Ә. Н. ШыНыбеков, Д. Ә. ШыНыбеков



Pdf көрінісі
бет6/11
Дата24.10.2019
өлшемі1,22 Mb.
#50562
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Байланысты:
Геометрия 10-сынып


2.56. 

Берілгені: AC=17 cм, AD=10 cм, CD=9 cм. 

Табу керек: AB (23-сурет).

S

ACD

=

⋅ ⋅ ⋅ =



18 1 8 9

36 cм


2

=



= ⋅

=

AB



S

CD

2

2 36



9

8

 



cм.

 Жауабы: 8 cм. 



2.57. 

Берілгені: DO  ABC, AD BD CD = 5 см, 

AС BС = 6 см, AB = 4 см.

Табу керек: DO (24-сурет).

Шешуі. 

АВС  үшбұрышына  сырттай  сызылған 

шеңбердің 



ОС радиусын тапса, жеткілікті. 

S

ABC

=

⋅ ⋅ ⋅ =



8 2 2 4

8 2 см


2

.



=

= ⋅ ⋅


=

=



R

abc

S

4

6 6 4



4 8 2

9

2 2



9 2

4

cм.



=



=

=



DO

DC

OC

2

2



25

81

8



=

=



200 81

8

1



4

238 см. 


Жауабы:

1

4



238 см.

2.58.  Аспалы  көпірдің  иілуін  ескермесек,  онда  тростың  ұзындығы 

48 3


40 35 6

48 5


2

2

,



,

,

+



(

)



=

м.  48,5  санының  10%-і  4,85-ке  тең  болғандықтан, 

тростың ұзындығы 48,5+4,85 = 53,35 м болуы қажет. 

2.59. 

Берілгені: АВСD — ромб, АВ ⊂ α, DF  α, 

CE  α, AE = 8 см, BF = 2 см, DF CE = 4 см.

Табу керек: AF, EF (25-cурет).

Шешуі. 

АСЕ үшбұрышынан:

AC

AE

CE

=

+



=

+

=



2

2

64 16



80 . BDF үшбұ- 

рышынан  BD



BF

DF

=

+



=

+

=



2

2

4 16



20.  

AO

BO AO

AC

=



=

,

,



1

2

2 5



  

BO

BD

=

=



1

2

5 болғандықтан, 



AB

AO

BO

=

+



=

+ =


2

2

20 5



5 cм, 

AB=EF= 5 см.

AF

AD DF

=



=

2

2



25 16 3

= cм. 



Жауабы: 5 см, 3 см.

D

B

C

A

23-сурет


D

B

C

A

O

24-сурет


D

B

C

A

E

F

25-сурет


41

2.60.  

AC BD KP = 2 см

 



=

=

=



=

AB

AK

AP

AD

2 см.


барлық қырлары  2 см (26-сурет).

Егер 


АВK және CDP үшбұрыштарының ауыр- 

лық  центрлерін  қосатын  түзуді  шеңбер  жазық- 

тығына  перпендикуляр  және  осы  шеңбер  центрі  

арқылы өтетіндей етіп бағыттаса, онда бұл фигура  

диаметрі 

2 6


3

1 64


< ,

cм  болатын  шеңбер  арқылы  

да  өтіп  кетеді.  Өйткені  бұл  фигураның  көрсетіл- 

ген  бағытқа  перпендикуляр  қималарының  диа- 

метрлерін  қарастырсақ,  бұл  диаметр 

2 6


3

  см-ден  бастап 



А

1

P

1

B

1

C

1

K

1

D

(үшбұ- 


рыштардың  орта  сызықтарынан  құрылған  дұрыс  алтыбұрыш,  қабырғасы 

2

2



см)  алтыбұрышының  диаметрі  2 см-ге  дейін  кеміп,  сонан  соң 

СDР  үш- 

бұрышына  жеткенше 

2 6

3

см-ге  дейін  қайта  өседі.  Сонымен  берілген  фигура  



диаметрі  1,8  см  болатын  дөңгелек  саңылаудан  өтіп  кетеді.  Мұнда  фигура  

диаметрі деп оған сырттай сызылған шеңбердің диаметрін айтады. 

26-сурет

D

D

1

P



O

B

C

K

A

C

1

K

1

P

1

A

1

B

1


42

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

10.2.9; 


10.2.10; 

10.3.2; 


10.3.3; 10.3.4.

1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев.  

Геометрия-10,  

жалпы 

редакциясын 



басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019



2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv



5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11



8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18



Әдістемелік  нұсқаулар.  Алдыңғы  тақырыптарда  атап  өткеніміздей,  сабақты  

түсіндіру барысында мынадай (компьютер арқылы немесе өзге тәсілмен дайындал- 

ған) көрнекіліктерді қолданған жөн. 

ескерту:

Мұнда  оқушылардың  қажетті  сызба  жұмыстарын,  қысқаша  жазуды  және 

ауызша тұжырымдауды, дұрыс айтуын назардан тыс қалдырмау қажет.

кеңістіктегі бұрыштар


43

сөзбен айтылуы

қысқаша жазылуы

сызбасы

1

2



3

a түзуі мен α жазықтығы А нүк- 

тесінде қиылыссын. 



В  нүктесі- 

нен  α  жазықтығына  түсірілген  

перпендикулярдың  табаны 

С  

болсын. 


АС  түзуін  a  түзуінің  α  

жазықтығындағы 

проекциясы 

деп атайды. 



а — көлбеу түзу, 

А — оның табаны.

 α



В  a,

С  α,

ВС  α  АС түзуі 

а-ның проекциясы

В

C

D

A

a



1-теорема. 

Түзу  мен  оның  берілген  жазық- 

тықтағы проекциясының арасын- 

дағы бұрыш осы түзу мен беріл- 

ген  жазықтықтағы  оның  табаны  

арқылы  өтетін  өзге  түзулермен  

жасайтын бұрыштардың ішіндегі 

ең кішісі.



 α А

АС  —  проекциясы,  

AD  —  кез  келген  

түзу  


ВАС<BAD.

Анықтама. Түзу мен оның проек- 

циясының  арасындағы  бұрыш 

осы түзу мен жазықтық арасын- 

дағы бұрыш деп аталады. 



а   А,

 

АС– проекциясы,



В  аВС  α,

= ∠



( )

( )


a AC

a

,

;



.

α



Анықтама.  Ортақ  бір  түзумен  

шектелген  екі  жарты  жазық- 

тықтан  құралған  фигураны  екі  

жақты бұрыш деп атайды. 

В  С  А  аа   АВ  а,  

АС  а  ВАС бұрышы 

α β


,

( )



— 

екі жақты бұрыштың сызықтық 



бұрышы.

α,    —  екі  жақты 

бұрыш жақтары,

а — қыры

B

C

A



a

j

C

A

a

B





a

B

A





C


44

а  =      ,      а,  b  =      ,  

c  =        ϕ  =(b,c)  α  және   

жазықтықтары  арасындағы  бұ- 



рыш  деп  аталады.  Егер  ϕ=90°  

болса,  яғни 



b    c  болса,  α  жә- 

не  жазықтықтарын өзара пер- 



пендикуляр деп атайды. 

( ) = (c)



  α  .

2-теорема. 

(жазықтықтардың 

перпендикулярлық белгісі). Егер 

жазықтық  екінші  жазықтыққа 

перпендикуляр түзу арқылы өте- 

тін  болса,  онда  бұл  жазықтық- 

тар өзара перпендикуляр болады. 

а  , а ⊂   α  .

Ал  түзу  мен  жазықтық  арасындағы  және  кесінді  мен  көпбұрыш  жазық- 

тығы  арасындағы  бұрыш,  екіжақты  бұрыш  және  екі  жазықтық  ара- 

сындағы  бұрыштардың  бір-бірінен  айырмашылығын  көрсету  мақсатында 

мынадай сызбаларды қолдануға болады (27-сурет).

Жаттығуларға шолу

2.63. 2-теореманы қолдану қажет. 

2.65. Егер 

  (  )  конустық бет (28-суретті қараңыз). 

2.68.  Мүмкіндігінше  есептерге  қажет  

сызбаларды  үйреншікті  емес  түрде  са- 

лып  көрсетуді  естен  шығармау  қажет.  

Сонда  оқушылар  перпендикуляр  түзулер  

міндетті түрде вертикаль түзулермен (кесін-

ділермен) салынатыны туралы қалыптасқан 

ойдан арыла бастайды. 





j



a

b

c





a

b

c

a





B





D

A

c

B

D

A

C

C

B







B

D

C

27-сурет






a



j

j

B

A

B

A

C

F

E

D

28-сурет


45

Берілгені: (α; а) — екі жақты бұрыш: А, В  α,   С, D  AC BD  E, 

F  a, a =α  , AE  a, BF  a. AC=10 см, BD=20 см, AE=30 см.

Табу керек: BF.

Шешуі. 

AEa,  AC  болғандықтан,  үш  перпендикуляр  туралы  теорема 

бойынша 


CEa,  яғни  AEC  екі  жақты  бұрыштың  сызықтық  бұрышы.  

Осы сияқты 



BFD осы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы екенін көрсету 

қиын емес. Онда 



AEC = BFD. Сүйір бұрыштарының теңдігі бойынша AEC 



AEC

BFD

.



 

BFD. Олай болса,  



BF

BD

AE

AC

BF

=



=

20

30



10

=



BF

60  см.  

Жауабы: 60 см. 

2.71. 

Берілгені: α  ,   , α  

Дәлелдеу керек:   a, a = α  .

Дәлелдеуі. b = α  , c =    болсын. Онда abтүзулері бір нүкте арқылы  

өтеді: 


О  =  a    b    c.  Айталық,  a      болсын.  О  нүктесі  арқылы  -ға  пер- 

пендикуляр 



а

1

  түзуін  жүргізелік  (мұндай  түзу  жалғыз).  Олай  болса,  



а

1

  және  b  түзулері  арқылы  өтетін  α



1

  жазықтығы  -ға  перпендикуляр.  

Сонымен 

b  түзуі  арқылы  -ға  перпендикуляр  екі  α  және  α

жазықтықтары  



өтеді. Олай болуы мүмкін емес. Сондықтан 

а

және 



а түзулері беттесуі қажет,  

яғни 


а  .

2.73. Пирамиданың барлық жақтары тең қабырғалы үшбұрыштар, егер оның  

қырын 


m  арқылы  белгілесек,  онда  екіжақты  бұрыштың  шамасы  бүйір  

қабырғалары 

3

2

⋅   және  табаны  m  болатын  тең 



бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышқа тең: 

ños =


3

4

3



4

3

4



2

2

2



ϕ

m

m

m

m

+



=

2



2

1

3



.

 

2.75. 2.73-есепті қараңыз.

 

2.79. 



Дәлелдеуі. а  — көлбеулер: a  α, Bb  α, C

1

  α, 



D

1

  α, 



C

 

 α, D  b,  



AC=BDCC

1

 α, DD



 

α, C



 AB, D

1

F AB, E  AB, F   AB болсын (29-сурет). 

Онда  үш  перпендикуляр  туралы  теорема  бойынша 



CE    AB,  DF    AB.  

а  және  b  түзулері  арқылы  жалғыз    жазықтығын  жүргізуге  болады  және  

CEC

және 


DFD

1

 α мен  жазықтықтары арасындағы бұрышты анықтайды,  



яғни 

CEC

1

=



DFD

1



 

CC

1

=



DD

1

. Онда 



ACC

1

=



BDD

(бір катеті мен гипотенуза- 



ларының теңдіктері бойынша)  

CAC

1

=



DBD

1

.



C

D

A

E

B

a

F

C

1

D

1

b

29-сурет


46

2.80. 

Берілгені: АD  α,    

ACD=ABD=45°,

BDC = 120°,  AD=10 cм.

Табу керек: ВС (30-сурет). 

Шешуі: 

АDВ  және  АDС  тік  бұрышты  тең  бүйірлі  

үшбұрыштар: 



BD=DC=AD=10 cм. Косинустар теоремасы 

бойынша


BC

BD

DC

BD CD

2

2



2

2

120



=

+



° =

·

·



·cos

=

+



+

=

100 100 2 100



1

2

300



·

=



BC 10 3 см.

Жауабы: 10 3  см.



2.81. Косинустар теоремасы мен Пифагор теоремасын 

қолдану қажет. 



2.82. 

АС  =  BD    AD  =  CB.  ABC  =  ϕ,  BAD  =  ψ 

болсын (31-сурет). 

ABC

AC

AB

=



sin

;

ϕ



ABD



BD

AB

AC

AB

: sin


ψ =

=



=

⇒ =


sin

sin


.

ϕ

ψ



ϕ ψ

2.83. 

 Берілгені: АОС = ϕ, BOC = ψAOB = ,

(

АОС)  (BОС). 



Дәлелдеу кeрек: cos = cos ϕ  · cos ψ (32-сурет).

Дәлелдеуі.  АС   ОС,  ВС   ОС  болсын.  Онда  OC=m  деп 

алып, 


AC mtgϕ, BC mtgψ,  OA

m

=

cos



,

ϕ

  OB



m

=

cos



,

ψ

AB



m

m

=

+



=

+



tg

tg

2



2

2

2



1

1

2



ϕ

ψ

ϕ



ψ

cos


cos

екeнін  анықтау  қиын  емес. 



ОАВ  үшбұрышына  косинустар  теоремасын  қол- 

данайық:


cos

cos


cos

cos


cos

ω

ϕ



ψ

ϕ

ψ



=

+



=

+



+





OA



OB

AB

OA OB

m

m

m

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



1

1

2









=



2

2

m

cos

cos


cos

cos .


ϕ

ψ

ϕ



ψ

D

a

B

C

A

30-сурет


A

B

b

C

D

a

31-сурет


B

O

C

A

32-сурет


ϕ

ω

ψ



47

2.86. 2.71-есепті қараңыз. 

2.87. 2.83-есепті қараңыз:  cos( ( ; ))

cos


cos

=



a c

ϕ

ψ



.

2.88. 

l    m,  A  =  l    α,  B  =m    α,  AP    BP

QP  BPAK  m болсын (33-сурет). Онда AP   (BPQ)  

және үш перпендикуляр туралы теорема бойынша 



KP  m. AP = b, AB = a  

AP b AB

a BP

a

b

=

=



=

,



.

,

2



2

 KBP = ϕ

=



BK

BP cos .

ϕ  


ABK 

=



=



(

)

=



AK

AB

BK

a

a

b

2

2



2

2

2



2

cos


ϕ =

+



a

b

2

2



2

2

sin



cos

ϕ

ϕ .



 

Жауабы: a



b

2

2



2

2

sin



cos

.

ϕ



ϕ

+

B



A

l

Q

m

K

P

a

33-сурет


48

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

10.2.11  —  жазық  фигура- 

ның  ортогональ  проекция-

сын жазықтықта салу;

 

10.3.6 — жазық фигураның



жазықтықта ортогональ 

проекциясы ауданының 

формуласын білу және оны 

есептер 


шығаруда 

қол- 


дану; 

1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев.  

Геометрия-10,  

жалпы 

редакциясын 



басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет