Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары.
Тақырып бойынша сұрақтар:
1. Ляпуновтың бірінші теоремасы (орнықтылық туралы).
2.Ляпуновтың екінші теоремасы (асимптотикалық орнықтылық туралы)
Мысалдар.
1. Берілген жүйенің нөлдік шешімінің орнықты, орнықсыз болатындығын тексеру керек.
Теоремадағы функциясы үшін
функциясын қарастырайық. Ол-анықталған оң таңбалы және ақырсыз аз жоғарғы шекке ие. Жүйеге сүйеніп табылған толық туындысы:
теріс таңбалы функция. Мұндағы -дәреже көрсеткіші екіден үлкен мүшелердің қосындысы. Оның модулі шамалары барынша аз болғанда -тің мәнінен аспайды. анықталған таңбалы емес, себебі болғанда болғандықтан теореманың барлық шарттары орындалып тұр. Олай болса берілген жүйенің нөлдік шешімі бірқалыпты орнықты. Бірақ асимптотикалық орнықтылық жоқ. Шынында да,
Мұндағы: ![](data:image/png;base64,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)
Егер де -ның орнына
функциясын алсақ:
теңсіздігін алар едік. Сонымен
Егер болса, онда берілген жүйенің шешімдерінің траекториялары сақинасының ішінде жатады. Сондықтан олар бас нүктеге ұмтыла алмайды. (13-сызба). Демек, жүйенің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты емес.
![](data:image/png;base64,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) ![](data:image/png;base64,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) ![](data:image/png;base64,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)
13-сызба
Достарыңызбен бөлісу: |