-есеп те осы сияқты әсер қалдырары сөзсіз. 1.6

19

1.11. 

Берілгені:  A  m,  m ⊂ .  Дәлелдеу керек:  A  . 

Дәлелдеуі.  Егер  A      болсын,  онда  m ⊄   болар  еді,  өйткені  m  түзуінің 

барлық  нүктелері      жазықтығында  жатпайды.  Алынған  қайшылық 

A     

екенін көрсетеді. Бұл тұжырымды былай айтады: « жазықтығында жататын 

m 

түзуінің кез келген нүктесі осы  жазықтығына тиісті болады».

1.15.

 Берілгені: А, В, С және D нүктелері бір жазықтықта жатпайды.

Дәлелдеу керек: А, В, С, D нүктелерінің кез келген үшеуі бір түзу бойында 

жатпайды. 

Дәлелдеуі. Кері жорып, А, B, С нүктелері а түзуінің бойында жатсын делік. 

Онда теорема, 2 бойынша 

a түзуі мен D нүктесі арқылы жазықтық жүргізуге 

болады, яғни 

A, B, C, D нүктелері бір жазықтықта жатады. Бұл теорема шартына 

қайшы.

1.17. 1) 3-теореманы қараңыз.

2) 

A,  B    m,  m        тұжырымынан  A,  B   

қатынасы  орындала  бермейді.  Егер 

m  түзуі  және   

жазықтығы қиылысса, яғни 

m   = C болса, онда A    

не 

B   болады. Өйткені С нүктесі А және В нүктелерінің 

екеуімен де беттесуі мүмкін емес (4-суретті қараңыз). 

3) 

a  ⊂  ,  P    a  ⇒  P      тұжырымы  да  орын- 

дала бермейді. Себебі  жазықтығында жататын және 

a 

түзуіне тиісті емес шексіз көп нүкте бар (5-сурет).

4) 

Берілгені:    = b,  A  , A  .

Дәлелдеу керек: A  b.

Дәлелдеуі.  Айталық,  A    ,  A      болсын.  Онда     

және  жазықтықтары 

А нүктесі арқылы өтетін a (A  a) 

түзуі бойымен қиылысады (СІІ аксиомасы). Ал    

= b 

болғандықтан, 

a = b болуы қажет, яғни A  b.

1.19. 

А  нүктесі  берілсін.  Дәлелдеу  керек:  A     

болатындай  жазықтығы табылатынын.

Дәлелдеуі. Кеңістіктен a түзуін аламыз. Мұнда екі түрлі жағдай орындалуы 

мүмкін: 1) 

A  a; 2) a  A.  

1)  Егер 

A  a болса, онда 2-теорема бойынша А нүктесі мен a түзуі арқылы 

өтетін жалғыз  жазықтығын жүргізуге болады, яғни 

A  a болатындай   жа- 

зықтығы табылады.

2) 

A    a  болсын.  Онда  B    a  болатындай  В  нүктесі  табылады  (7-сынып,  І 

аксиома).  Ал  СІІ  аксиомасы  бойынша

  В  нүктесі  мен  a  түзуі  арқылы  өтетін   

жазықтығы табылады және 

A  a ⊂ .

Бұл есепті 

А нүктесі арқылы қиылысатын a және b түзулерін жүргізіп, СІ  

аксиомасын  пайдаланып  шешуге  болатын  сияқты  көрінгенімен,  біздің  қара- 

мағымызда кеңістікте 

А нүктесі арқылы өтетін қиылысушы a, b түзулерін жүр- 

гізуге болатыны жөнінде дәлелденген дерек жоқ. 

1.20.  Алдымен  1.19-есеп  сияқты  екі  нүкте  арқылы  жазықтық  жүргізуге 

4-сурет

A

B

C



a

P



5-сурет

20

болатынын қолдану керек.

1.21. 

берілгені: А нүктесі, a түзуі, A  a. 

Дәлелдеу керек. A  b, b  a   болатындай кез келген b түзуі мен А нүктесі 

арқылы өтетін жазықтықта жататынын. 

Дәлелдеуі. 2-теорема бойынша А нүктесі мен a түзуі арқылы жалғыз  жа- 

зықтығын  жүргізуге  болады: 

A   ,  a  ⊂  .  A    b,  b    a  =  B  болатындай  кез 

келген 

b түзуін алайық. B  a ⇒ B  , A  b, A   болғандықтан, b түзуі 3-теорема 

бойынша  жазықтығында жатады.

1.23. Бұл есепте оқушылар айқас түзулер ұғымын білмесе де, қиылыспайтын 

және  параллель  емес  түзулерге  мысал  келтірулері  қажет  (оздыра  оқытуға 

берілген есеп).

21

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

– Кеңістіктегі параллель жә- 

не  айқас  түзулер  анықта- 

маларын білу;

– кеңістіктегі параллель тү- 

зулердің  қасиеттерін  білу 

және оларды есептер шыға- 

руда қолдану; 

1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р. Н. Жұмабаев, 

Геометрия-10,  

жалпы 

редакциясын 

басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік  нұсқаулар.  Әлде  болса  да,  тақырыпты  пысықтауға  арналған, 

есептеуді  қажет  ететін  жаттығулар  саны  өте  аз.  Мұндағы  келтірілген  есептер 

кеңістікте  түзулер  мен  жазықтықтардың  өзара  орналасуларын  анықтайтын 

және қарапайым дәлелдеулерді талап ететін есептер. Сондықтан бұл тақырыпта, 

негізінен,  оқушылардың  қысқаша  жаза  білу  бейімділіктерін  қалыптастыруға  

қажет  есептер  жинақталған.  Жаңа  сабақты  түсіндіруден  бастап  келтірілген 

анықтамалар мен теоремаларды қысқаша жазу үлгісімен беріп, оларды сөзбен 

айта  білуге  машықтандыру  қажет.  Сонымен  қатар  стереометрияның  алғашқы 

тақырыптарынан  бастап  оқушыларды  кеңістік  фигураларын  қағаз  бетінде 

(жазықтықта) бейнелей білу бейімділіктерін қалыптастыру қажет. Ол үшін мына- 

дай үлгі бойынша оқушыларға қысқаша конспект жазып отыруды талап ету керек:

ескерту:

Оқушылардың анықтамалар мен теоремаларды дұрыс тұжырымдап, түсінді- 

ре  алуына  және  оларға  сәйкес  сызбаларды  дұрыс  орындауларына  жіті  көңіл  

бөліңіз.

кеңістіктегі түзулердің өзара орналасуы

22

сөзбен айтылуы

қысқаша 

жазылуы

сызбасы

1-анықтама. 

Бір жазықтықта жататын  

және қиылыспайтын түзу- 

лер 

параллель деп аталады.

a ⊂ , b ⊂ , 

a  b =  ⇒ a  b

a

b



2-анықтама. 

Бір жазықтықта жатпай- 

тын және қиылыспайтын 

түзулер өзара айқас түзу- 

лер деп аталады.

a ⊂ , b ⊄ , a  b =  

⇒ a және b – айқас 

түзулер.

a





b

1-теорема. 

Түзуден тысқары орналас- 

қан нүкте арқылы осы ту- 

зуге параллель жалғыз 

түзу өтеді.

A   a,  A   b  және  b    a 

болатындай  жалғыз 

b 

түзуі табылады.

A

a



b



3-анықтама.

Егер түзу мен жазықтықтың 

ортақ  нүктелері  болмаса, 

онда  бұл  түзу  мен  жазық- 

тықты  өзара  параллель  деп 

атайды.

b   =   b  

2-теорема. 

Әрқайсысы  үшінші  бір  тү- 

зуге  параллель  болатын  екі  

түзу  өзара  параллель  бола- 

ды.

a  c, b  c  a  b

3-теорема. 

Егер  берілген   жазықтықта  

жатпайтын түзу осы жазық- 

тықта жататын қандай да бір  

түзуге параллель болса, онда  

бұл  түзу  берілген  жазық- 

тыққа параллель болады.

a ⊄ ; b ⊂  және a  b  

a  .

4-теорема. 

Айқас түзулердің бірі арқы- 

лы екіншісіне  параллель бо- 

латын  бір  ғана   жазықтық 

өтеді.

a    b  =  ,  a    b      a 

  ,  b  ⊂    болатындай 

жалғыз    жазықтығы 

табылады.

a



c



b



a





b

23

Мұнда  келтірілген  теоремалардың  дәлелдемесін  толыққанды  келтіру  не- 

месе  оны  сызбалар  арқылы  ауызша  негіздемелермен  алмастыру  сыныптың 

дайындық  деңгейіне  байланысты,  ол  мұғалімнің  өз  еркіне  тапсырылады.  Егер  

сыныптың геометриялық мәліметтерді қабылдау деңгейі төмен болса, онда бұл  

сыныпта,  мысалы,  теорема  2-нің  дәлелдемесін  толыққанды,  математикалық  

қатаңдықпен  түсіндіру  орынсыз,  уақыт  қорын  бостан-босқа  ысырап  қылумен  

пара-пар  (жүйкеге  нұқсан  келетінін  ескермегеннің  өзінде).  Мұндай  сынып- 

тарда барлық көрнекіліктерді пайдалана отырып, дәлелдемелерді  ауызша  негіз- 

демелермен  алмастыру  қажет,  ал  үнемделген  уақыт  қорын  оқушыларды  

геометриялық  мәліметтерді  қысқаша  жазуға,  оларды  оқуға  және  сәйкес  сыз- 

баларды сала білу бейімділіктерін қалыптастыруға жұмсаған анағұрлым тиімді  

де  әрі  қызықты  да.  Ал  математиканы  тереңдетіп  оқытатын  сыныптардағы  

оқушылар  мен  қабілетті  оқушылардан  бұл  теоремалардың  қатаң  математи- 

калық дәлелдемелерін келтіре білулерін талап ету қажет, себебі бұл дәлелдеме- 

лердің  оқушының  математикалық  ойлау  мәдениетінің  дұрыс  қалыптасуына  

ықпалы зор. 

Жалпы,  сабақ  қорытындысында  екі  түзудің,  түзу  мен  жазықтықтың  өз- 

ара орналасуларының барлық мүмкін жағдайларын қамтитын сызбаларды көр- 

сетумен аяқтаған жөн:

a ⊂ , c ⊂ , a  c = A, a  b, b және C — айқас түзулер a  , b  , m   = B, т.с.с.

Оқушыларға  осы  6-суреттегі  барлық  нүктелер, 

түзулер  және  жазықтықтардың  өзара  орналасуларын 

қысқаша  жазып  көрсетуді  және  оны  оқып  беруді 

тапсыру қажет. 

Жаттығуларға  шолу.  Тақырыпқа  берілген  жатты- 

ғулар оқушылардың түсініп, ұғынуы үшін көп қиын- 

дық  туындатпайды.  Олардың  негізгі  қиындығы  —  

интуициялық  деңгейде  шешімі  түсінікті  болатын  

есептерді шешу жолдарын жазып өрнектеуде. 

А тобы  

есептерінің  көпшілігін  ауызша  орындап,  оқушылар  

жауаптарын  сызбалар  арқылы  негіздесе,  жеткілікті.  

Мұнда  1.29  және  1.30-есептер  ғана  үшбұрыш  пен  

трапецияның  орта  сызығы  қасиеттерін  қолдануға  

берілген.  Мысалы,  1.30-есепте 

А  және  В  нүктелері    жазықтығының  бір  жақ  

бөлігінде жататынын қолдану қажет. 

1.35-есепті 1.20-сурет негізінде шығару қажет. Мұнда  

b  c болып, бұл түзу- 

лердің айқас екенін көрсету керек.

1.35. 

Берілгені: A  , B  , C  , A  BC, B  b, A  a, C  c, a, b, c ⊄ , 

D = a  b, E = a  c.

Дәлелдеу керек: b  c, b  c = .

Дәлелдеуі. Кері жорысақ, онда екі түрлі жағдай орындалуы мүмкін: 

b  c; b  c = .

1) 

b    c  болсын.  Онда  b  және  c  түзулері  арқылы    жазықтығын  жүргізуге 

болады:    

= BC. D  , E    a = DE ⊂   A  . Сонымен A   және A   

болғандықтан, 

 А нүктесі  және  жазықтықтарының ортақ ВС түзуінде жатады: 

B

b



C

A

c

m

a

6-сурет



24

A  BC. Бұл А, В, С нүктелерінің бір түзу бойында жатпайтынына қайшы, яғни 

b  c болуы мүмкін емес.

2) Енді  

b  c ≠   болсын делік. Онда қиылысатын b және c түзулері арқылы 

өтетін  жазықтығын жүргізіп, жоғарыда көрсетілгендей, 

A  BC қайшылығын 

аламыз. 

Алынған қайшылық 

b  c және b  c =  екенін, яғни b және c түзулері айқас 

болатынын көрсетеді. 

1.36-есепте  үшбұрыштардың  ұқсастық  белгілерін 

қолдану керек.

1.37. 

EF кесіндісі АВСD трапециясының орта сызығы  

болса,  онда  трапецияның 

АD  және  ВС  табандары  EF  

түзуіне  параллель.  Егер 

EF  ⊂    болса,  онда  3-теорема 

бойынша 

AD    және BC   , себебі  AD   EF, BC   EF  

(7-сурет). 

1.41. 

АВС  жазықтығында  K  нүктесі  арқылы  АВ-ға  

параллель 

KN,  (N  =  KN    AC)  түзуін  жүргізу  керек.  

Сонда 

N  нүктесі  AN  :  NC  =  2:3  шартын  қанағаттан- 

дырады. (8-сурет)

1.42.  Егер 

АD,  АВ,  ВС,  СD  кесінділерінің  ортала- 

рын  сәйкесінше 

P,  Q,  R,  T  арқылы  белгілесек,  онда  

PQ

BD

RT

=

=

1

2

, PQ  BD  RT  болғандықтан, PQRT —  

параллелограмм болады (9-сурет). 

1.44. 

a  b, a  c = A, b  c = B, a ⊂ , b ⊂  болса, 

онда 

A  c, A   және B  c, B   болғандықтан, c ⊂ .

1.45. 1.42-есепті қараңыз.

1.46. 1.39-есеп сияқты 

AF : FB = 1:2, AK : KC = 1:2  

болады. 

1.47.

 Берілгені: a, b түзулері мен  жазықтығы: 

a  b, a   ≠ 

Дәлелдеу керек: b   ≠  (10-сурет).

Дәлелдеуі. a  b, a   =А болсын. a және b түзулері 

арқылы өтетін  жазықтығын жүргізуге болады.

   = c  болсын,  онда  a  c = A.  a,  b  және  c  түзулері    

жазықтығында жатады және 

a  b, a  c = A ⇒ b  c  

болады, яғни 

b  c = B нүктесі табылады және B  ,  

яғни 

b   = B.

1.48. 4-теореманы қараңыз.

1.49.  Егер    жазықтығы 

Е  нүктесі  мен  АВ  түзуі 

арқылы өтсе, онда

 АВ  CD болғандықтан (теорема 3),  

CD  .

7-сурет

B



C

A

D

E

F

8-сурет

B



C

A

D

K

N

9-сурет

D

C

R

T

P

A

Q

B



B

A

b

a

10-сурет

25

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

  –  Түзу  мен  жазықтық- 

тың  параллельдік  белгісін  

және қасиеттерін білу, олар- 

ды  есептер  шығаруда  қол- 

дану; 

–  жазықтықтардың  пара- 

ллельдік 

белгісін 

және  

қасиеттерін  білу,  оларды  

есептер  шығаруда  қолдану; 

 

1.  Ә. Н.  Шыныбеков,  Д. Ә. Шыныбеков,  Р.  Н.  Жұма- 

баев.  Геометрия-10,   жалпы  редакциясын  басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік нұсқаулар. Алдыңғы тақырыптарға ұқсас, мұнда да есептеулерге 

берілген  жаттығулар  үлесі  аз.  Сондықтан  бұл  тақырыптарда  да,  негізінен, 

оқушылардың геометриялық мәліметтерді қысқаша, символдар көмегімен жаза 

білу  бейімділіктерін,  керісінше,  қысқаша  үлгіде  жазылған  мәліметтерді  өз 

сөздерімен  қысқа  әрі  нұсқа  дәл  жеткізе  білу  бейімділіктерін  және  оларға  сәй- 

кес сызбаларды сала білу бейімділіктерін шыңдап, жетілдіре түсуге бағытталған 

жұмыстар  жүргізу  қажет.  Сондықтан  мұнда  да  төмендегідей  салыстырмалы 

жазу үлгілерін қолдануды ұсынамыз.

ескерту:

Оқушылардың  анықтамалар  мен  теоремаларды  дұрыс  тұжырымдап,  түсіндіре 

алуына  және  оларға  сәйкес  сызбаларды  дұрыс  орындауларына  жіті  көңіл 

бөліңіз.

Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы. жазықтықтардың параллельдігі

26

Тұжырымы

қысқаша 

жазылуы

сызбасы

Анықтама. 

Егер  екі  жазықтықтың  ортақ 

нүктелері болмаса, онда бұл жа- 

зықтықтарды  параллель  деп 

атайды.

   =  ⇒   





1-теорема. 

Жазықтықтан  тысқары  жатқан  

нүкте арқылы осы жазықтыққа  

параллель  бір  ғана  жазықтық 

жүргізуге болады.

A   ⇒ A   және     

болатындай жалғыз 

жазықтығы табылады.

A





2-теорема. 

Екі  параллель  жазықтықты 

үшінші  жазықтықпен  қиып 

өткенде олардың қиылысу түзу- 

лері өзара параллель болады.

  ,  =   ,

 =    ⇒   b.

a

b







3-теорема. 

Егер  бір  жазықтықта  жататын 

қиылысушы  екі  түзу  екінші  

жазықтықтағы екі түзуге парал- 

лель  болса,  онда  бұл  жазық- 

тықтар өзара параллель болады.

a,  b  ⊂ ,  a    b

 



 

, a

1

,

b

1 

⊂

 

, a

1 



 

b

1 



 

 a  a

1

, b

 



 

b

1 

⇒

 



 



 

. 

a

b





a

1

b

1

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: