Практикалық бөлімі Ықтималдықтар теориясына есептер шығару Кездейсоқ оқиғалар Бірінші мысал

Дискретті Х кездейсоқ шамасы үшін

Мұндағы х₁,х₂,…,х_n- кездейсок Х шамасының қабылдайтын мәндері, p₁,p₂,…,p_n –сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,ал қосынды теңсіздігіне сәйкес барлық . сандары бойынша алынады. Үлестірім функциясы дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға да қатысты болады.

Кестеден байқағанымыздай болса, онда х-тің кабылдайтын мүмкін мәндері жоқ.

Ал болғанда х-тің қабылдайтын бір мәні бар, ол нөл, енді болса, х-тің кабылдайтын екі мәні бар, ол 0;1;

Енді болса, онда х-тің үш мәні бар, ол 0,1,3; ақырында болса, онда х өзінің барлық мүмкін мәндерін қабылдайды ол-0,1,3,3,5;

Енді анықтаманы түсіндірейік. Жоғарыда айтқанымыздай болса,онда есептің шарты, бойынша 0-санының солжағында берілген кездейсоқ шаманың ешбір мүмкін мәні жоқ, яғни кездейсоқ шаманың өзінің мүмкін мәндерінің біреуін қабылдауын оқиға екенін ескерсек, онда оның 0-санының сол жағынан мән қабылдауы мүмкін емес оқиға, олай болса

Енді болса, онда 1-санының сол жағында есептің шарты бойынша кездейсоқ шаманың бір мәні бар, ол 0,1-саны. Олай болса

Сол сияқты болғанда, 3-санының сол жағында кездейсоқ шаманың екі мәні бар. Ол осы мәндердің біреуін қабылдауы мүмкін, яғни екі оқиғаның біреуі пайда болады дегеніміз. Сондай-ақ бұл екі оқиға үйлесімсіз, сондықтан үйлесімсіз оқиғалардың қосындысының ықтималығы туралы теореманы пайдаланып

Осы жолмен болғанда және болғандағы F(x) тің мәндерін есептеуге болады.

Енді F(x) функциясының сүлбесін тұрғызайық.

F(x=0) 0,5

0 1 2 3 3,5 x

Енді интегралдық үлестірім функциясының қасиеттерін көрсетейік:

1. үлестірім функциясы F(x) функциясы оң, шектелген функция

   
   

себебі ол ықтималдықты көрсетеді

2) үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болғанда болады.

Шынында да оқиғасын және оқиғасының қосындысы деп қарастыруға болады, сондықтан ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша
болып, осыдан

теңдігін аламыз. Ал бұл теңдікті (Х₁,Х₂) аралығына қолдансақ.

бұл теңдіктің сол жағы оң сан демек

1 Егер Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a,b) аралығында болса мәндерінде F(x)=0 және мәндерінде F(x)=1 болады.

Жалпы жағдайда болады деп есептелінеді.
Дискретті кездейсок шаманың үлестірім функциясының сүлбесі сатылы баспалдақты (1-сүлбе) болса, үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сүлбесінің жалпы түрі 2-сүлбеде көрсетілген.
2 Үлестірім функциясы сол жағынан үздіксіз функция.
F(x)
1

y=F(x)

0. x