Кілт сөздер: классикалық шешім; дербес туындылы теңдеулер жүйесі; Коши есебі; жалпыланған шешім.
Жоспары:
Шар мен дөңгелек үшін Дирихле есебін шешу, Пуассон формуласы. Шешімін негіздеу.
Пуассон формуласының кейбір салдары (Гарнак теңсіздігі, Лиувилль мен Гарнак теоремалары).
Дирихле сыртқы есебі.
Дәріс тезистері Дөңгелекке арналған бірінші шекаралық есепті қарастыралық: келесі (дөңгелек ішінде) (1)
теңдеуін және шекаралық шартын (дөңгелек шекарасында) (2)
қанағаттандыратын функциясын табу керек, мұндағы - берілген функция.
функциясы үзіліссіз және дифференциалданады және шешімі тұйық облыста үзіліссіз деп алайық.
Полюсі дөңгелек центрінде орналасқан полярлық координатасыын енгізелік. (1) теңдеу полярлық координатада
(3)
түріне келеді. (1) теңдеуді айнымалаларын ажырату немесе Фурье әдісімен шешеміз. Ол үшін (1) теңдеудің шешімін
(4)
түрінде іздейміз. (4) шешімді (3) теңдеуге қойсақ,
(5)
(6)
түріндегі екі теңдеуге келеміз, мұндағы . (5) және (6) теңдеулерін жеке-жеке шешіп (4) шешімге қойсақ,
шешімдерін аламыз. Бқл шешімдер қосындысы ішкі есеп үшін:
сыртқы есеп үшін:
болады. коэффициенттері үшін шекаралық шарттарды қолданамыз:
(7)
функциясы бұрышынан тәуелді функция деп қарастырып, оның Фурье қатарына жіктелуін аламыз, яғни
(8)
мұндағы
(7) және (8) қатарларын салыстырсақ,
(ішкі есеп үшін)
(сыртқы есеп үшін)
Коэффициенттерін аламыз. Сонымен дөңгелекке арналған ішкі бірінші шекаралық есептің шешімін қатар түрінде алдық
(9)
Ал дөңгелекке арналған сыртқы бірінші шекаралық есептің шешімі
(10)
болады.
Тақырыбы Дәріс №13. Лаплас теңдеуі үшін Грин функциясы және оның қасиеті. Шар мен дөңгелек үшін Грин функциясы. Сағат саны 1 сағ
