ІІІ-текті шекаралық шарт. Егер Ѕбетінде температурасы β(x,t) болатын қоршаушы кеңістікпен жылу алмасуы жүрсе, онда Ньютон заңы бойынша шарты үшінші шекаралық шарт деп аталады, мұндағы h-жылу алмасу еселеуіші.
Өткізу форматы: (дәріс сабағындағы қолданылатын әдіс-тәсілдер және сабақтың жүру барысы көрсетіледі). Традициялық әдіс
Тақырыбы Дәріс №8. Жылуөткізгіштік теңдеудің іргелі шешімі. Жылуөткізгіштік теңдеу үшін Коши есебін шешу. Пуассон формуласы. Экстремум қағидасы және оның салдары. Грин функция әдісі. Сағат саны 1 сағ Аннотация:Жылуөткізгіштік теңдеудің іргелі шешімі, оған қойылған Коши есебі, Пуассон формуласы зерттеледі.
Кілт сөздер: Пуассон; Коши; жылуөткізгіштік; іргелі шешім.
Жоспары:
Жылуөткізгіштік теңдеудің іргелі шешімі. Жылуөткізгіштік теңдеу үшін Коши есебін шешу.
Пуассон формуласы. Экстремум қағидасы және оның салдары.
Грин функция әдісі.
Дәріс тезистері Жылу өткізгіштіктің біртекті теңдеуінің
(1)
тұйық облысында алғашқы
(2)
шартын және біртекті бірінші
(3)
шекаралық шарттарын қанағаттандыратын, үзіліссіз шешімін табу керек.
Бұл қойылған (1)-(3) есебінің үзіліссіз шешімін Фурье әдісімен келесі айнымалыларды ажырату әдісі көмегімен іздейміз, яғни
(4)
мұндағы Х(х) тек қана хайнымалысынан тәуелді, ал Т(t) тек қана t айнымалысынан тәуелді әзірге белгісіз функциялар. (4) шешімді (1) теңдеуге қоямыз. Сонда
(5)
(4) функция (1) теңдеудің шешімі болуы үшін (5) теңдік тепе-теңдікті қанағаттандыруы керек.
х пен t кез-келген мәндерінде (5) теңдіктің оң жағы тек қана х –тен тәуелді функция, ал сол жағы тек қана t –дан тәуелді функция.
х кейбір мәнін бекітіп және t өзгертіп (немесе керісінше) отырғанда бұл теңдіктің екі жағындағы қатынастарда өздерінің аргументтері өзгергенде тұрақты мәнді қабылдайды, яғни
(6)
Мұндағы λ - тұрақты шама, оның теріс таңбасы алдағы уақытта ыңғайлы болу үшін алынған.
(6) қатынастан Х(х) пен Т(t) анықтау үшін мына дифференциалдық теңдеулерді аламыз.
(7)
(8)
(3) шекаралық шарттардан мына шарттарды аламыз.
Бұдан Х(х) функциясы мына қосымша шекаралық шарттарды қанағаттандыруы керек.
(9)
Олай болмаған жағдайда және и(x,t)0 болар еді, бірақ біздің міндетіміз нольге тең емес шешімін табу. Т(t) функциясы үшін негізгі көмекші есепте ешқандай қосымша шарттар жоқ.
Сонымен, Х(х) функциясын табуға байланысты біздер қарапайым меншікті мәндер есебіне келеміз.
Қойылған есептің нөлдік емес шешімі бар болатын параметрінің мәндерін табу есебіне келеміз.
(10)
және сол мәндерге сәйкес келетін шешімді табу керек. параметрінің ондай мәндер меншікті мәндер деп, ал оларға сәйкес шірік емес шешімдер (10) есептің меншікті функциялары деп аталады.
Осылай қойылған (10) есепті көбіне көп Штурм-Лиувилль есебі деп атайды. Бұл (10) есепті шығару үшін параметрінің үш жағдайын қарастырамыз. <0, =0, >0. <0 болсын. Бұл жағдайда (10) есептің нөлдік шешімі болады.
