Ә. Н. ШыНыбеков, Д. Ә. ШыНыбеков

12

ліктеріне  де  көңіл  бөлу  қажет,  әсіресе  көз  мөлшерімен  параллель  түзулерді 

(кесінділерді, сәулелерді) сала білуі, перпендикуляр түзулерді, үшбұрыш түрлері 

мен оның элементтерін, параллелограмды сала білулері және т.с.с. Әр оқушының 

параллелограмды дәл сала білу бейімділігіне басты көңіл аудару қажет. Өйткені 

кеңістік фигураларын салу барысында бұл біліктілік маңызды орын алады.

2-сабақтың алғашқы 20–25 минутында үй тапсырмаларын тексеріп, ауызша 

сұрақтарға жауап алу қажет. Бұл кезде өзге оқушылардың үйде шығара алмаған 

есептерін  талқылап,  В  тобы  есептерін  шешуге  кіріскені  жөн.  Мұндай  тапсыр-

маларды  саралап  берген  дұрыс.  Аса  қабілетті  оқушыларға  С  тобы  есептерін 

шығаруды ұсыну қажет. Ал білік деңгейі өте төмен окушыларға практикалық  

тапсырмалар беріп, салған фигураларының элементтері мен қасиеттерін айтып 

беруді талап ету орынды.

Қайталау  сабақтарының  соңында  оқушыларға  дидактикалық  материалдар  

жинағында  деңгейі  бірдей    көп  нұсқалы  үлгіде  берілген  бақылау  жұмысын 

орындату  керек.  Осы  тапсырмаларды  орындау  нәтижесі  бойынша  сынып 

оқушыларын үш түрлі деңгейлік топтарға (А, В және С) бөліп алған дұрыс. Сы-

нып оқушыларын солай іріктеудің бірнеше тиімді тұстары бар:

– сабақтарды саралап, оздыра оқыту тәсілімен ұйымдастыруға қолайлы;

–  бақылау  жұмысы  арқылы  ең  алдымен  оқушылардың  білімі,  бейімділігі 

және білік деңгейлері анықталып, анықталған кемшіліктерді жоюға бағытталған 

түрлі  іс-шаралар  өткізуді  жоспарлауға;  оқу  жылы  барысында  оқушылардың 

білімі мен біліктілігі деңгейінің өзгеруіне мониторинг жасап отыруға және соған 

байланысты оқыту әдістемесіне тиісті өзгерістер енгізіп отыруға қолайлы;

– оқушылар арасында бесекелестік тудырып, олардың сабаққа деген ынта-

сын арттырыңыз. Әрине, мұнда оқушылар өздерінің ынтасы, талабы және білік 

дәрежелеріне  байланысты,  дидактикалық  материалдар  жинағында  келтірілген 

бағалау ережелеріне сәйкес келесі деңгейлік топтарға көшу мүмкіндіктері барын 

жақсы білулері қажет.

13

Жаттығуларға шолу.  Мұнда айтарлықтай қиын есептер жоқ және келтіріл- 

ген 40 есептің барлығы да автордың 7—9-сыныптарға арналған оқулықтарынан 

алынған. Десек те, кейбір есептерді шығару жолдарын қарастырайық.

0.27.  Егер  үшбұрыштың 

а  және  b  қабырғалары  арасындағы  бұрышты    

арқылы белгілесек, онда бұл үшбұрыштың ауданы  S

a b



= ⋅ ⋅ ⋅

1

2

sin

α  формула- 

сымен  анықталады.  Ал  есеп  шарты  бойынша 

S

a b



= ⋅ ⋅ ⋅

1

2

sin

α

.  Осыдан  sіn  =  1,  

яғни  = 90° екені шығады. Олай болса, бұл тік бұрышты үшбұрыш және оның 

белгісіз қабырғасын (гипотенузасын)  Пифагор теоремасы бойынша анықтаймыз: 

c

a

b

=

+

2

2

. 

Жауабы: 

c

a

b

=

+

2

2

.

0.28. Егер маятник ұзындығын 

R арқылы белгілесек, онда радиусы R-ге тең 

шеңбердің  36°-тық  центрлік  бұрышы  ұзындығы  24  см   доғаға   керіледі.  Онда 

24

36

180

=

⋅

⋅

π

R

. Осыдан  24

36

180

=

⋅

⋅

π

R

см. 

0.29. 1-суретті қараңыз. ω (

A; h

a

) шеңберіне  

la бис- 

сектрисасының ұшынан жанама жүргізсе, жеткілікті.

0.30. 

Берілгені.    ABC,    A

1

B

1

C

1

,  BD  және  B

1

D

1

— 

медианалар;

  AB  =  A

1

B

1

,  AС  =  A

1

С

1

,  BD  =  B

1

D

1

 

(2-сурет)

.

Дәлелдеу керек: 

∆ ABC = ∆ A

1

B

1

C

1

,

Дәлелдеуі. AD = 

1

2

AC = 

1

2

 A

1

C

1

 = A

1

D

1

, онда үш- 

бұрыштар теңдігінің ІІІ белгісі бойынша ∆ 

ABD = 

 = ∆ 

A

1

B

1

D

1

. ∠ADB = ∠A

1

D

1

B

1 

⇒ ∠BDC = ∠B

1

D

1

C

1

  

және 

DC = 

1

2

 AC =

1

2

 A

1

C

1

 = D

1

C

1 

⇒

 

үшбұрыштар 

теңдігінің І белгісі бойынша

 ∆ BDC = ∆ B

1

D

1

C

1

. 

Сонымен, ∆ 

ABD = ∆ A

1

B

1

D

1 

және ∆ 

BDC = ∆ B

1

D

1

C

1 

⇒

 

∆ ABC = ∆ A

1

B

1

C

1

.

A

D

h

a

B

C

l

a

1-сурет

A

B

C

D

A

1

C

1

B

1

D

1

2-сурет

14

0.31.

  ABCD  трапециясының  AC  және  BD  диагональдары  О  нүктесінде 

қиылыссын. Онда 

S

ABD 

= 

S

ACD 

⇒ S

ABD 

– S

AOD 

=

 

S

ACD 

=

 

S

AOD 

⇒

 

S

AOD 

=

 

S

COB

.

0.32. 

A

1

, 

B

1

, 

C

1

 — берілген нүктелер болса, онда бұлардың әрқайсысы арқылы 

басқа екі нүкте арқылы өтетін түзуге параллель түзулер жүргізсе жеткілікті

.

0.34.

 ABC үшбұрышында AB = c, AC = b, BC = a, және BD = h – биіктік. Онда 

ABD және BCD тік бұрышты үшбұрыштарына  Пифагор  теоремасын  қолдану  

арқылы  h

с

b

c

a

b

b

b c

b

c

a

=

−

+

−

=

−

+

−

=

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

4

1

2

4

(

)

(

)

1

2

b

×

 

×

−

−

(

)

+

−

(

)

a

b c

b c

a

2

2

2

2

(

)

(

)

 

теңдігін  аламыз.  Ал 

S

b h

=

⋅

1

2

  формуласын  ескер- 

сек,  S

a

b c

b c

a

∆ =

−

−

(

)

+

−

(

)

=

1

4

2

2

2

2

(

)

(

)

=

− +

+ −

+ +

+ −

=

1

4

(

)(

)(

)(

)

a b c a b c a b c b c a

=

+ +

+ + −

+ + −

+ + −

=

1

16

2

2

2

(

)(

)(

)(

)

a b c a b c

a a b c

b a b c

c =

−

−

−

p p a p b p c

(

)(

)(

).

0.36.

 Үшбұрыштың  BC, AC және AB қабырғаларының орталары — A

1

(–2; 2);  

B

1

(–1; 4) және

 C

1

(4; 1) нүктелері. Осы нүктелер арқылы өтетін және сәйкесінше 

AB

AC

 



 



=

−

(

)

=

−

(

)

10

6

12

2

;

,

;

  және  BC

 



= (–2;  –4)  векторларына  перпендикуляр 

түзулердің теңдеулерін жазу керек.

0.37. Координаталар өстері тіктөртбұрыштың екі сыбайлас қабырғалары ар- 

қылы өтетіндей етіп алу керек.

0.39. 180°-қа бұру түрлендіруі центрлік симметрия болады.

0.40. Косинустар теоремасы бойынша (3-сурет):

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

an

a

n

m

bl

b

l

n

cm

c

m

l

cos

,

cos

,

cos

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

−

=

+ −

=

+

−











⇒ 2cos (

)

ϕ an bl cm

+

+

=

=

+

+

a

b

c

2

2

2

.   

 

 

 

 (1)

Екінші жағынан,

S

an

S

cm

S

bl

S

BCP

ABP

ACP

ABC

=

⋅

=

=



















⇒

=

1

2

1

2

1

2

1

sin ,

sin ,

sin

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

sin

ϕ an bl cm

+

+

(

)

⇒

⇒

+

+

=

an bl cm

S

2

sin

ϕ

. (2)

(1) және (2) теңдіктерден

 

tg

s

a

b

c

ϕ =

+

+

4

2

2

2

.

A

B

C

3-сурет

a

P

c

m



l



n



15

1-бөлім.

 Түзу мен жазықтықтың параллельдігі

Ұсынылатын сағат саны: 

14

о

сыған дейін меңгерілген білім:

 Планиметрия курсындағы нүктелер мен түзулер геометриясы.

Мәнмәтін:

 бөлім материалдарын игеру нәтижесінде, стереометрия аксиомалары көмегімен кеңістікте 

нүкте, түзу және жазықтықтардың өзара орналасулары ерекшеліктерін оқып-үйренеді және ол 

қасиеттерді қоршаған ортадан ажыратып көрсете білу қабілетіне ие болады.

Пәндік мақсат

Тілдік мақсат

Пәнге қатысты лексика 

мен терминология

Диалогке (жазуға) 

қажет сөзтіркестер

10.2.1; 10.2.2; 10.2.3;

10.1.1; 10.2.4; 

10.2.5

о

қушылар:

– стереометрияның 

негізгі түсініктері ара- 

қатынасын тұжырымдап 

түсіндіре алады;

– аксиомалар мен 

олардың қарапайым сал

-

дарларын тұжырымдап, 

түсіндіре алады;

– түзулер мен жазық-

тықтар параллельдігі 

қасиеттерін тұжырым-

дап, түсіндіреді.

– нүкте, түзу және 

жазықтық;

– стереометрия аксиома

-

лары, салдарлары;

– айқас түзулер;

– параллель жазықтық-

тар;

– қиылысушы 

жазықтықтар;

– параллельдік белгілер;

– әрбір жазықтық бой

-

ында ...нүктелер табы

-

лады;

– әртүрлі екі 

жазықтықтың ортақ 

нүктесі болса ...;

– ортақ нүктесі бар 

әртүрлі екі түзу ар-

қылы ...;

– егер түзудің екі 

нүктесі берілген 

жазықтықта жатса ...;

– түзуден тысқары 

нүктеден 

... 

жалғыз 

түзу 

өтеді;

– параллель түзулердің 

параллель жазықтық-

тармен шектелген ... 

тең.

Қысқаша шолу:

 оқушылар кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуларын сипаттап, 

олармен жұмыс жасай біледі, стереометрия аксиомаларын қолданады.

16

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

 • Стереометрия аксиомала-

рын, олардың салдарларын 

білу; оларды кескіндеу және 

математикалық символдар 

арқылы жазып көрсету

1. Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков, Р.Н. Жұмабаев,  

Геометрия-10,  жалпы редакциясын басқарған 

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық 

материалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-

klass/sistemy-iz-lineynyh-i- kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-

klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік нұсқаулар. Тақырып бір қарағанда, оқушыларға жеңіл әрі түсінік-

ті  болып  көрінгенімен,  оны  сынып  деңгейіне  байланысты  әртүрлі  теориялық 

деңгейлерде өткізу қажеттілігі тұрғысынан алғанда күрделі тақырыптар қатары-

на қосылады. 

ескерту:

Оқушылар анықтама, аксиома және теоремаларды дұрыс тұжырымдауына көңіл 

бөліңіз және нүкте, түзу, жазықтықтар  арақатынасын символдармен дұрыс  жа-

зуын жіті қадағалаңыз.

Сонымен, жалпы білім беретін мектептерде 7-сыныпта қарастырылған мәлі- 

меттерді жалпылай отырып, аксиоматикалық тәсіл жөнінде жалпы мәліметтер 

беріп,  стереометрияның  негізгі  түсініктері  мен  аксиомаларын  көрнекіліктер 

арқылы  айтса,  жеткілікті.  Мәселен,  стереометрияны  оқып-үйренудің  маңыз- 

дылығына көңіл бөлу барысында өмірде кездесетін іс-тәжірибелерді мысалға ала 

отырып, оқулықтағы 1.1-суретте көрсетілгендей кеңістік денелері модельдерін 

кеңінен қолдану қажет. Стереометрия аксиомалары мен олардың қарапайым сал-

дарларын (теорема, 1–3) қарастыру барысында 1.2–1.7-суреттер салынған пла-

стереометрия аксиомалары және олардың салдарлары

17

каттарды немесе олардың модельдерін қолдану қажет. Осы айтылғандар жалпы 

түсініктер ретінде, шолу түрінде баяндалса, жеткілікті, яғни оқушыларға жал-

пы бағыт-бағдар мен түсінік ретінде берілсе, жеткілікті. Ал машықтық деңгейде 

геометриялық  деректерді  қысқаша  жаза  білу  бейімділіктерін  қалыптастыруға 

басты  көңіл  аударған  жөн.  Осыған  қоса  қағаз  бетінде  кеңістікте  орналасқан 

нүкте,  түзу,  жазықтық  бейнелері  мен  олардың  өзара  қатынастарын  бейнелей 

білу біліктерін қалыптастыра бастаған дұрыс. Ол үшін әрбір оқушыға қысқаша 

конспект жазу үшін жеке дәптерлер арнатып, онда мынадай мәліметтерді жаз-

дыру керек. 

Геометриялық мәлімет

қысқаша

жазылуы

бейнеленуі

A нүктесі  жазықтығында жатады ( жа-

зықтығы нүктесі арқылы өтеді);

B  нүктесі    жазықтығына  тиісті  емес 

( жазықтығы нүктесі 

B арқылы өтпейді); 

а  түзуі    жазықтығында  жатады  (  жа- 

зықтығы 

а түзуі арқылы өтеді);

b  түзуі    жазықтығында жатпайды (   жа-

зықтығы  мен 

b  түзуі  A  нүктесінде  қиы- 

лысады) және түзулері нүктесінде қиылы- 

сады; 

a және с түзулері қиылыспайды;

a түзуі A нүктесі арқылы өтеді (A нүктесі a 

түзуінде жатады), және т.с.с.

A  

B  

a ⊂  

b ⊄ 

b   = A

a  b = A

b  c = ∅ 

A  a

Оқушылардың  барлығы  бірдей  оқулықта  келтірілген  есептерді  түгел  шы- 

ғарулары міндетті емес, ал практикалық тапсырмаларды орындау және көрсе- 

тілген үлгі бойынша жазықтық бейнелерін, мұндағы нүктелер мен түзулердің 

түрлі  жағдайларда  орналасатынын  көрсете  білу,  оларды  қысқаша  жаза  білу 

әрбір оқушыға міндеттелетін тапсырма. 

Ал  математиканы  тереңдетіп  оқытатын  сынып  оқушылары  үшін  осы  ай- 

тылғандарға қосымша материалдары тереңірек, әрі жан-жақты қарастырылып, 

планиметрия  мен  стереометрия  ерекшеліктерін  ажырата  білулері  және  олар 

біріге  отырып,  тұтас  бір  геометриялық  теория  құрайтыны  жөнінде  айқын 

көзқарас қалыптасуы қажет.

Жаттығуларға  шолу.  Тақырыпқа  берілген  есептер  аса  қиындық 

туындатпайды.  Мәселен,  1.1,  1.2,  1.3  және  1.6-есептерді  сыныппен  бірге 

талқылаған  орынды.  Мұнда  1.2  және  1.3-есептерді  алдымен  үй  тапсырмасы 

ретінде  беріп,  келесі  сабақта  талқылаған  дұрыс.  Өйткені  бұл  есептерді 

оқушылар  үйде  өз  беттерінше  орындау  барысында  әртүрлі  жауаптар  ұсынуы 

мүмкін.  Ұсынылған  жауаптардың  әрқайсысын  қарастырып,  олардың  ішінен 

В



C

A

a

b

В

c



A

a

b

18

ең  тиімділерін  оқушылардың  өздеріне  таңдап  алуды  ұсыну  қажет.  Мұндай 

талқылау  ең  алдымен  оқушылардың  қысқаша  жазу  бейімділіктерін  дамытып, 

олардың ойлау қабілеттерін арттырары сөзсіз. Мысалы, 1.2-есептің 1) сұрағына 

мынадай дұрыс жауаптар ұсынылуы мүмкін. а)  жазықтығының 

А, В және С 

нүктелері бір түзу бойында жатпайды; ә) жазықтығында жататын 

С нүктесі осы 

жазықтықтың

 А және В нүктелері арқылы өтетін түзуінде жатпайды; б) А, В және 

С нүктелері бір түзу бойында жатпайды; в) А нүктесі  жазықтығында В нүктесі 

 жазықтығында С нүктесі  жазықтығында жатады және С нүктесі АВ түзуінде 

жатпайды, және т.с.с. сөйлемдер құрастырылуы мүмкін. Осындай сөйлемдердің 

бірнешеуін  оқушыларға  тақтаға  жаздыртып,  әр  оқушыға  өз  ойын  негіздеп, 

дәлелдеп шығуды ұсыну қажет. Сонан соң өзге оқушылардың пікірлерін тың- 

даған  жөн.  Соңында  мұғалім  әр  сөйлемге  талдау  жасап,  қорытынды  айтуы 

қажет (келтірілген жауаптар арасында қате сөйлемдер де кездесуі мүмкін және 

оларды да талқылаған дұрыс). Мұндай талдаулардың қиындығы — келтірілген 

сөйлемдердің  барлығының  да  дұрыстығында.  Мысалы,  жоғарыда  келтірілген 

төрт  нұсқаның  а),  ә)  және  б)  жауаптарының  үшеуін  де  қабылдауға  болады. 

Себебі бұл сөйлемдерді әртүрлі есеп шарттарында қолдана береді. Оларды таң- 

дап алу берілген нақты есеп мәтініне тәуелді екенін атап өту қажет. Ал в) үлгі- 

сімен  ешбір  есеп  мәтінінде  сөйлем  құрастырылмайтынын  ескертіп,  оның  тым 

шұбаланқы  екенін  ескерткен  жөн.  Әрине,  мұндай  талқылауларға  сабақтың 

едәуір бөлігі кетуі мүмкін. Десек те, уақытпен санаспай, мұндай жаттығуларға 

толыққанды көңіл бөліп отырған дұрыс, өйткені олар:

– оқушылардың пәнге деген қызығушылығын, сабаққа қатысу белсенділігін 

арттырады;

– ой-өрісін әрі қысқа, әрі дәл жеткізе білуге машықтандырады. 

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: