Аннотация: Толқындық теңдеу үшін Коши есебін шешу және шексіз кеңістікте толқын таралуы қарастырылады.
Кілт сөздер: толқындық теңдеу; Даламбер; Пуассон; Кирхгоф; Коши есебі.
Жоспары:
Біртекті емес теңдеу үшін Коши есебі.
Екі айнымалы гиперболалық теңдеу үшін Риман функциясы және оның қасиеті.
Дәріс тезистері
Тақырыбы Дәріс №7. Параболалық типті теңдеулер. Шеттік есептер. Жылуөткізгіштік теңдеу үшін Коши есебі.
Сағат саны 1 сағ
Аннотация: Параболалық типті теңдеулер, оларға қойылатын шеттік есептер, және жылуөткізгіштік теңдеу үшін Коши есебі зерттеледі.
Кілт сөздер: праболалық; шеттік есеп; Коши есебі; жылуөткізгіштік; Коши.
Жоспары:
Параболалық типті теңдеулер.
Шеттік есептер.
Жылуөткізгіштік теңдеу үшін Коши есебі.
Дәріс тезистері
Тығыздығы жылу сыйымдылығы С(x) және ішкі жылу өткізгіштіг K(x) болатын дене қарастырайық. нүктесіндегі t мезеттегі дене температурасы болсын. Жылу өткізгіштік теңдеуін алу үшін Фурье заңын пайдаланамыз. Ол заң бойынша бағытымен өтетін жылу ағынының тығыздығы формуласымен өрнектеледі. Денеден S бетімен шектелген D көлемін алып, арқылы жылу көзінің тығыздығынмен белгілейік. Егер Q арқылы жылу көзінен уақыт аралығында келетін жылу мөлшерін белгілесек, ол
формуласымен, ал жылу шығыны, яғни D көлемімен сыртқа тарайтын жылу ағыны, Фурье заңы бойынша
формуласымен анықталады. Дене температурасын өзгертуге жұмсалған жылу мөлшері
Энергияның сақталу заңы бойынша немесе
Бұған Остроградский – Грин формуласын, яғни өрістер теориясын қолдансақ, онда
Ал D аймағы кез келген болғандықтан,
бұдан
(*)
теңдеуін, ал және K(x) тұрақты болса, онда
белгілеулерін енгізіп, жылу өткізгіштік теңдеуі деп аталатын
теңдеуін аламыз. Ал егер екі өлшемді болса, онда
теңдеуін аламыз. Ал егер қарастыратын облысымыз бір өлшемді болатын болса, онда
теңдеуін аламыз. Мұндағы а - температураның өткізгіштік коэффициенті деп аталады.
Біз бір өлшемді облысты қарастырумен шектелеміз, яғни
(1)
жылуөткізгіштік теңдеуін қарастырамыз. Сәйкес біртекті
(2)
жылу өткізгіштік теңдеуін еркін жылу алмасу теңдеуі деп те атайды.
ф ункциясы (1) теңдеудің Коши есебінің шешімі деп аталады, егер аралығында (1) теңдеуді қанағаттандырса, ал болғанда
(3)
алғашқы шартын қанағаттандырса.
Шекаралық шарттар шекарадағы температуралық режимдерге бпйланысты әртүрлі болады. Шекаралық шарттың үш негізгі типі қарастырылады. Шекарасы S болатын D денесіне (*) теңдеумен бейнеленетін температура таралуына S бетіндегі жылу режимінің әсері өте зор. Бұл жағдайда шекаралық шарттар былай қойылады:
І-текті шекаралық шарт. D денесінің S бетінде температура берілген. Онда шарты бірінші шекаралық шарт деп аталады.
ІІ-текті шекаралық шарт. Ѕ бетінде жылу ағымы берілген. Бұл жағдайда ,екінші шекаралық шарт деп аталады, мұндағы - ізделінді функцияның Ѕ бетінің сыртқы нормалінің бағыты бойынша алынғын туынды. Ал егер одан дене оқшауланған болса, онда .
Достарыңызбен бөлісу: |
