2.56.
Берілгені: AC=17 cм, AD=10 cм, CD=9 cм.
Табу керек: AB (23-сурет).
S
ACD
=
⋅ ⋅ ⋅ =
18 1 8 9
36 cм
2
⇒
=
= ⋅
=
AB
S
CD
2
2 36
9
8
cм.
Жауабы: 8 cм.
2.57.
Берілгені: DO ABC, AD = BD = CD = 5 см,
AС = BС = 6 см, AB = 4 см.
Табу керек: DO (24-сурет).
Шешуі.
АВС үшбұрышына сырттай сызылған
шеңбердің
ОС радиусын тапса, жеткілікті.
S
ABC
=
⋅ ⋅ ⋅ =
8 2 2 4
8 2 см
2
.
⇒
=
= ⋅ ⋅
⋅
=
=
R
abc
S
4
6 6 4
4 8 2
9
2 2
9 2
4
cм.
⇒
=
−
=
−
=
DO
DC
OC
2
2
25
81
8
=
−
=
200 81
8
1
4
238 см.
Жауабы:
1
4
238 см.
2.58. Аспалы көпірдің иілуін ескермесек, онда тростың ұзындығы
48 3
40 35 6
48 5
2
2
,
,
,
+
−
(
)
=
м. 48,5 санының 10%-і 4,85-ке тең болғандықтан,
тростың ұзындығы 48,5+4,85 = 53,35 м болуы қажет.
2.59.
Берілгені: АВСD — ромб, АВ ⊂ α, DF α,
CE α, AE = 8 см, BF = 2 см, DF = CE = 4 см.
Табу керек: AF, EF (25-cурет).
Шешуі.
АСЕ үшбұрышынан:
AC
AE
CE
=
+
=
+
=
2
2
64 16
80 . BDF үшбұ-
рышынан BD
BF
DF
=
+
=
+
=
2
2
4 16
20.
AO
BO AO
AC
⊥
=
=
,
,
1
2
2 5
BO
BD
=
=
1
2
5 болғандықтан,
AB
AO
BO
=
+
=
+ =
2
2
20 5
5 cм,
AB=EF= 5 см.
AF
AD DF
=
−
=
2
2
25 16 3
−
= cм.
Жауабы: 5 см, 3 см.
D
B
C
A
23-сурет
D
B
C
A
O
24-сурет
D
B
C
A
E
F
25-сурет
41
2.60.
AC = BD = KP = 2 см
⇒
=
=
=
=
AB
AK
AP
AD
2 см.
барлық қырлары 2 см (26-сурет).
Егер
АВK және CDP үшбұрыштарының ауыр-
лық центрлерін қосатын түзуді шеңбер жазық-
тығына перпендикуляр және осы шеңбер центрі
арқылы өтетіндей етіп бағыттаса, онда бұл фигура
диаметрі
2 6
3
1 64
< ,
cм болатын шеңбер арқылы
да өтіп кетеді. Өйткені бұл фигураның көрсетіл-
ген бағытқа перпендикуляр қималарының диа-
метрлерін қарастырсақ, бұл диаметр
2 6
3
см-ден бастап
А
1
P
1
B
1
C
1
K
1
D
1
(үшбұ-
рыштардың орта сызықтарынан құрылған дұрыс алтыбұрыш, қабырғасы
2
2
см) алтыбұрышының диаметрі 2 см-ге дейін кеміп, сонан соң
СDР үш-
бұрышына жеткенше
2 6
3
см-ге дейін қайта өседі. Сонымен берілген фигура
диаметрі 1,8 см болатын дөңгелек саңылаудан өтіп кетеді. Мұнда фигура
диаметрі деп оған сырттай сызылған шеңбердің диаметрін айтады.
26-сурет
D
D
1
P
O
B
C
K
A
C
1
K
1
P
1
A
1
B
1
42
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол
жеткізіледі
Оқыту ресурстары
10.2.9;
10.2.10;
10.3.2;
10.3.3; 10.3.4.
1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев.
Геометрия-10,
жалпы
редакциясын
басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019
2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-
риалдар жинағы
«Атамұра», Алматы, 2019
3. http://bilim land.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/
6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/
7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-
24/2011-09-20-23-58-11
8.http://festival.september.ru/articles/100725/
9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA
10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18
Әдістемелік нұсқаулар. Алдыңғы тақырыптарда атап өткеніміздей, сабақты
түсіндіру барысында мынадай (компьютер арқылы немесе өзге тәсілмен дайындал-
ған) көрнекіліктерді қолданған жөн.
ескерту:
Мұнда оқушылардың қажетті сызба жұмыстарын, қысқаша жазуды және
ауызша тұжырымдауды, дұрыс айтуын назардан тыс қалдырмау қажет.
кеңістіктегі бұрыштар
43
сөзбен айтылуы
қысқаша жазылуы
сызбасы
1
2
3
a түзуі мен α жазықтығы А нүк-
тесінде қиылыссын.
В a нүктесі-
нен α жазықтығына түсірілген
перпендикулярдың табаны
С
болсын.
АС түзуін a түзуінің α
жазықтығындағы
проекциясы
деп атайды.
а — көлбеу түзу,
А — оның табаны.
A
= a α,
В a,
С α ,
ВС α АС түзуі
а-ның проекциясы
В
C
D
A
a
1-теорема.
Түзу мен оның берілген жазық-
тықтағы проекциясының арасын-
дағы бұрыш осы түзу мен беріл-
ген жазықтықтағы оның табаны
арқылы өтетін өзге түзулермен
жасайтын бұрыштардың ішіндегі
ең кішісі.
a α = А,
АС — проекциясы,
AD — кез келген
түзу
ВАС< BAD.
Анықтама. Түзу мен оның проек-
циясының арасындағы бұрыш
осы түзу мен жазықтық арасын-
дағы бұрыш деп аталады.
а = А,
АС– проекциясы,
В а, ВС α,
∠
= ∠
( )
( )
a AC
a
,
;
.
α
Анықтама. Ортақ бір түзумен
шектелген екі жарты жазық-
тықтан құралған фигураны екі
жақты бұрыш деп атайды.
В , С , А а, а = , АВ а,
АС а ВАС бұрышы
α β
,
( )
—
екі жақты бұрыштың сызықтық
бұрышы.
α, — екі жақты
бұрыш жақтары,
а — қыры
B
C
A
a
j
C
A
a
B
a
B
A
C
44
а = , а, b = ,
c = ϕ =( b,c) α және
жазықтықтары арасындағы бұ-
рыш деп аталады. Егер ϕ=90°
болса, яғни
b c болса, α жә-
не жазықтықтарын өзара пер-
пендикуляр деп атайды.
( ; ) = (b ; c)
b c α .
2-теорема.
(жазықтықтардың
перпендикулярлық белгісі). Егер
жазықтық екінші жазықтыққа
перпендикуляр түзу арқылы өте-
тін болса, онда бұл жазықтық-
тар өзара перпендикуляр болады.
а , а ⊂ α .
Ал түзу мен жазықтық арасындағы және кесінді мен көпбұрыш жазық-
тығы арасындағы бұрыш, екіжақты бұрыш және екі жазықтық ара-
сындағы бұрыштардың бір-бірінен айырмашылығын көрсету мақсатында
мынадай сызбаларды қолдануға болады (27-сурет).
Жаттығуларға шолу
2.63. 2-теореманы қолдану қажет.
2.65. Егер
A (B ) конустық бет (28-суретті қараңыз).
2.68. Мүмкіндігінше есептерге қажет
сызбаларды үйреншікті емес түрде са-
лып көрсетуді естен шығармау қажет.
Сонда оқушылар перпендикуляр түзулер
міндетті түрде вертикаль түзулермен (кесін-
ділермен) салынатыны туралы қалыптасқан
ойдан арыла бастайды.
j
a
b
c
a
b
c
a
B
D
A
c
B
D
A
C
C
B
B
D
C
27-сурет
a
j
j
B
A
B
A
C
F
E
D
28-сурет
45
Берілгені: (α; а; ) — екі жақты бұрыш: А, В α, С, D , AC , BD , E,
F a, a =α , AE a, BF a. AC=10 см, BD=20 см, AE=30 см.
Табу керек: BF.
Шешуі.
AE a, AC болғандықтан, үш перпендикуляр туралы теорема
бойынша
CE a, яғни AEC екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы.
Осы сияқты
BFD осы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы екенін көрсету
қиын емес. Онда
AEC = BFD. Сүйір бұрыштарының теңдігі бойынша AEC
AEC
BFD
.
BFD. Олай болса,
BF
BD
AE
AC
BF
=
⇒
=
20
30
10
⇒
=
BF
60 см.
Жауабы: 60 см.
2.71.
Берілгені: α , , α .
Дәлелдеу керек: a, a = α .
Дәлелдеуі. b = α , c = болсын. Онда a, b, c түзулері бір нүкте арқылы
өтеді:
О = a b c. Айталық, a болсын. О нүктесі арқылы -ға пер-
пендикуляр
а
1
түзуін жүргізелік (мұндай түзу жалғыз). Олай болса,
а
1
және b түзулері арқылы өтетін α
1
жазықтығы -ға перпендикуляр.
Сонымен
b түзуі арқылы -ға перпендикуляр екі α және α
1
жазықтықтары
өтеді. Олай болуы мүмкін емес. Сондықтан
а
1
және
а түзулері беттесуі қажет,
яғни
а .
2.73. Пирамиданың барлық жақтары тең қабырғалы үшбұрыштар, егер оның
қырын
m арқылы белгілесек, онда екіжақты бұрыштың шамасы бүйір
қабырғалары
3
2
⋅ m және табаны m болатын тең
бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышқа тең:
ños =
3
4
3
4
3
4
2
2
2
ϕ
m
m
m
m
+
−
⋅
=
2
2
1
3
.
2.75. 2.73-есепті қараңыз.
2.79.
Дәлелдеуі. а b — көлбеулер: A = a α, B= b α, C
1
α,
D
1
α,
C
α, D b,
AC= BD, CC
1
α, DD
1
α, C
1
AB, D
1
F AB, E AB, F AB болсын (29-сурет).
Онда үш перпендикуляр туралы теорема бойынша
CE AB, DF AB.
а және b түзулері арқылы жалғыз жазықтығын жүргізуге болады және
CEC
1
және
DFD
1
α мен жазықтықтары арасындағы бұрышты анықтайды,
яғни
CEC
1
=
DFD
1
CC
1
=
DD
1
. Онда
ACC
1
=
BDD
1
(бір катеті мен гипотенуза-
ларының теңдіктері бойынша)
CAC
1
=
DBD
1
.
C
D
A
E
B
a
F
C
1
D
1
b
29-сурет
46
2.80.
Берілгені: АD α,
ACD=ABD=45°,
BDC = 120°, AD=10 cм.
Табу керек: ВС (30-сурет).
Шешуі:
АDВ және АDС тік бұрышты тең бүйірлі
үшбұрыштар:
BD= DC= AD=10 cм. Косинустар теоремасы
бойынша
BC
BD
DC
BD CD
2
2
2
2
120
=
+
−
° =
·
·
·cos
=
+
+
=
100 100 2 100
1
2
300
·
⇒
=
BC 10 3 см.
Жауабы: 10 3 см.
2.81. Косинустар теоремасы мен Пифагор теоремасын
қолдану қажет.
2.82.
АС = BD AD = CB. ABC = ϕ, BAD = ψ
болсын (31-сурет).
ABC
AC
AB
⇒
=
sin
;
ϕ
ABD
BD
AB
AC
AB
: sin
ψ =
=
⇒
=
⇒ =
sin
sin
.
ϕ
ψ
ϕ ψ
2.83.
Берілгені: АОС = ϕ, BOC = ψ , AOB = ,
(
АОС) (BОС).
Дәлелдеу кeрек: cos = cos ϕ · cos ψ (32-сурет).
Дәлелдеуі. АС ОС, ВС ОС болсын. Онда OC= m деп
алып,
AC = mtgϕ, BC = mtgψ, OA
m
=
cos
,
ϕ
OB
m
=
cos
,
ψ
AB
m
m
=
+
=
+
−
tg
tg
2
2
2
2
1
1
2
ϕ
ψ
ϕ
ψ
cos
cos
екeнін анықтау қиын емес.
ОАВ үшбұрышына косинустар теоремасын қол-
данайық:
cos
cos
cos
cos
cos
ω
ϕ
ψ
ϕ
ψ
=
+
−
⋅
=
+
−
+
−
OA
OB
AB
OA OB
m
m
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
⋅
=
⋅
2
2
m
cos
cos
cos
cos .
ϕ
ψ
ϕ
ψ
D
a
B
C
A
30-сурет
A
B
b
C
D
a
31-сурет
B
O
C
A
32-сурет
ϕ
ω
ψ
47
2.86. 2.71-есепті қараңыз.
2.87. 2.83-есепті қараңыз: cos( ( ; ))
cos
cos
∠
=
a c
ϕ
ψ
.
2.88.
l m, A = l α, B = m α, AP BP,
QP BP, AK m болсын (33-сурет). Онда AP ( BPQ)
және үш перпендикуляр туралы теорема бойынша
KP m. AP = b, AB = a
AP b AB
a BP
a
b
=
=
=
−
,
.
,
2
2
KBP = ϕ
⇒
=
⋅
BK
BP cos .
ϕ
ABK ⇒
=
−
=
−
−
(
)
=
AK
AB
BK
a
a
b
2
2
2
2
2
2
cos
ϕ =
+
⋅
a
b
2
2
2
2
sin
cos
ϕ
ϕ .
Жауабы: a
b
2
2
2
2
sin
cos
.
ϕ
ϕ
+
B
A
l
Q
m
K
P
a
33-сурет
48
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол
жеткізіледі
Оқыту ресурстары
10.2.11 — жазық фигура-
ның ортогональ проекция-
сын жазықтықта салу;
10.3.6 — жазық фигураның
жазықтықта ортогональ
проекциясы ауданының
формуласын білу және оны
есептер
шығаруда
қол-
дану;
1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев.
Геометрия-10,
жалпы
редакциясын
басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019
Достарыңызбен бөлісу: |