Лаплас және Пуассон теңдеулері. Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі.
Грин формулалары. С2-класс пен гармоникалық функцияларды интегралдық өрнектеу.
Дәріс тезистері Көптеген стационар, уақытқа тәуелсіз, процестер эллипс текті теңдеулермен сипатталады. Ал қарапайым жағдайда, біртекті ортада әсер көздері жоқ болса, процесс координатаның үш бағыты үшін Лаплас теңдеуімен сипатталады:
. (1)
Бұл жерде - анықталатын белгісіз функция.
Операторлық түрде Лаплас теңдеуі былайша жазылады:
. (2)
Бұл жерде - Лаплас операторы.
Кезкелген аймағында математикалық физика теңдеуімен сипатталатын белгілі бір есепті шешу қажет болсын делік. Есептің жалғыз ғана шешімін табу үшін шекаралық шарт белгілі болу керек, басқаша айтқанда, белгісіз айнымалылардың аймағының шекаралық бөлігіндегі мәндерін нақты теңдеулермен беру керек.
Егер аймағы үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген көлем болса, онда берілген көлемді қоршап тұрған тұйық бет болады. Егер аймағы екіөлшемді кеңістіктегі кезкелген бет болса, онда берілген бетті қоршап тұрған тұйық контур болады. Ең соңында, егер аймағы бірөлшемді кеңістіктегі кезкелген кесінді болса, онда берілген кесіндінің екі шеткі нүктесі болады.
Шекаралық шарттарды беретін теңдеулердің түріне қарап, оларды бірінші текті (Дирихле шарттары), екінші текті (Нейман шарттары) және үшінші текті деп бөледі.
Бірінші текті шекаралық шарттар, немесе Дирихленің шекаралық есебі, былайша беріледі:
болғанда . (3)
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функция; - шекарасында берілген кезкелген функция; - шекаралық нүктенің кеңістіктегі координаталары (мысалы, үшөлшемді кеңістік үшін ); - уақыт.
Егер жылуөткізгіштік есебі қарастырылып отырса, онда бірінші текті шекаралық шарт шекарасындағы температураны береді. Ток өткізбейтін ортадағы элетростатикалық өрістің таралуы есебінде бірінші текті шекаралық шарт шекарасындағы электр потенциалын береді және т.б.
Екінші текті шекаралық шарттар, немесе Нейманның шекаралық есебі, былайша беріледі:
болғанда . (4)
Бұл жерде - шекарасының ішкі нормалы.
Басқаша айтқанда, Нейман шарттары шекарадағы ағынды, дәлірек айтсақ, ағын векторының шекараға түсетін нормалға проекциясын береді. Мысалы, жылуөткізгіштік есептерінде, екінші текті шекаралық шарттар жылу ағынын береді, ал ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы есепте – электр өрісінің кернеулігінің векторының шекараға түсетін нормалға проекциясын береді және т.б.
Үшінші текті шекаралық шарттар Дирихле мен Нейман есептерінің жалпыланған түріне жатады және былайша жазылады: болғанда
. (5)
Бұл жерде - координаталар мен уақыттың белгілі функциялары.
Тақырыбы Дәріс №11. Гармоникалық функциялардың негізгі қасиеттері (сфера мен шар бойынша орта мән туралы теорема, Нейман есебінің шешілу шарты т.б.). Гармоникалық функцияның шексіздегі бағасы. Лаплас теңдеуі үшін шекаралық есептердің шешулерінің жалғыздығы туралы теоремалар. Сағат саны 1 сағ Аннотация: Гармоникалық функциялардың негізгі қасиеттері, шексіздегі бағасы зерттеліп, Лаплас теңдеуі үшін шекаралық есептердің шешулерінің жалғыздығы туралы теоремалар келтіріледі.
