, және тағы басқа түріндегі функциялардың мәндерінің жиынын анықтауға арналған есептер мектеп бітірушілердің ұлттық бірыңғай тест (ҰБТ) тапсырмаларында жиі кездеседі.
Мектеп оқулықтарының бірде бірінде мұндай есептер арнайы қарастырылмағандықтан, оқушылардың көпшілігінің бұл есептерді шығара алмайды. Математикалық талдау аппараттарын пайдалана отырып функцияны зерттеу, оның графигін салу арқылы бұл тапсырмаларды орандауға болады. Функцияның мәндерінің жиынын табу көп жағдайда теңдеудің шешімін табумен байланысты болады. саны функциясының мәндер жиынына кіруүшін, теңдеуінің, мұндағы , шешімінің болуы қажетті және жеткілікті. Бұл теңдеудің - дің мәніне байланысты бір түбірі, бірнеше түбірі немесе түбірі болмауы да мүмкін. Осындай есептерді шығарудың оңтайлы тәсілдерінің бірі төменде келтірілген.
Ол үшін, алдымен (мұндағы ) түріндегі гиперболаны қарастырайық. Бұл функцияның мәндер жиыны екендігі ақиқат.
1-мысал.функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. немесе .
Жауабы: .
2-мысал. функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. сандары бөлшектің бөлімінің нөлдеріболғандықтан, бұл функция осы нүктелерде анықталмайды. Ал, саны алымы мен бөлімінің ортақ нөлі. Сондықтан, болса, онда функцияның нүктесіндегі мәні , яғни,берілген функцияның мәні -тің ешбір мәнінде 1-ге тең бола алмайды, ендеше біріншіден . Екіншіден, гиперболасының мәндер жиыны екендігі белгілі.
Сондықтан, берілген функцияның мәндер .
Жауабы: .
3-мысал. функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Бөлшектің алымы мен бөлімінің ортақ түбірі жоқ екендігі белгілі. Берілген функцияны немесе түріне келтіреміз. Яғни, функцияның мәндер жиынын табу үшін, у параметрдің қандай мәндерінде соңғы квадрат теңдеудің шешімі болатындыған анықтау жеткілікті. Ол үшін D 0 теңсіздігін құрып, шешеміз: .
Соңғы теңсіздіктің шешімі: болатындығына көз жеткізу қиын емес. Жауабы:
4-мысал. функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Мұндай есептерді квадрат үшмүшенің толық квадратын айыру тәсілі және туынды арқылы функцияның кризистік нүктесін анықтап, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәндерін табу арқылы да шығаруға болады. Алайда, парабола төбесінің ординатасының формуласын қолдану, тапсырманы тез және дұрыс орындауға көмектеседі. Атап айтқанда, парабола төбесінің ординатасының формуласы болғандықтан, болса, онда
, ал болса, онда болады.
Біздің мысалда , ал болғандықтан, .
Жауабы: .
5-мысал. функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Квадрат түбір астындағы квадрат үшмүшеліктің мәндер жиыны ) болғандықтан,
болатындығы анық.
Жауабы: .
Ескерту: Сан аралығының «квадрат түбірін табу» амалының жазылуы ерсілеу көрінгенмен, оның дұрыстығы өрнектің монотондылығымен түсіндіріледі.
6-мысал. функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. функциясының мәндер жиыны:
болғандықтан,
