в том числе поведения потребителей, а потому и для планирования. Выборочные исследования, в том числе выборочный контроль, основаны на эконометрике. Но планирование и контроль - основа контроллинга [3]. Поэтому эконометрика - важная составляющая инструментария контроллера, воплощенного в компьютерной системе поддержки принятия решений. Прежде всего оптимальных решений, которые предполагают опору на адекватные эконометрические модели. В производственном менеджменте это может означать, например, использование оптимизационных эконометрических моделей типа тех, что применяются при экстремальном планировании эксперимента (они позволяют повысить выход полезного продукта на 30-300%).

Высокие статистические технологии в эконометрике предполагают адаптацию применяемых методов к меняющейся ситуации. Например, параметры прогностического индекса меняются вслед за изменением характеристик используемых для прогнозирования величин. Таков метод экспоненциального сглаживания. В соответствующем алгоритме расчетов значения временного ряда используются с весами. Веса уменьшаются по мере удаления в прошлое. Многие методы дискриминантного анализа основаны на применении обучающих выборок. Например, для построения рейтинга надежности банков можно с помощью экспертов составить две обучающие выборки - надежных и ненадежных банков. А затем с их помощью решать для вновь рассматриваемого банка, каков он - надежный или ненадежный, а также оценивать его надежность численно, т.е. вычислять значение рейтинга.

Один из способов построения адаптивных эконометрических моделей - нейронные сети [і]. При этом упор делается не на формулировку адаптивных алгоритмов анализа данных, а - в большинстве случаев - на построение виртуальной адаптивной структуры. Термин "виртуальная" означает, что "нейронная сеть" - это специализированная компьютерная программа. Термин "нейроны" используются лишь при общении человека с компьютером. Методология нейронных сетей идет от идей кибернетики 1940-х годов. В компьютере создается модель мозга человека (весьма примитивная с точки зрения физиолога). Основа модели - весьма простые базовые элементы, называемые нейронами. Они соединены между собой, так что нейронные сети можно сравнить с хорошо знакомыми менеджерам, экономистам и инженерам блок-схемами. Каждый нейрон находится в одном из заданного множества состояний. Он получает импульсы от соседей по сети, изменяет свое состояние и сам рассылает импульсы. В результате состояние множества нейтронов изменяется, что соответствует проведению эконометрических вычислений.

Нейроны обычно объединяются в слои (как правило, два-три). Среди них выделяются входной и выходной слои. Перед началом решения той или иной задачи производится настройка. Во-первых, устанавливаются связи между нейронами, соответствующие решаемой задаче. Во-вторых, проводится обучение, т.е. через нейронную сеть пропускаются обучающие выборки, для элементов которых требуемые результаты расчетов известны. Затем параметры сети модифицируются так, чтобы получить максимальное соответствие выходных значений заданным величинам.

С точки зрения точности расчетов (и оптимальности в том или ином эконометрическом смысле) нейронные сети не имеют преимуществ перед другими адаптивными эконометрическими системами. Однако они более просты для восприятия. Надо отметить, что в эконометрике используются и модели, промежуточные между нейронными сетями и "обычными" системами регрессионных уравнений (одновременных и с лагами). Они тоже используют блок-схемы, как, например, универсальный метод моделирования связей экономических факторов ЖОК [1].

Заметное место в математико-компьютерном обеспечении принятия решений в контроллинге занимают методы теории нечеткости (по-английски - fuzzy theory, причем термин fuzzy переводят на русский язык по-разному: нечеткий, размытый, расплывчатый, туманный, пушистый и др.). Начало современной теории нечеткости положено работой Л.А.Заде 1965г., хотя истоки прослеживаются со времен Древней Греции [4] Это направление прикладной математики получило бурное развитие. К настоящему времени по теории нечеткости опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов (больше половины - в Китае и Японии), постоянно проводятся международные конференции. В области теории нечеткости выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных научных работ, практические приложения дали ощутимый технико-экономический эффект.

В работах Лотфи А. Заде теория нечетких множеств рассматривается как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении качеством продукции и технологическими процессами.

Нечеткая математика и логика - мощный элегантный инструмент современной науки, который на Западе и на Востоке (в Японии, Китае) можно встретить в программном обеспечении десятков видов изделий - от бытовых видеокамер до систем управления вооружениями. В СССР он был известен с начала 1970-х годов. Однако первая монография советского автора по теории нечеткости [5] была опубликована лишь в 1980 г. В дальнейшем раз в год всесоюзные конференции собирали около 100 участников - по мировым меркам немного.

При изложении теории нечетких множеств обычно не подчеркивается связь с вероятностными моделями. В нашей стране в середине 1970-х годов установлено [4], что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. В США подобные работы появились лет на пять позже.

Итак, при решении задач управления, в частности, контроллинга полезны многочисленные интеллектуальные инструменты анализа данных, относящиеся к высоким статистическим технологиям и эконометрике.
ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Орлов А.И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2002. - 576 с.
   
2. 
   Долан Э. Дж., Линдсей Д.Е. Рынок: микроэкономическая модель. - СПб: СП "Автокомп", 1992. - 496 с.
   
3. 
   The teaching of statistics / Studies in mathematics education. Vol.7. - Paris, UNESCO, 1989. - 258 с.
   
4. 
   Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
   

Первый момент - эконометрика как система специфических методов начала развиваться с осознания своих задач - отражения особенностей экономических переменных и связей между ними. В уравнения регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени - с целью отразить свойство оптимальности экономических переменных: наличия значений, при которых достигается мини-максное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности; по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение. То же можно сказать о воздействии многих социально-экономических переменных (скажем, возраста рабочего на уровень производительности труда или влияния дохода на потребление некоторых продуктов питания и т.д.). В конкретных условиях нелинейность влияния переменных может не подтвердиться, если данные варьируют в узких пределах, т.е. являются однородными [2].

Второй момент - это взаимодействие социально-экономических переменных, которое может рассматриваться как самостоятельная компонента в уравнении регрессии. Например, имеем регрессию

Конечно, эффект взаимодействия (в данном случае это параметр b3) может оказаться статистически незначимым. Поэтому гипотезы о нелинейности и неаддитивности связей не исключают особого внимания к проблеме применимости линейных и аддитивных уравнений регрессии [3].

Поясним, следуя А. Голдбергеру (A. Goldberger), понятия аддитивности и линейности, часто отождествляемые. Функция линейна по всем независимым переменным тогда и только тогда, когда dy/dx1 не включает , т.е. когда d(dy/dxi)=0, эффект данного изменения по xi не зависит от xi.

В эконометрических исследованиях сами уравнения регрессии стали обосновываться содержательно. Например, зависимость себестоимости (у) от объема производства (х) (количества единиц продукции) может быть представлена так [4].

Разделив обе части равенства на объем производства (х), получим:

т.е. уравнение имеет вид:

Параметры такого уравнения могут оцениваться методом наименьших квадратов, но особенность его в том, что каждый параметр имеет совершенно определенный экономический смысл. В 30-е гг. XX в. повсеместное увлечение множественной регрессией сменилось разочарованием. Строя уравнение множественной регрессии и стремясь включить как можно больше объясняющих переменных, исследователи все чаще сталкивались с бессмысленными результатами - прежде всего с несоответствием знаков при коэффициентах регрессии априорным предположениям, а также с необъяснимым изменением их значений. Причина заключается в том, что изолированно взятое уравнение регрессии есть не что иное, как модель «черного ящика», поскольку в ней не раскрыт механизм зависимости выходной переменной у от входных переменных jc, а лишь констатируется факт наличия такой зависимости. Для проведения правильного анализа нужно знать всю совокупность связей между переменными. Одним из первых подходов к решению этой задачи является конфлюэнтный анализ, разработанный в 1934 г. Р. Фришем. Он предложил изучать целую иерархию регрессий между всеми сочетаниями переменных. При этом каждая переменная рассматривалась как зависимая от всех возможных подмножеств переменных, а также от всего множества переменных. Анализируя регрессии с разным числом переменных, Р. Фриш обнаружил «эффект деградации» коэффициентов регрессии. Он проявляется в том, что если в регрессию включается много переменных, имеющих линейные связи друг с другом (мультиколлинеарные переменные), то коэффициенты регрессии имеют тенденцию возвращаться к тем значениям, которые они имели в уравнении с меньшим числом переменных [5].

На основе изменения коэффициентов регрессии bi, и множественного коэффициента детерминации R2 он разделил все переменные на полезные, лишние и вредные. Переменная считалась полезной, если ее включение значительно повышало R2; когда этого не происходило и ввод новой переменной не изменял коэффициентов регрессии при других переменных, то она рассматривалась как лишняя; если добавляемая переменная сильно изменяла, bi то переменная относилась к вредным. Надо сказать, что конфлюэнтный анализ не получил большого распространения [6].

Методы корреляций и регрессий создавались как методы описания совместных изменений двух и более переменных. Совместные изменения переменных могут не означать наличия причинных связей между ними. Потребность в причинном объяснении корреляции привела американского генетика С. Райта к созданию метода путевого анализа (1910-1920) как одного из разновидностей структурного моделирования. Путевой анализ основан на изучении всей структуры причинных связей между переменными, т.е. на построении графа связей и изоморфной ему рекурсивной системы уравнений. Его основным положением является то, что оценки стандартизированных коэффициентов рекурсивной системы уравнений, которые интерпретируются как коэффициенты влияния (путевые коэффициенты),рассчитываются на основе коэффициентов парной корреляции. Это позволяет проанализировать структуру корреляционной связи с точки зрения причинности. Каждый коэффициент парной корреляции рассматривается как мера полной связи двух переменных [7].

Путевой анализ позволяет разложить величину этого коэффициента на четыре компоненты:

• 
  прямое влияние одной переменной на другую (в этом случае в причинной цепи между одной и другой переменными нет промежуточных звеньев);
  
• 
  косвенное влияние, т.е. передача воздействия одной переменной на другую через посредство переменных, специфицированных в модели как промежуточное звено в причинной цепи, связывающей изучаемые переменные;
  
• 
  непричинная компонента, объясняемая наличием общих причин, воздействующих на одну и другую переменную;
  
• 
  непричинная компонента, зависящая от неанализируемой в модели корреляции входных переменных. Если компоненты прямого и косвенного причинного влияния равны нулю, корреляция между переменными является ложной [8].
  

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Орлов А.И. Что дает прикладная статистика народному хозяйству? / Вестник статистики. 1986. №8. С. 52 - 56/
   
2. 
   Комаров Д.М., Орлов А.И. Роль методологических исследований в разработке методоориентированных экспертных систем (на примере оптимизационных и статистических методов) - В сб.: Вопросы применения экспертных систем. - Минск: Центросистем, 1988. С. 151-160.
   
3. 
   Ленин В.И. Развитие капитализма в России. Процесс образования внутреннего рынка для крупной промышленности. - М.: Политиздат, 1986. - XII+610 с.
   
4. 
   Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - Изд. 6-е, переработанное и дополненное. - М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1988. - 448 с.
   
5. 
   Бернштейн С.Н. Современное состояние теории вероятностей и ее приложений. - В сб.: Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 апреля - 4 мая 1927 г. - М.-Л.: ГИЗ, 1928. С. 50-63.
   
6. 
   Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов. / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. №1. С. 67-74.
   
7. 
   Орлов А.И. О перестройке статистической науки и её применений. / Вестник статистики. 1990. №1. С. 65 - 71.
   
8. 
   Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. - 566 с.
   

Жартанов С.С. - магистр т.н., ст. преподаватель кафедры «ИС и И»

Кокшетауский университет им. Абая Мырзахметова
Андатпа

Мақалада ақпараттық жүйелердің еңгізу фазалары мен мәселелері баяндалады.
Аннотация

В статье рассматриваются фазы внедрения информационных систем и их проблемы.
Annotation

This article covers the implementation phase of information systems and their problems.
Внедрение информационных систем, разработанной самостоятельно или приобретенной у поставщика, зачастую сопровождается ломкой существующих на предприятии бизнес-процессов. Приходится перестраивать их под требования стандартов и логику внедряемой системы. То есть имеющие информационные системы на рынке бизнес процессов приходиться подстраивать под определенную структуру организации. Отметим сразу, что внедрение информационных систем решает ряд управленческих и технических проблем, однако порождает проблемы, связанные с человеческим фактором [1].

Внедрение информационной системы, как правило, значительно облегчает управление деятельностью предприятия, оптимизирует внутренние и внешние потоки информации, ликвидирует узкие места в управлении. Однако после того как система успешно установлена, "обкатана" в работе и показала свою эффективность, у части сотрудников выявляется нежелание использовать информационную систему в работе. В результате проведенного тренинга становится ясно, что некоторые сотрудники в большой степени дублируют работу других или вовсе не нужны. Кроме того, внедрение корпоративных информационных систем сопровождается обязательным обучением, но, как показывает опыт, желающих переучиваться не так много. ломка старых навыков и прививание новых – долгий и трудный процесс!

Надо четко понимать, что корпоративная информационная система призвана упростить управление организацией, улучшить процессы, усилить контроль и обеспечить этим конкурентные выгоды. Только с такой точки зрения можно оценивать пользу от ее внедрения.

Следуя этой логике, становится понятно, что хотя корпоративная информационная система предназначена в целом для обеспечения всех пользователей необходимой информацией, управление разработкой и внедрение КИС является прерогативой высшего руководства компании! Понимают ли это руководители?

Здесь тоже приходится бороться с живучими стереотипами. "Зачем мне корпоративная система, если дела на предприятии и так идут хорошо?". "Зачем, что-то ломать, если все работает?". Но ведь ломать-то чаще всего и не надо. На первом этапе нужно лишь грамотно и корректно формализовать и перенести идентифицированные процессы, в рамках которых живет предприятие, в корпоративную ИС. Подобная формализация лишь отточит, отшлифует удачные маркетинговые и производственные находки, оптимизирует процесс управления и контроля и позволит в дальнейшем проводить целенаправленные изменения [2].
Внедрение новой ИС – сложный процесс, длящийся от нескольких месяцев для небольших ИС до нескольких лет для ИС больших распределенных компаний с широкой номенклатурой продуктов и большим количеством поставщиков. Успех проекта по разработке (или приобретению) и внедрению ИС во многом зависит от готовности предприятия к ведению проекта, личной заинтересованности и воли руководства, реальной программы действий, наличия ресурсов, обученного персонала, способности к преодолению сопротивления на всех уровнях сложившейся организации.

К настоящему времени сложился стандартный набор приемов внедрения ИС. Основное правило: выполнять обязательные фазы последовательно и не пропускать ни одной из них.

• 
  наличие четко сформулированных целей проекта и требований к ИС;
  
• 
  наличие стратегии внедрения и использования ИС;
  
• 
  проведение предпроектного обследования предприятия и построения моделей "Как есть" и "Как будет";
  
• 
  планирование работ, ресурсов и контроль выполнения плана внедрения;
  
• 
  участие высшего руководства во внедрении системы;
  
• 
  проведение работ по внедрению ИС специалистами по интегрированию систем совместно со специалистами предприятия;
  
• 
  регулярный мониторинг качества выполняемых работ;
  
• 
  быстрое получение положительных результатов хотя бы в части внедренных модулей ИС или в процессе ее опытной эксплуатации.
  

• 
  максимально формализовать цели проекта внедрения ИС;
  
• 
  оценить минимально необходимые затраты и статьи расхода;
  
• 
  установить высокий приоритет проекта внедрения перед остальными текущими проектами;
  
• 
  наделить руководителя проекта максимально возможными полномочиями;
  
• 
  провести массовую просветительскую работу с персоналом предприятия с целью довести до каждого важность и необходимость предстоящих преобразований;
  
• 
  разработать организационные меры для применения новых информационных технологий;
  
• 
  распределить персональную ответственность по всем этапам внедрения и опытной эксплуатации.
  

• 
  организационное управление;
  
• 
  организационно-административное обеспечение;
  
• 
  управление бизнес-процессами;
  
• 
  управленческий, планово-финансовый и бухгалтерский учет;
  
• 
  управление персоналом;
  
• 
  управление документацией;
  
• 
  управление материально-техническим обеспечением;
  
• 
  управление связями с клиентами и внешней средой.
  

• 
  системная платформа – внедрение и адаптация готового решения от производителя или разработка на заказ в соответствии с техническим заданием заказчика;
  
• 
  интегрируемость – данные хранятся и обрабатываются в едином информационном пространстве; это обеспечивает их полноту, непротиворечивость, достоверность и возможность многократного использования; система может включать в себя вновь разработанные и уже используемые технологии и приложения;
  

• 
  адаптируемость – система настраивается в соответствии с требованиями заказчика и на особенности информационного поля заказчика;
  
• 
  распределенность – система может эффективно функционировать в территориально удаленных подразделениях и филиалах предприятия;
  
• 
  масштабируемость – система может выполняться в виде каркаса, содержащего базовые модули, и дополняться в соответствии с требованиями изменяющейся внешней и внутренней среды.
  

Фаза "Предварительные работы по подготовке проекта внедрения ИС". В ходе предпроектного обследования предприятия происходит сбор подробной информации о структурном построении организации, функциональных связях, системе управления, об основных бизнес-процессах, о потоках внутри предприятия (Control Flow, Doc Flow, Data Flow, Work Flow, Cash Flow), необходимой для построения соответствующих моделей и выбора объектов для автоматизации. Оцениваются сроки, ресурсы, виды и объемы работ, номенклатура и стоимость программно-аппаратных и телекоммуникационных средств, стоимость обучения персонала и т.д.

Фаза "Подготовка проекта". После завершения первой фазы осуществляется предварительное планирование и формирование процедур запуска проекта:

• 
  формирование проектной и экспертной групп;
  
• 
  распределение полномочий и ответственности;
  
• 
  определение организационно-технических требований к процессу внедрения;
  
• 
  уточнение спецификаций и ожиданий заказчика;
  
• 
  обучение группы внедрения, состоящей из специалистов предприятия-заказчика.
  

Фаза "Концептуальная проработка проекта". В течение этой фазы:

• 
  формируется и утверждается концептуальный проект;
  
• 
  достигается обязательное однозначное понимание намерений всех участников проекта относительно внедряемой ИС;
  
• 
  уточняются и конкретизируются цели и задачи проекта;
  
• 
  определяются размеры прототипа системы;
  
• 
  согласуются укрупненный план работы, последовательность этапов и условия опытной эксплуатации, планово-финансовые и отчетные показатели;
  

1. 
   Матиашвили В.М. Инновационные технологии в управлении информационными ресурсами: Сборник научных трудов. - Новгород: Новгород, 2003. - 184 с.
   
2. 
   Багиев Г.Л. Маркетинг: Информационное обеспечение. Бенчмаркинг. Диагностика - СПб: СПбГУЭФ, 1998. - 200 с.
   
3. 
   Шкардун В.Д. Об искажении маркетинговой информации на предприятии // Маркетинг в России и за рубежом. 1999. - №2. - С. 30-34.
   

1. 
   Одно - однозначные точечные преобразования;
   
2. 
   Одно - двузначные точечные преобразования;
   
3. 
   Одно - четырехзначные точечные преобразования;
   
4. 
   Одно - многозначные точечные преобразования.
   

Исследованию и применению биквадатичных преобразований плоскости посвящены научные труды Нурмаханова Б.Н., Байдабекова А.К., Усупова М.М.

Рассмотрим способ формообразования кривых с помощью биквадратичного преобразования Г4, где прообразом задается окружность. Для получения кривых различной формы соответственно будет изменяться расположение прообраза-окружности на плоскости. Графическая модель и уравнение биквадратичного преобразования Г4 было определено в работе [5].

Для получения новых кривых окружность-прообраз (р) подвергаем биквадратичному преобразованию Г4. Каждая точка-прообраз преобразуется в четыре точки-образы. Последовательно соединяя полученные точки-образы, построим кривую и обозначим её символом р'. Прообраз преобразуется в общем случае в кривую 4-го порядка. На рисунке 1 показано преобразование точки-прообраза 1 окружности (р) в четыре точки-образы 1´1, 1´2, 1´3 и 1´4 с использованием графической модели биквадратичного преобразования Г4. Где прообраз-окружность задается радиусом r=15 мм., а центр окружности расположим на оси ОХ1, на расстоянии равное t (t>R) относительно начало координат. Для построения образа-кривой используем графическую модель биквадратичного преобразования Г4. На графической модели указываем область существования биквадратичного преобразования для более точного построения образа. Обозначим несколько точек на прообразе-окружности цифрами 1, 2, 3 и т.д. Заданную точку-прообраз 1 подвергнем биквадратичному преобразованию Г4 и построим точки 11, 12, 13, 14. Через точки 11, 12 проводим вертикальные линии параллельные оси ОХ2, а через точки 13 и 14- горизонтальные линии параллельные оси ОХ1. Таким образом, пересечение этих линий определяет образы точек 1´1, 1´2, 1´3 и 1´4 прообраза точки 1.

Рис. 2. Определение кривой с использованием бивадратичного преобразования Г4

Используя уравнение обратного биквадратичного преобразования Г′4, определим уравнение для данной кривой:

Х′1, Х′2 – координаты точек – прообразов,

R – коэффициент преобразования.

Значения Х1 и Х2 подставляются в уравнение прообраза-окружности

(2)

r – радиус прообраза-окружности