Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение
жүктеу/скачать 67,47 Kb.
|
реферат дискретка
| 2. Абелевы группы
Сложение вещественных чисел обладает следующими свойст- вами: (С1) a + b = b + a (коммутативность); (С2) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность); (С3) a + 0 = a; (С4) a + (−a) = 0. Из этих свойств чисто логическим путем могут быть получены и другие свойства, например, наличие операции вычитания, обрат- ной к сложению. Это означает, что для любых a, b уравнение x + a = b имеет единственное решение. Докажем, что это так. Если c –– реше- ние данного уравнения, т. е. c + a = b, то (c + a) + (−a) = b + (−a). Пользуясь свойствами (С2)––(С4), получаем (c + a) + (−a) = c + (a + (−a)) = c + 0 = c. Таким образом, c = b + (−a). Это показывает, что если решение существует, то оно единственно и равно b + (−a). С другой стороны, подстановка x = b + (−a) в рас- сматриваемое уравнение показывает, что b + (−a) действительно является решением: (b + (−a)) + a = b + ((−a) + a) = b + (a + (−a)) = b + 0 = b. Умножение вещественных чисел обладает аналогичными свойст- вами: (У1) ab = ba (коммутативность); (У2) (ab)c = a(bc) (ассоциативность); (У3) a1 = a; (У4) aa−1 = 1 при a /= 0. Свойства (У1)––(У4) лишь формой записи отличаются от свойств (С1)––(С4), с единственной оговоркой, что в (У4) мы предполагаем, что a /= 0, в то время как в (С4) никаких ограничений на a нет. Поэтому приведенный выше вывод из свойств (С1)––(С4) наличия операции вычитания, будучи переведен на язык умножения, даст вывод из свойств (У1)––(У4) наличия операции деления, обратной к умножению. Более точно, таким путем доказывается, что для лю- бого a /= 0 и любого b уравнение xa = b имеет единственное реше- ние, равное ba−1. Все эти рассуждения приведены здесь не для того, чтобы чита- тель узнал что-либо новое о вещественных числах, а чтобы подвести его к важной для алгебры идее. Эта идея есть аксиоматический ме- тод в алгебре. Он состоит в одновременном изучении целых классов алгебраических структур, выделяемых теми или иными аксиомами, представляющими собой какие-то свойства операций в этих струк- турах. При этом совершенно не важно, как в каждом конкретном случае эти операции определяются. Коль скоро выполнены аксио- мы, справедлива и любая теорема, полученная логическим путем из этих аксиом. Конечно, лишь немногие системы аксиом действительно инте- ресны. Невозможно придумать «из головы» такую систему аксиом, которая привела бы к содержательной теории. Все системы акси- ом, рассматриваемые в современной алгебре, имеют длительную историю и являются результатом анализа алгебраических структур, возникших естественным путем. Таковы системы аксиом группы, кольца, поля, векторного пространства и другие, с которыми чита- тель познакомится в этом курсе. Свойства (С1)––(С4), а также (У1)––(У4) являются по сути дела системой аксиом абелевой группы. Перед тем как привести точные формулировки этих аксиом, скажем несколько слов о терминоло- гии. Названия и обозначения операций в алгебраических структу- рах не имеют принципиального значения, однако чаще всего они называются сложением или умножением и обозначаются соответ- ствующим образом. Это позволяет использовать разработанную тер- минологию и систему обозначений, относящиеся к операциям над вещественными числами, а также вызывает полезные ассоциации. Приведем вначале определение абелевой группы, использующее язык сложения. жүктеу/скачать 67,47 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|