Алпысов ақан қанапияұЛЫ
Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік
жүктеу/скачать 2,26 Mb.
|
stud.kz-86431
| 1.2 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік
пен әртүрлі типтік кластар ұғымдары Бүгінгі таңда білім ақпараттандырудың болашағы қоғамдағы ғылыми –техникалық прогрестің қарқынды даму үрдісімен, білімнің ғылыми интеграцияға ұмтылуымен, қоғамда жинақталып және үнемі өсіп отыратын ақпарат көлемінің әртүрлігімен анықталады. Жоғары мектепте білім беруді ақпараттандыру әлеуметтік, экономикалық, теориялық, практикалық сипаттағы түйінді мәселелерді шешуге жол ашуда. Міне сондықтан, ғылыми техникалық прогресс жағдайында студенттерден жоғары білікті мамандар даярлау үшін жаңаша оқыту әдістерін енгізу талабы алға қойылуда. Бұл мәселелерді шешудің бірден - бір жолы оқу үрдесінде көрнекіліктің ролін күшейту. Жоғары мектептерде көрнекілікті енгізу процесі оқыту теориясы мен практикасы алдында ғылыми қажетті мәселелерді қойып отыр. Осыған орай көптеген әдіскерлер көрнекілікті білім беру жүйесінде сапалы әрі тиімді қолдану мақсатындақолдануда. Оқытылатын бағдарламалар көрнекілікті күшейтуге мүмкіндік туғызып, оның жүйелі түрде әрі қозғалыс үстінде көрсетуге лайықталып жасалса, онда игеретін ақпараттың мазмұны тереңдеп, мәнділігі арта түседі. Қазіргі заманғы дидактикада көрнекілік принципі мен нақты ұғымдармен олардың кескіндерінің статистикалық тірегі ретінде ғана емес, сонымен бірге оны дидактикалық моделі ретінде де түсіндіріледі. Сонымен жаңа ақпараттық технологияға, көрнекілікке негізделген жаңа білімді бейнелеу арқылы үйрету мүмкіндігі оқытудың дидактикасы мен әдістемесінде, соның ішінде әсіресе математиканы оқыту әдістемесінде жаңа тиімді бағыттарға жол ашады. Оқу үрдесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік арқылы оқытудың ғылымилығы, жүйелілігі, белсенділігі сияқты ұстанымдары жүзеге асырылады. Сондай-ақ оқу әрекетінің әдіснамасы ғылыми – зерттеу жұмыстарының әдіснамасымен ұштастырылады. Материалдарды жалаң сөзбен баяндағанда оқырмандарда зерттеліп отырған ұғым туралы дұрыс та айқын түсінік қалыптаса бермейді, өйткені олар әлгі ұғымды уақыт ағымындағы қозғалыста бақылай алмайды. Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік жоқ жерде құрғақ әңгіме санаға ауырлық түсіріп, белсенді ойлау әрекетін тудырмайды. Ал көзбен көрген бейнелер білім алушыға ұғымның заңдылығын өз бетінше зерделеуге, оның заңдылықтарын ашуға негіз бола алады. Жоғары мектептің математика курсында қарастырылатын теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік әзірте біртұтас жүйе ретінде қалыптаспаған, дәлірек айтсақ олар әлі жекелеген әдістемелік материалдардың бір-біріне байланыспаған жиынтығы күйінде қалып отыр. Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекіліктің мәні оқытудың әрбір сатысында, білім игеру логикасының жемісін басшылыққа ала отырып, сол білімдерінің айрықша фактілері мен студенттердің байқауларының немесе аксиомалардың ғылыми ұғымдар мен теориялардың алғашқы бастамаларын тауып, жекеден жалпылыққа, нақтылықтан абстрактілікке және керісінше жалпылықтан жекелікке, абстарктіліктен нақтылыққа көшу заңдылықтарын анықтау болып табылады. Көрнекіліктің әр түрінің өзіне тән атқаратын функциялары бар. Сондықтан оқу үрдесінде теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілікті пайдаланғанда бір қатар әдістемелік талаптарды орындаған жөн, яғни көрнекілік сабақтың мақсатына сай келуі және көрнекілікті пайдаланғанда студенттердің оларды дұрыс қабылдануын қамтамасыз ету маңызды. Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту кезінде оқытушының өзінің баяндауы мен көрнекілікті үйлестіруі елеулі роль атқарады. Бұл жағдайда оқытушы студенттердің іс-әрекетін, байқағыштығын бақылай отырып керегінше мағлұмат алуына жетекшілік етеді. Оқытудың көрнекілік әдістерін пайдаланғанда мына талаптарды орындау қажет: көрнекілік әдісті қажетіне қарай пайдалануы тиіс және оны бірте – бірте тек сабақтың тиісті сәтінде көрсету керек; көрсетілетін көрнекілік материалдарының мазмұнына сәйкес болуы қажет. Математиканы оқу үрдесінде қашан да студенттердің көрнекі бейнелік ойлауын дамытуға, кеңістікті елестетуіне зор көңіл бөлінеді. Логикалық ойлауды дамыту: түрлі ұғымдардың әр түрлі қасиеттерін және олардың елеулі және елеусіз белгілерін айқындап, әрі қарсы қойып салыстыру әдістерін талап етеді. Студенттерге білім беруде көрнекілік ерекше көңіл бөлуді талап етеді. Оқу материалдарын игеру дәрежесін көтерудің ең үлкен мүмкіндігі ол сабақ беруде көрнекілік әдістерінің жаңа жолдарын, тәсілдерін енгізуге байланысты. Жоғары оқыту орнында сабақты өткізу барысында кеңістік модельдерін пайдалану оқытушының жұмысын едәуір жеңілдетеді және материалдарды баяндауға қажетті уақытты қысқартады. Сондай-ақ теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудағы көрнекілік студенттердің сабаққа ынтасын арттырып, тақырыпты игеру сапасын да жақсартады. Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың тиімділігін арттыру жолдарының бірі - графиктерді пайдалану болып табылады. Графикті көрнекі құрал ретінде пайдаланудың мақсаты – материалдардың ішкі логикалық мағынасын түсіндіру, есеп шығарушының ойын бағыттайтын, тиісті қорытынды жасауға негіз болатын математиканың тілін қалыптастыру. Студенттердің оқудағы белсенділігіне оқытудың көрнекілігін анағұрлым күшейте отырып қол жеткізуге болады. Графиктердің көмегімен демонстрациялық тәжірибелерді көрнекі түрде көрсете отырып, оқытушы студенттерінің назарын өтіп отырған тақырыпты терең түсінуге аударады. Демек студенттердің назарының тұрақтылығы теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың көрнекілігін тиімді етумен тікелей байланысты. Оқылып отырған тақырыпқа студенттердің зейінінің жоғарлауы немесе төмендеуіне қарай, графиктердің тиімділігі туралы қорытынды жасай аламыз. Сөйтіп математика сабақтырында теңдеулер мен теңсіздіктерді және оларды шешу жолдарын график арқылы көрсете білу оқырмандардың танымдық қызығушылығын арттыруға септігін тигізеді және оқу материалдарын түсініп қабылдауға, білімін тереңдетуге әсер етеді деген қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Осы тұрғыдан оқытудың көрнекілігін пайдалану ең алдымен оқытушының сабақты тиімді және нәтижелі ұйымдастыруына көмектессе, екіншіден студенттердің дербестігін, оқу әрекеттерін, біліктілік, іскерлік дағдыларын дамытады, білім алу барысында әртүрлі әдіс – тәсілдерді қолдануға төселеді, алған білімдерін күнделікті өмірмен байланыстырады. Болашақ математика мамандарына математикалық білімді жедел қабылдау мен меңгеру әр алуан көрнекіліктерді тиімді пайдалану арқылы да іске асырылады. Көрнекілік кеңістік жөніндегі түсініктері мен қабілеттерін дамытуға көмектеседі, сонымен бірге көрнекілік студенттердің кейбір тәжірибелік іскерліктерін шыңдауға ықпал етеді. Мәселен, математика курсында шамалардың арасындағы тәуелдіктерді графиктік түрде кескіндеу арқылы студенттердің тәуелділікті түсінуін жеңілдетеміз. Математиканы оқыту мақсаттарының бірі - студенттерге саналы, жүйелі және баянды, білім беру. Ал білім нәрселер мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құрылады. Математиканы оқып-үйрену процесі негізінен ұғымдарды игеру, теоремаларды дәлелдей білуге және есептер шығаруға үйретуден тұрады. Оқырмандардың жалпы білім дәрежесінің сапасы ғылыми ұғымдардың қалай қалаптасқандығына байланысты. Математикада әртүрлі типтік кластар ұғымдарын тиянақты меңгермейінше ғылыми заңдар мен теорияларды саналы түрде білуі мүмкін емес. Әртүрлі типтік кластар ұғымын меңгеру – математикалық объектілердің белгілері мен қасиеттерін, олардың арасындағы мәнді байланыстар мен арақатынастарын білу және оларды қолдана алу деп түсініледі. Сонымен бірге ұғымның өзі ойлау формаларының бірі, әрі таным құралы да болып табылады. Сондықтан студенттік білім – танымының бастауы да, ол білімдерді қолдану аясының кеңдігімен ауқымдылығы да алғашқы мәліметтердің қалай түсіндіріліп, игерілгендігіне тәуелді. Әр түрлі типтік кластар ұғымдарын меңгеру студенттердің белсенді ой қызметімен, анализ және синтез, салыстыру, нақтылау тағы басқа сияқты ойлау операцияларын орындаумен байланысты жүзеге асырылады. Сондықтан математика сабағында әртүрлі типтік кластар ұғымдарын меңгеруге бағытталған жұмыстар студенттердің логикалық ойлауын дамыту үшін де маңызды. Әр түрлі типтік кластар ұғымдарымен жұмыс жүргізгенде қолданылатын логикалық амалдардың бірі – ұғымдарды анықтау болып табылады. Ұғымның анықтамасы деп, ұғымның қажетті және жеткілікті белгі шарттары айтылатын сөздік немесе символдық сөйлемді айтады. Оқыту процесінде студенттердің математикалық ұғымдардың анықтамаларын дұрыс және дәл тұжырымдауға баулуға ерекше назар аударылады. Математикалық ұғымдарға дәл анықтама беруге үйрету арқылы студенттердің математикалық білімдерді саналы игеруі қамтамасыз етіледі, олардың логикалық ойлауы жетілдіріле түседі. Жоғары оқу орындарында студенттерге әр түрлі типтік кластар ұғымдары жүйесін қалыптастыру білім берудің маңызды құрамдас бөліктерінің бірі болып саналады. Әртүрлі типтік кластар ұғымдары мәнін мейлінше түсініп, зерделей білмейінше заңдар мен заңдылықтарды, теориялар мен тұжырымдарды нақтылы түсіну, меңгеру мүмкін емес. Ұғымдарды меңгеру студенттердің белсенді іс-әрекеті негізінде жалпыдан жекені ажырата білу, салыстыру, жекені жалпыландыру сияқты ой қызметтерін іске асырумен тығыз байланысты. Демек, ұғымдардың байланыстылығын қалыптастырудың білім алушының ойлау қабілеттерін дамытудағы маңыздылығы ерекше. Ұғым арқылы адам ойлайды. Ой болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі. Ұғымдарды әр түрлі типтік кластарға бөлу ұғым көлемін ашатын логикалық әрекет ретінде қарастырылады. Ұғымдарды әр түрлі типтік ұғымдарға бөлу дегеніміз бөлінетін ұғымға бағыныңқы барлық түрлік ұғымдарды көрсету деген сөз. Теңдеу ұғымы сызықтық теңдеулер, квадрат теңдеулер, алгебралық теңдеулер т.с.с. ұғымдарына бөлінеді. Ұғымдарды әр түрлі өзгерістегі белгілер бойынша классификациялауға болады. Мысалы, алгебрада теңдеулерді дәреже көрсеткішіне байланысты бірінші дәрежелі, екінші дәрежелі, үшінші дәрежелі тағы сол сияқты кластарға бөледі. Квадрат теңдеулердің х-тің коэффиценті және бос мүшенің нөлге тең болуы, болмауына қарай толық квадрат теңдеу және толымсыз квадрат теңдеу болып бөлінеді. Егер теңдеулерді белгісіздердің санына байланысты бөлетін болсақ, оларды бір белгісіз бар, екі белгісіз бар, үш белгісізі бар теңдеулер деп топтастырады. Түрлі кластарға бөлу, бір мезгілде ұғымның бірнеше белгісі бойынша да жүргізілуі мүмкін. Мысалы, екі белгісізі бар бірінші дәрежелі теңдеу, екі белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеу т.б. Теңсіздік ұғымы жай санды теңсіздіктер, алгебралық теңсіздік, классикалық теңсіздіктер болып бөлінеді. Теңсіздік ұғымы дәлелденгенде және шешкенде әріптер мен белгісіз шаманың мүмкін мәндерінің бәрінде сақталатындай теңсіздік шартсыз деп аталады. Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатындай теңсіздікті шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды. Сөйтіп теңсіздік мағынасына байланысты теңсіздік ұғымы шартты және шартсыз болып бөлінеді. «Теңдеу» ұғымы негізгі жалпы математикалық ұғымдарға жатады, сондықтан мектеп математика курсын меңгеруге кіріскен студенттерге түсінікті және формальді көзқарастан қатал түрдегі анықтаманы ұсыну қиын. Теңдеудің логикалық - математикалық анықтамасын мынадай түрде келтіруге болады. Айталық М - жиында алгебралық жиын белгіленген, х – М - дегі айнымалы, онда х-ке қатысты М жиындағы теңдеу деп а (х) = в (х) түріндегі предикат аталады, мұндағы а (х), в (х) жазылуына х белгісі енетін берілген операцияларға қатысты термалар, екі және одан көп айнымалысы бар теңдеулерде осылай анықталады. Логикада қабылданған «Терм» және «предикат» терминдеріне математиканың «өрнек» айнымалысы бар «сөйлем» терминдері сәйкес келеді. Сондықтан келтірілген анықтамаға келесі анықтама жақын: «Айнымалысы бар екі өрнектің арасындағы теңдік түрінде берілген айнымалысы бар сөйлем теңдеу деп аталады». Теңдеудің математикалық анықтамасын талдап, одан екі компонентті бөлуге болады. Біріншісі – теңдеу дегеніміз ерекше текті предикат. Екіншісі қандай текті екенін анықтайды: бұл екі терминді байланыстыратын теңдік, сонымен қатар бұл терминдердің де белгілі арнайы түрі бар. Теңдеулер мен теңсіздіктер жемісін оқытуда компоненттің екеуі де үлкен роль атқарады. Біріншісі мағыналық компонент, теңдеулер түбірі ұғымын түсіну үшін маңызды. Сонымен қатар мағыналық компонент көбінесе теңдеулердің түрлендіруінің дұрыстығын негіздеу үшін қолданылады. Екінші компонент теңдеуді бейнелейтін жазылудың формальді ерекшеліктеріне қатысты. Бұл компонентті белгілік (знаковый) деп атаймыз. Ол теңдеудің жазылуы әр түрлі түрлендіруге ұшырағанда маңызды, көбінесе осындай түрлендірулер механикалық түрде жасалынады. Жоғары мектептің оқыту процесінде айнымалысы бар сөйлемді ескеріп, теңдеу ұғымын қолдану мүмкіндігі, математика курсының міндетті тақырыптарында «ақиқат», «жалған» терминдердің және осы терминнің бар болуына тәуелді. Осы жағдайда теңдеу ұғымының мағыналық компоненті теңдеудің түбір ұғымымен тығыз байланысты. Сонда екі термині бар жүйе шығады: «теңдеу» терминінде белгілік компонент қасиеттері бар, ал «теңдеулердің түбірі» термині мағыналық компонентті ескертеді. Мысалы, мынадай анықтама берілген: «Айнымалысы бар теңдікті де теңдеу деп атаймыз. Айнымалысы бар теңдік дұрыс сандық теңдікке айналатын айнымалының мәні теңдеулердің түбірі деп аталады». Теңдеулер ұғымын қарастыруда «теңдеуді шешу» терминін қолдануды қажет етеді. Сонымен теңдеулер ұғымын меңгеру үшін теңдеу, теңдеулердің түбірі, теңдеулерді шешу деген нені білдіреді деген терминдерді қолдану қажет. Теңдеулер ұғымының анықтамасында «айнымалы» мен «белгісіз» терминдерінің бірі қолданады. Бұлардың айырмашылығы мынадай: айнымалысы ешқайсын арнайы ерекшелемей біршама бір сынның әріптік белгілеуі болып табылады. Бұлардың бірін алып, теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұнын ашу елеулі ерекшеліктерге әкеледі. Мәселен, «айнымалы» терминімен әріптің орнына санды қою амалы байланысты, сондықтан а (х) = в (х) теңдеуіндегі х-тің орнына нақты сандарды қойып, олардың ішінен түбірлерін табуға болады. «Белгісіз» термині белгіленген санды білдіреді, сондықтан белгісізді анықтайтын әріптің орнына сан қою орынды болмас еді, а (х) = в (х) теңдеуінің түбірін бұл тұрғыдан табу теңдікті тепе-тең деп ұйғарып х = х0 (мұндағы х0- санды өрнек) болатын түрге әкелуге тырысу арқылы жүзеге асады. Бұл әдістемені берген кезде айнымалыдан гөрі теңдеулер мен теңсіздіктер желісімен көбірек ұштастыратын белгісіз терминін қолданылатын боламыз. Сонымен, математиканы оқыту әдістемесінің ғылым және пән ретінде дамуына логиканың әсері мол. Логикалық заңдар жоғары мектеп математикасы ұғымдарының жүйесін құру кезінде, оқытудың көрнекілік жүйесін жасағанда қолданылады. 1.3. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі логикалықфункционалдық байланыстарды тиімді пайдалану жолдары Жоғары мектеп математикасында студенттердің білімі мен іскерлігінің және дағдысының танымдық талаптарға сай дамуына ықпал жасайтын теориялық және практикалық жағынан маңызды көптеген мәселелер бар. Бағдарламалық мәселелер өзара байланысына, жан-жақты зерттелген дидактикалық талаптарға сай болған жағдайда ғана білімнің молаюына айтарлықтай әсері тиеді. Танымдық мәні зор болатын, математикалық білім беру жүйесінде жетекші роль атқаратын мәселелер қатарына теңдеулер мен теңсіздіктер жатады. Теңдеу арқылы процестің дәл шешімі зерттелсе, ал теңсіздік арқылы белгілі бір аралықтағы қозғалыс зерттеледі. Теңсіздік қозғалысты сипаттайтын процесс болғандықтан, оның шешімі де теңсіздікпен бірге қозғалыстың проекциясын сипаттайды. х4 - 2х3 – 18х2 – 6х + 9 > 0 теңсіздігін қарастырайық. Есеп қойылысында х –тің өзгеру облысының «ұштарын» табу керектігі талап етілген. Теңсіздіктегі х –тің өзгерісі қай нүктеден басталатынын білу теңдеу арқылы анықталады. Сондықтан келесі теңдеуді теңсіздікке сәйкес теңдеу деп атайды. х4 - 2х3 – 18х2 – 6х + 9 = 0 (ст) Е гер көпмүшелік көбейтіндіге жіктелмесе, онда ол құрылымы тұрақты функция мен квадрат теңдеулер жүйесіне жіктеледі. Құрылымы тұрақты функция мен квадрат теңдеудің коэффициенттері де әзірше белгісіз. Сондықтан оларды тиісінше f(х) және p, q арқылы белгілеп, ойлау үрдісін сипаттайтын сөйлемді математика тілінде жазуды жүзеге асырайық. Берілген теңдеуді квадрат теңдеуге келтіру үшін (ст) теңдеуінің екі жағын х2 –қа бөліп түрлендірейік. Сонда Бірінші жақшадағы х –тің екінші дәрежесі құрылымы тұрақты функция- ның дәрежесі емес. Ол квадрат үшмүшеліктің дәреже көрсеткіші. Сондықтан f(х) үшін екінші жақша ішінде тұрған функцияны аламыз, яғни аламыз. Сонда (ж) жүйесі мына түрде жазылады. Ойлау жүйесіндегі f(х) функциясы да, квадрат теңдеудің коэффициент- тері де анықталды. Теңсіздікті шешуге көшелік. Енді (ж) жүйесіндегі теңдік таңбасын теңсіздікке алмастырып және (ст) теңдеуінің шешімін теңсіздік таңбасымен алмастырып теңсіздікпен сипатта-латын аралықтың ұшын анықтауға қажетті жүйе жазамыз. Квадрат теңдеудің шешімдерін виета теоремасын пайдаланып табамыз: у1 = - 4; у2 = 6. (т1ж) мен (т2ж) жүйелеріндегі түрлендірулер мен у1 = -4 және у2 = 6 квадрат теңдеудің шешімдерін табу теңсіздік таңбасының сақталуына да, сақталмауына да әсер етпейді. Теңсіздік таңбасының анықталуы (т) жүйесінен басталады. Өйткені теңсіздіктің негізгі шешімі ордината өсінің (у =1) оң жағында орналасқан 6>0 саны алынады. Себебі тура мен кері функциялардың анықталу облысы нақты оң сандар жиыны. жүктеу/скачать 2,26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|