1.3 Комплексный вид рядов Фурье и его производные
Если функция  на отрезке абсолютно интегрируема, и
тогда значения  и  подставляем в формулу Эйлера:
Внеся данные изменения в ряд (1.1.2), получим следующую формулу
Введем значения
Получим запись ряда Фурье в комплексном виде
здесь коэффицент вычисляется по следующей формуле:
то, что коэффиценты и ,  являются комплексно-сопряженными числами известно по формуле. Если вместо будет дано , тогда соответственно комплексная форма ряда Фурье будет дана в следующем виде
здесь
 
Лемма 1.3.1 [22] Если функция на промежутке будет непрерывной, тогда будет верно равенство 
Если функция на отрезке частично непрерывно дифференцируема,
то есть, из почленно дифференцируемого ряда Фурье функции выйдет ряд Фурье.
Производная ряда Фурье в комплексном виде:
а производная высшей степени будет иметь следующий вид
здесь n натуральное число.
Теперь дадим определение частичного дифференциала в значении Вейля.
Пусть  будет  -периодичной функцией в .  -ряд Фурье и  - коэффициенты Фурье.
Нулевая функция по периоду рассматривается как:
Из
дробный интеграл по Г.Вейлю
и дробный дифференциал
должны быть дробной производной 2π-периодичной функции или интегралом 2π-периодичной функции.
Достарыңызбен бөлісу: |
