Джумабаева А. А
Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье
жүктеу/скачать 1,11 Mb.
|
Амантаева Айым, (диплом) ММ-22 (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 1.4.2
1.4 Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье Изучим связь между рядами Фурье функции и ее производной. Теорема 1.4.1 [23] Пусть функция f непрерывна на отрезке ,  и пусть
Если функция f кусочно-непрерывно дифференцируема на отрезке , то 
т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой функции почленным дифференцированием. Перейдем к изучению скорости сходимости ряда Фурье в зависимости от гладких функций. Предварительно рассмотрим лемму. Лемма 1.4.1 [23] Пусть функция f имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно и кусочно-непрерывную производную порядка  , причем
 
тогда коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют неравенствам   
где  и ряд  сходится.
Теорема 1.4.2 [23] Пусть функция f имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно и кусочно-непрерывную производную порядка  причем  Тогда ряд Фурье функции f равномерно и абсолютно на всем отрезке сходится к самой функции f и
где  ( числовая последовательность), а  сумма Фурье порядка функции .
Таким образом, можно сказать, что на отрезке равномерно выполняется оценка 
Заметим, что если  и  - последовательности неотрицательных чисел таких, что
 и 
то  (1.4.1)
Действительно, это неравенство сразу получается предельным переходом из неравенства Коши-Шварца  при  .
Теорема 1.4.2 показывает, что чем более гладкой является функция т.е. чем больше она имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее ряд Фурье. Ряд Фурье -й производной функции имеет вид 
где Мы будем использовать следующее определение дробного дифференцирования, которое было введено Вейлем [24]. Пусть  (1.4.2)
называется дробными производными Вейля порядка . Напомним, что сопряженный ряд к (1.1.2) задается
Преобразованный ряд Фурье (1.1.2) определяется  (1.4.3)
где Мы называем функцию  производной Лиувилля-Вейля (или  -производной функции) и обозначаем её  . Как важный пример рассмотрим, если  , тогда  и для  , мы имеем  , где  -дробные производные в смысле Вейля (см (1.4.2)) и  является -дробной производной сопряженной функции
Пусть 
На протяжении всей работы мы используем обозначение  с  , для оценки , где - положительная постоянная, не зависящая от существенныx величин в и . Кроме того,  означает, что  (в этом случае мы говорим, что эквивалентно ). Кроме того, C обозначает положительные константы, не зависящие от существенных параметров, которые могут быть различными в разных формулах.
жүктеу/скачать 1,11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
-периодическая интегрируемая функция 
. Тогда функция 
, 
и 
последовательность положительных чисел.
- наилучшее приближение функции 
по тригонометрическим полиномам степени не более , т.е.