Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл, оның қасиеттері Алғашқы функция ұғымы

Ғылым мен техниканың түрлі-түрлі салаларындағы көптеген мәселелерді шешу туындысы берілген функцияны табуға әкеліп соқтырады. Сондықтан математикада жаңа бір операция, интегралдау операциясы қарастырылады. Ізделіп отырған F(x) функциясының берілген туындысы f(x) бойынша сол F(x) функциясын табу мәселесі тек интегралдау операциясының  жәрдемімен шешіледі. Міне осы  F(x)-ті берілген функция f(x)-тің алғашқы функциясы деп атайды.

Анықтама. Егер бір аралықтың әрбір нүктесінде функция F(x) үшін

dF(x)=f(x)dx

теңдігі орындалса, F(x) функциясы f(x)-тің сол аралықтағы алғашқы функциясы деп аталады.

Мысалы:  F(x)=x⁷   бүкіл сандар осі бойында  f(x)=7x⁶  функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені х-тің кез келген мәнінде   (x⁷)’=7x^6.

Ал функция   F(x)=lnx  функция    f(x)=1/x  үшін алғашқы функция болады

өйткені

Функциясыда (C- кез келген тұрақты) ол функция үшін сол аралықта алғашқы функция болады.

Сонымен бірге

Демек F(x)+C функциясы да f(x) үшін алғашқы функция болады.

Бұдан  

Дәлелденген екі теоремадан мынадай қорытынды шығады: егер  F(x) функциясы белгілі аралықта f(x)–тің алғашқы функцияларының бірі болса, оның барлық алғашқы функцияларының жиыны f(x)+С қосындысымен өрнектеледі. Қосындының геометриялық мағнасы: f(x)-тің алғашқы функциясы F(x)-тің графигін жоғары не төмен жылжыту арқылы кез келген алғашқы функцияның графигін сала аламыз (1 сызба).  

3. Анықталмаған интеграл ұғымы

F(x) функциясы дифференциалдау деп берілген алғашқы F(x) функциясының  F’(x)= f(x) туындысын немесе df(x)=f(x)dx Дифференциалын табу амалын айтамыз.

Сол амалға кері амал, яғни F’(x) болып табылатын берілген f(x) үшін алғашқы F(x) функциясын табу амалы f(x)-ті интегралдау деп аталады.

Осы берілген f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын бейнелейді және f(x)-тен анықталмаған интеграл деп аталады.

Демек, анықтамаға сәйкес

болады. Бұл формуладағы F(x) функциясы f(x)-тың белгілі бір алғашқы функциясы, С-кез келген тұрақты.

Сонымен бірге f(x)- интеграл астындағы функция, ал f(x)dx – интеграл астындағы өрнек деп аталады.

 -символы ұзартылып алынған латын алфавитіндегі S- әріпі, ол символды интегралдың белгісі деп атайды.

 Функцияны интегралдау және олардың алғашқы функцияларының қаиеттері жайындағы ілім интегралдық есептеу деп аталады.