Теорема 4. Пусть  ,    ,  и  . Тогда, для любого  ,
1 Тригонометрические ряды Фурье
1.1 Тригонометрические ряды Фурье
Определение 1.1.1 Если для членов системы  , состоящей из функции  в отрезке  (или в интервале  ) и
будет выполнено равенство
тогда система в отрезке  (или в интервале  ) называется ортогональной системой.
Число
называется нормой функции  . Если норма функции  ортогональной системы  на отрезке  будет равно единице, то тогда такая система называется ортонормированной. В качестве простого примера ортогональной функции на отрезке можно взять систему, состоящую из тригонометрических функции
 (1.1.1)
Для того, чтобы показать, что данная система на отрезке и вправду является орногональной, вычислим приведенные ниже интегралы:
1.  ;
2. 
3. 
4. Интеграл от произведения косинуса и синуса равен нулю, и вправду
Если  , тогда
5. Если  , то интеграл от произведения синусов
 ,
где  Если , тогда
 .
6. Для любых целых неотрицательных чисел  и при интеграл от произведения косинусов
 .
Если  , тогда
 .
В итоге доказано, что система (1.1.1) на отрезке будет ортогональной. Но она не является ортонормированной. Система (1.1.1) определяет ортонормированную систему, только если норма функции, входящих в систему будет равна единице, например, система
Ортонормированная система в отрезке .
Также в качестве примеров ортогональных систем можно рассмотреть следующие системы
Достарыңызбен бөлісу: |
