Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение

3. Кольца и поля
В отличие от групп ко´льца и поля´ –– это алгебраические структу- ры с двумя операциями, называемыми обычно сложением и умно- жением. Их аксиомы, как и аксиомы абелевой группы, подсказаны свойствами операций над вещественными числами. При этом ак- сиомы кольца –– это разумный минимум требований относительно свойств операций, позволяющий охватить и другие важные приме ры алгебраических структур, из которых мы пока можем привести только уже упоминавшееся множество векторов пространства с операциями сложения и векторного умножения.
сложения и векторного умножения.


Определение 1. Кольцом называется множество K с операци- ями сложения и умножения, обладающими следующими свойст- вами:
относительно сложения K есть абелева группа (называемая
аддитивной группой кольца K);
a(b + c) = ab + ac и (a + b)c = ac + bc для любых a, b, c ∈ K
(дистрибутивность умножения относительно сложения).
Выведем некоторые следствия аксиом кольца, не входящие в чис- ло следствий аксиом аддитивной абелевой группы, перечисленных в § 2.
a0 = 0a = 0 для любого a ∈ K. В самом деле, пусть a0 = b. Тогда
b + b = a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = b,

откуда


b = b − b = 0.

Аналогично доказывается, что 0a = 0.
a(−b) = (−a)b = −ab для любых a, b ∈ K. В самом деле,
ab + a(−b) = a(b + (−b)) = a0 = 0
и, аналогично, ab + (−a)b = 0.
a(b − c) = ab − ac и (a − b)c = ac − bc для любых a, b, c ∈ K. В самом деле,
a(b − c) + ac = a(b − c + c) = ab
и, аналогично, (a − b)c + bc = ac.
Кольцо K называется коммутативным, если умножение в нем
коммутативно, т. е.
ab = ba a, b,
и ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно, т. е.

(ab)c = a(bc) a, b, c.

Элемент 1 кольца называется единицей, если


a1 = 1a = a a.

Так же, как в случае мультипликативной абелевой группы, доказыва- ется, что в кольце не может быть двух различных единиц (но может не быть ни одной).

Замечание 1. Если 1 = 0, то для любого a имеем
a = a1 = a0 = 0,
т. е. кольцо состоит из одного нуля. Таким образом, если кольцо содержит более одного элемента, то 1 /= 0.