Ә. Н. ШыНыбеков, Д. Ә. ШыНыбеков

27

Әрине, саралап дамыта оқыту принциптері бойынша келтірілген жоспарды 

сыныптағы  нақты  оқушылардың  аты-жөндері  мен  оларға  тапсырылатын  жеке 

тапсырмалармен және өзге іс-шаралармен толықтырып, нақтылау қажет. 

Жаттығуларға  шолу.  1.50-есептің  жауабын  интуитивті  түрде  барлық 

оқушылардың  берері  анық.  Бұл  есептің  оқушыларға  қиын  соғар  жері  ол  өз 

жауаптарын негіздей білуде. Есеп шары бойынша 

a    . Егер A = a   деп 

алсақ және 

а түзуі арқылы өтетін  жазықтығы -ға 

параллель десек, онда 

A  ,  A   болғандықтан,  мен 

 жазықтықтарының ортақ А нүктесі болар еді, яғни 

    .  Олай  болса,  а  түзуі  арқылы  өтетін  және  -ға 

параллель жазықтық жүргізу мүмкін емес. 1.48-есептің 

жауабын сызба арқылы негіздесе, жеткілікті (11-сурет- 

ті қараңыз). Мұнда «Есептің жауабы жазықтықтардың 

параллельдік белгісіне қайшы келмей ме?», «Неліктен 

қайшы келмейді?» деген сұрақтарға жауап алу арқылы 

3-теореманы пысықтай түсу қажет.

1.52-есепте де осы теореманы қолдану керек. 

1.53-есепте  үшбұрыштардың  ұқсастығын  қолдану 

керек. 

1.54. 

Берілгені:  

ABCD — квадрат, O  ABCD, OA

1

 = A

1

A,

OB

1

 = B

1

B, OC

1

 = C

1

C, OD

1

 = D

1

D, AB = 10 cм.

1) Дәлелдеу керек: 

D

1 



 

A

1

B

1

C

1

 және 

A

1

B

1

C

1

D

1



 

ABCD;

2) Табу керек:  P

A B C D

1 1 1 1

периметрін. (12-сурет).

Шешуі. 1) Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті 

бойынша. 

A

1

B

1 



 

AB, 

B

1

C

1 



 

BC. Онда осы сияқты A

1

D

1

C

1

  ABCD. 1-теорема бойынша A

1 

 нүктесі 

арқылы 

ABCD жазықтығына параллель жалғыз жазықтық өтеді. Демек, А

1

B

1

C

1

 

және 

А

1

D

1

C

1

 жазықтықтары беттеседі. Олай болса, 

А

1

, 

В

1

, 

С

1

, 

D

1

 нүктелері бір 

жазықтық бойында жатады және 

A

1

B

1

C

1

D

1 



 

ABCD.

2) Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті бойынша 

A

1

B

1

 =

1

2

AB = 5 cм. Осы 

сияқты  

А

1

D

1

 = 

B

1

C

1

 = 

C

1

D

1

 = 5 см. Онда  P

A B C D

1 1 1 1

 = 4 ⋅ 5 = 20 см.

1.55. Егер 

PQ  MN деп алсақ, онда теорема 4-ке қайшы келеміз. 

1.56. 1.51-есепті қараңыз.

1.57.

 Берілгені:   , а   = А. 

Дәлелдеу керек: а     .

Дәлелдеуі. Кері жорып, а    =  болсын делік. Онда     (анықтама бойынша) 

болып 

а

 

⊂  болар еді. Бұл есеп шартына қайшы. Олай болса, а    .

a

b

c





11-сурет

O

A

1

B

12-сурет

D

C

A

B

1

C

1

D

1

28

1.59. 

Берілгені:    және   . 

Дәлелдеу керек:    (13-сурет).

Дәлелдеуі. А   нүктесі арқылы а

1 

⊂

 

, а

2

 ⊂  

түзулерін жүргіземіз.    болғандықтан, 

B   нүк- 

тесі арқылы өтетін және 

а

1

  

b

1

, 

а

2

  

b

2 

болатындай 

b

1

, 

b

2

 ⊂ 

 

түзулерін жүргіземіз.    болғандықтан, ∠

C   

нүктесі арқылы өтетін және 

c

1 

 b

1

, 

c

2

  

b

2 

болатын 

c

1

, 

c

2

 ⊂  түзулері табылады.

Параллель түзулердің қасиеті бойынша 

a

1

  b

1

, b

1

  c

1  

 a

1

  c

1

 және a

2

  b

2

, 

b

2

    c

2 

 a

2

    с

2

.  Онда  жазықтықтардың  параллельдік 

белгісі бойынша 

  . 

1.60. 1.54-есепті қараңыз. 

1.61.  3-теореманы  қолдану  қажет.  1.63-есепте 

үшбұрыштардың  ұқсастығын  қолдану  қажет.  1.64  және 

1.65-есептерде 1.61-есепті қолдану қажет.

1.66. 

Берілгені:  а  b = , а  b, яғни айқас түзулер. 

Дәлелдеу керек: a ⊂ ,  b ⊂   болатындай жалғыз ғана 

,  жазықтықтар жұбы табылатынын. 

Дәлелдеуі.  А      және  B    b  нүктелерін  аламыз.  

1-теорема  (1.2)  бойынша 

А    m,  m    b  және  B 

  n,  n    a  болатындай  жалғыз  ғана  m,  n  түзу- 

лер  жұбы  табылады. 

a  және  m  түзулері  арқылы  өте- 

тін жазықтықты  деп, ал 

b және n түзулері арқылы өте- 

тін  жазықтықты     арқылы  белгілесек,  онда  ,  ,  біз- 

ге қажет жазықтықтар және олар бірмәнді (СІІІ аксиомасы) анықталады. 

1.67. Үшбұрыштың орта сызығының қасиетін қолдану қажет. 

1.68. Үшбұрыштардың ұқсастығы мен жазықтықтардың параллельдік белгі- 

сін қолдану қажет. 

1.69. Суретті қараңыз (14-сурет).

А = a  , B = a  ,

C= a  ,  AB : BC = ,

А

1

 = b  , B

1

 = b  , C

1

= 

b   болсын.

А

1 

B

1 

: 

B

1 

C

1

=   теңдігі орындалатынын дәлелдеу керек. 

Дәлелдеуі.  А  нүктесі  арқылы  өтетін  және  b  түзуіне  параллель  а

1 

түзуін 

жүргізейік. 

1.58-есепте көрсетілгендей  

а

1

 түзуі  және  жазықтықтарын қиып өтеді:  

B

2 

=

  

=

а

1 

 

,  C

2

=

 

а

1 



 

, а

 

және 

а

1 

арқылы өтетін 

АСС

2

 жазықтығы параллель   және   

жазықтықтарын параллель түзулер бойымен қиып өтеді (теорема 2), яғни 

BВ

2 

 СС

2

.  

Онда пропорционал кесінділер қасиеті бойынша  

АВ

2 

: 

В

2 

С

2 

=

 

AB : BC = . 

 

Екінші 

A

C

a

1

B

a

2

b

1

b

2

c

1

c

2







13-сурет

А

А

1







В

В

1

В

2

С

С

1

а

а

1

b

14-сурет

29

жағынан, 

а

1 

 b болғандықтан, теорема 4  бойынша АВ

2

 

=А

1 

В

1

, 

В

2 

С

2 

=

В

1 

С

1 

, яғни 

А

1 

В

1 

:

В

1 

С

1 

=

 

 

АВ

2

 :  В

2 

С

2 

. Олай болса,  А

1 

В

1 

:

В

1 

С

1 

= . 

Дәлелдеу керегі де осы. 

1.70. 1.58-есепті қараңыз. 

1.71. 15-суретті қараңыз. Мұнда 

АС=А

2 

С=А

1 

С

1

, 

BС=В

2 

С=В

1 

С

1

. 

ABC және А

1 

В

1 

С

1

 жазықтықтары үнемі параллель бола бермейді. 

1.72. 1.70-есепті қараңыз.

A

B

C

A

1

B

1

C

1

A

2

B

2

15-сурет

30

2-бөлім. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы

Ұсынылатын сағат саны

: 16

о

сыған 

дейін 

меңгерілген 

білім:

 

планиметрия 

курсындағы 

түзулердің 

өзара 

орналасуы, 

түзулер 

арасындағы 

бұрыш, 

түзулердің 

перпендикулярлығы, 

көлбеу 

және 

оның 

проекциясы, 

үшбұрыштар 

(тік 

бұрышты  үшбұрыш) теңдіктерінің белгілері, көпбұрыштың ауданы

Мәнмәтін:

 бөлім 

материалдарын 

меңгеру 

арқылы 

оқушылар 

түзу 

 мен 

жазықтықтың 

перпендикулярлы-

ғын 

ажырата 

біледі, 

үш 

перпендикуляр 

теоремасын 

іс 

жүзінде 

есептер 

шығаруда 

қолданады, 

дағдыға 

айналдырады, ортогональ проекцияның ауданын анықтайды.

Пәндік мақсат:

Тілдік мақсат:

Пәнге қатысты лексика 

мен терминология:

Диалогке (жазуға)

қажет сөзтіркестер:

10.2.6; 

10.2.7; 

10.2.8; 

10.3.1; 

10.3.5; 

10.2.9; 

10.2.10; 

10.3.2; 

10.3.3; 

10.3.4. 

Оқушылар:

– 

түзулер 

арасындағы 

бұрышқа, 

түзулердің 

п

ер

п

ен

д

и

к

у

л

я

р

л

ы

ғы

н

а 

анықтама 

беріп, 

оны 

түсіндіре біледі;

– 

түзу 

мен 

жазықтық 

перпендикулярлығы 

қа-

 

сиеттерін 

тұжырымдай-

 

ды 

және 

оларды 

дәлел-

 

деу жолын түсіндіреді;

– 

үш 

перпендикуляр 

тео-

 

ремасын 

түсін

діреді 

және 

 

оның 

қолдану 

жолдарын 

 

сипаттайды;

– 

түзу 

мен 

жазықтық 

арасындағы 

бұрышты, 

 

екі 

жазықтық 

арасын-

дағы 

екіжақты 

бұрыш-

ты анықтап, түсіндіреді;

– 

көпбұрыш 

проекция-

сы 

ауданын 

анықтау 

жо

-

лын түсіндіреді;

– 

екі 

түзу, 

түзу 

мен

 

жазықтықтың 

перпен-

дикулярлығы;

– 

үш 

перпендикуляр 

тео

-

ремасы;

– 

көлбеу 

проекциясы, 

пер

-

пендикуляр 

және 

оның 

 

табаны;

– 

кеңістіктегі 

арақашық-

 

тық;

– 

параллель 

проекция

-

лау;

– 

проекциялау 

бағыты,

 

проекциялау жазықтығы;

– 

көпбұрыштың 

ортого

-

наль проекциясы;

– 

кеңістік 

денелерінің 

жазықтықтағы бейнесі;

– 

пирамида; 

параллели

-

пипед, 

текше, 

тік 

приз-

ма.

– 

Екі 

түзу 

арасындағы 

бұрыш 

деп 

... 

бұрышты 

атайды;

– 

... 

кесінділер 

өзара 

перпендикуляр 

деп 

ата

-

лады;

– 

бір 

жазықтыққа 

пер

-

пендикуляр 

түзулер 

өзара ... ;

– 

жазықтықта 

жата

-

тын 

түзу 

көлбеуге 

пер

-

пендикуляр 

түзу 

болуы 

үшін 

... 

қажетті 

және 

жеткілікті;

– 

екі 

фигураның 

ара-

 

қашықтығы 

деп 

... 

атай

-

ды;

– 

көлбеу 

мен 

оның 

про

-

екциясы 

арасындағы 

бұ-

 

рыш ... ;

– 

екіжақты 

бұрыштары 

90

° 

болатын 

жазықтық-

 

тар өзара ... болады.

қ

ысқаша 

шолу: 

Оқушылар 

кеңістікте 

түзулер 

мен 

жазықтардың 

перпендикулярлығын 

ажырата 

біледі 

және кеңістік денелерін жазықтарда бейнелей біледі, ортогональ проекция ауданын анықтай біледі.

31

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

10.2.6; 10.2.7; 10.2.8.

1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев. 

Геометрия-10,  

жалпы 

редакциясын 

басқарған  

М. Өтелбаев,  «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік нұсқаулар. Бұл тақырыпта есептеуді қажет тұтатын жаттығулар  

үлесі  көбейгенімен,  әлде  де  болса  олардың  саны  жеткіліксіз.  Сондықтан  тү- 

зулер  мен  жазықтықтардың  өзара  перпендикулярлығы  ұғымын  қолдана  оты- 

рып,  олардың  кеңістіктегі  өзара  орналасулары  жөніндегі  оқушылардың  көз- 

қарастарын  кеңейтіп,  дамыта  түсу  қажет.  Мұнда  оқушылардың  геометрия- 

лық  деректерді  қысқаша  жаза  білулері  және  қысқаша  жазылған  мәліметтерді 

оқи  білу  бейімділіктерін  шыңдап,  дамыта  түскен  жөн.  Әсіресе  кеңістікте 

перпендикуляр  түзулер,  перпендикуляр  түзу  мен  жазықтықтардың  қағаз  бе- 

тіндегі  бейнелерін  сала  білу  дағдыларын  дамытуға  басты  көңіл  бөлінгені  дұ- 

рыс. Осы мақсатта сабақты түсіндіру барысында мынадай көрнекіліктерді қол- 

данса болады. 

ескерту:

мұнда  оқушылардың  қажетті  сызба  жұмыстарын,  қысқаша  жазуды  және 

ауызша тұжырымдауды дұрыс айтуын назардан тыс қалдырмау қажет.

Бұл  көрнекіліктерді  осы  көрсетілген  үлгі  бойынша  оқушыларды  шағын  

топтарға  іріктеп  орындауды  тапсырса  болады.  Мұнда  кезектесіп,  бір  оқушы  

анықтаманы, теореманы, ауызша тұжырымдайды, екіншісі оны қысқаша жазу  

үлгісімен  жазады,  ал  үшіншісі  оған  сәйкес  сызбаны  орындайды  не  дайын  су- 

реттерден көрсетеді.

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы

32

Сөзбен айтылуы

Қысқаша 

жазылуы

Сызбасы

1

2

3

1-анықтама.

Қиылысушы екі түзу арасындағы 

бұрыш деп пайда болған бұрыш- 

тардың доғал емесін айтады.

a  b=0,

AOB BOC

(a,b) = AOB.

А

В

С

О

а

b

m

n



α

2-анықтама.

Айқас  түзулер  арасындағы  бұ- 

рыш деп оларға параллель қиы-

лысушы түзулер арасындағы бұ-

рышты айтады. 

a

  n, b  m, О = a  b  

 (m,

n) = (a,b)

3-анықтама. 

Егер 

а  және  b  түзулері  ара- 

сындағы бұрыш 90°-қа тең бол-

са, онда бұл түзулерді өзара пер-

пендикуляр  түзулер  деп  атай-

ды: 

(a,b) = 90°   a  b

а

b

1-теорема.

Параллель  түзулердің  біріне 

перпендикуляр  түзу  олардың 

екіншісіне  де  перпендикуляр 

болады. 

a

  b, a  с  b  с

с

а b

4-анықтама.

Егер 

а  түзуі  α  жазықтығының 

кез  келген  түзуіне  перпендику- 

ляр болса, онда 

а түзуін α жазық- 

тығына перпендикуляр деп атай-

ды: 

a  α

∀ b ⊂ α,  a  b  a  α



a

b

a

c

b



жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: