Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение
жүктеу/скачать 67,47 Kb.
|
реферат дискретка
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример 1.
- Определение 1 ′ .
| Определение 1. (Аддитивной) абелевой группой называют мно- жество A с операцией сложения, обладающей следующими свойст- вами:
a + b = b + a для любых a, b ∈ A (коммутативность); (a + b) + c = a + (b + c) для любых a, b, c ∈ A (ассоциатив- ность); в A существует такой элемент 0 (нуль), что a + 0 = a для любо- го a ∈ A; для любого элемента a ∈ A существует такой элемент −a ∈ A (противоположный элемент), что a + (−a) = 0. Выведем некоторые простейшие следствия из этих аксиом. Нуль единствен. В самом деле, пусть 01 и 02 –– два нуля. Тогда 01 = 01 + 02 = 02. Противоположный элемент единствен. В самом деле, пусть (−a)1 и (−a)2 –– два элемента, противоположных a. Тогда (−a)1 = (−a)1 + (a + (−a)2) = ((−a)1 + a) + (−a)2 = (−a)2. Для любых a, b уравнение x + a = b имеет единственное реше- ние, равное b + (−a). Доказательство см. выше. Это решение назы- вается разностью элементов b и a и обозначается b − a. Из свойства ассоциативности нетрудно вывести (попробуйте сде- лать это), что сумма произвольного числа (а не только трех) эле- ментов не зависит от расстановки скобок. Пользуясь этим, скобки обычно вообще опускают. Пример 1. Числовые множества 6, Q, R являются абелевыми группами относительно обычной операции сложения. Пример 2. Множество векторов (плоскости или пространства) является абелевой группой относительно обычного сложения векто- ров. Пример 3. Последовательность из n чисел назовем строкой дли- ны n. Множество всех строк длины n, составленных из веществен- ных чисел, обозначим через Rn. Определим сложение строк по пра- вилу (a1, a2, …, an) + (b1, b2, …, bn) = (a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn). Очевидно, что множество Rn является абелевой группой относитель- но этой операции. Ее нулем служит нулевая строка 0 = (0, 0, …, 0). Пример 4. Множество всех функций, определенных на задан- ном подмножестве числовой прямой, является абелевой группой относительно обычного сложения функций. Приведем теперь определение абелевой группы, использующее язык умножения. Определение 1′. (Мультипликативной) абелевой группой назы- вают множество A с операцией умножения, обладающей следующи- ми свойствами: ab = ba для любых a, b ∈ A (коммутативность); ∈ (ab)c = a(bc) для любых a, b, c A (ассоциативность); в A существует такой элемент e (единица), что ae = a для лю- бого a ∈ A; для любого элемента a ∈ A существует такой элемент a−1 ∈ A (обратный элемент), что aa−1 = e. Единица мультипликативной абелевой группы иногда обознача- ется символом 1. Простейшие следствия аксиом абелевой группы, полученные вы- ше на аддитивном языке, на мультипликативном языке выглядят следующим образом. Единица единственна. Обратный элемент единствен. Для любых a, b уравнение xa = b имеет единственное реше- ние, равное ba−1. Оно называется частным от деления b на a (или отношением элементов b и a) и обозначается b (или b/a). a жүктеу/скачать 67,47 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|