Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
сандардың реттелген натурал қатары
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Санау нәтижесі санау тәртібіне байланысты болмайды. Бұл - санау аксиомасы.
| сандардың реттелген натурал қатары деп аталады.
Егер реттелген жиынның кез келген екі элементін алғанда оның бұл екі элемент үшін аралық элемент болатын, яғни берілген элементтердің бірі үшін келесі элемент, екіншісі үшіін алдыңғы элемент болатын, кем дегенде бір элемент табылатын болса, онда мұндай жиын тығыз реттелген жиын деп аталады. Егер жиынның кез келген екі элементі үшін аралық элемент табыла бермейтін болса, онда мұндай жиын дискретті жиын демек, тығыз емес деп аталады. Тығыз жиын мысалы ретінде түзу кесіндісінің нүктелернің жиынын алуға болады. Натурал сандар жиыны тығыз жиын болмайды: 5 пен 6 натурал сандары үшін аралық натурал сан жоқ, 7 мен 8; 15 пен 16 т.с.с. сандар үшін де аралық сандар болмайды.
Жиындарды қуаттылығы жағынан бір-бірімен салыстырғанда шығарған қорытындыларымыздың барлығы да қарастырылып отырған жиындардың біреуін онымен тең қуатты басқа бір жиынмен алмастырғанда да тура болады. Осы жағдайды еске алып, арифметикалық операцияларды орындағанда біздің тәжірибе жүзінде бұрыннан өзімізге белгілі болған кейбір нақтылы жиындармен: қолдарымыздың саусақтарын, ұсақ тастарды, ағаш таяққа салған белгілерді, т.с.с. пайдалануымызға болады. Сонда бұл нақтылы жиындар тең қуатты жиындардың белгілі бір кластарының өкілдері тәрізді қарастырылады да, бұл жағдайда олар сандардың абстракт ұғымының нақтылы баламалары болып табылады. Шындығында да тең қуатты жиындардың бүкіл класын осы класқа жататын кез келген жиынмен сипаттауға болады, сондықтан тексеріліп отырған нақтылы жиынды басқа бір жиынмен салыстыруға болады. Ол үшін қарастырылып отырған жиынды онымен салыстыру үшін алынған жиынмен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру керек. Тең қуатты жиындардың кластарының нақтылы өкілдері ретінде пайдаланылатын жиындарды таңдап алғанда, олардың оңай табылатындығы, тәжірибеде қолайлылығы, тұрақтылығы, тексеріліп зерттелгендігі сияқты жағдайлар еске алынып, таза практикалық тұрғыдан қарастырылады. Санау процесінің мәнісі зерттеліп отырған нақты жиынды қандай да бір жиынмен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру болды. Бұл жиынды стандарт жиын деп атайды. Бұл процестің алғашқы кезде адамдарда қандай түрде болғандығын зерттеу нәтижесіне қарағанда, стандарт жиындар ретінде ол адамдар өздері жақсы білетін белгілі бір жинақтың бөлігін қолданған, ал қуаты үлкенірек жиынды қарастыруға келгенде, ол стандарт жиында бірте-бірте ұлғайтып отырған. Мұндай стандарт жиын ретінде көбінесе қолдың саусақтары алынып, олар адамның басқа мүшелерімен (қол басы, қары, аяқ, т.с.с.) толықтырылып отырған. Саяхатшылардың айтуына қарағанда Африкадағы даминар тайпасында есепті былай жүргізіп отырған: саяхатшы сатып алмақшы болған сиырға 10 қорап темекі беруге тиіс екендігін түсіндіру үшін сиырдың иесі екі қолының саусақтарын жазып ұстайды екен де, әр саусағына бір қорап темекі қою керек деп ымдап көрсетеді екен. Бұлайша санау тәсілінің мәнісі екі жиынның элементтерін, атап айтқанда темекі қорабының жиыны мен стандарт жиын - екі қолдың саусақтарының жиынының элементтерін өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру айқын көрініп тұр. Санау процесінде стандарт жиын элементтері үнемі белгілі бір тәртіппен пайдаланып отырған, әдетте ол тәртіп сол қолданылып отырған стандарт жиынның тарихи ұлғаю тәртібін қайталап отырады, ал стандарт жиын бұрын атап көрсеткеніміздей, қуаты көбірек жиындарды білу қажет болған жағдайда ұлғайтылып отырған. Стандарт жиын элементтерінің тізбектеліп келу тәртібінің өзгермейтіндігін пайдаланып, қарастырылып отырған жиынды стандарт жиынның санау процесінде пайдаланылған соңғы элементінің атымен сипаттауға болады. Мысалы, элементтері қолдың саусақтары: бас бармақ, сұқ саусақ, ортан саусақ, аты жоқ саусақ, шынашақ болып келген стандарт жиынды алуға болады. Егер бір жиын "шынашақ" деген сөзбен сипатталады десек, онда ол жиын тең қуатты жиындардың біздің түсінігімізше натурал сан 5-пен сипатталатын класына жатады деген сөз. Бұл жағдайда "шынашақ" деген сөзбен 5 саны аталған. Жиын элементтерін санау үшін қолданылған нәрселердің аты мен санның атының жоғарыдағыдай дәлме-дәл келуі адам баласының өркендеп дамуының ерте кезгі сатысында-ақ пайда болған. Уақыт озған сайын мұндай атаулар біртіндеп алғашқы мағынасын жойған, сөйтіп олар нәрселерді санағанда натурал сандардың атаулары ретінде ғана қолданылатын болған. Мәдениеттің өркендеп дамуымен байланысты адамға қуаты өздері қолданып жүрген стандарт жиынның қуатынан артық жиындарды зерттеу қажет болатын жағдайлар жиі кездесіп тұрған. Практикада үлкен қуатты жиындарды зерттеу қажет болған, олардың элементтерін жақсы зерттелген стандарт жиынның элементтерімен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру нәтижесінде жаңа стандарт жиын - шектеусіз натурал сандар жиыны келіп шыққан. Бұл жиын бірінен соң бірі белгілі бір тәртіппен келіп отыратын және жиындардың қуатын сипаттау, салыстыру үшін пайдаланылатын сан символдарының системасы болып табылады. Сөйтіп, санау процесі зерттеліп отырған нақтылы жиының элементтерін натурал сандар жиынымен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру болып табылады. Санау процесінде саналатын жиынның элементтерін тізбектей 1,2,3,4,… сандармен бірмәнді сәйкестікке келтіреміз. Саналатын жиынның ақырғы элементіне келіп жеткенде, ол элементке сәйкес келген сан жиын элементтерінің саны болып табылады.
Шынында да, санау процесінде саналатын жиын элементтерін натурал қатар сандарымен бірте-бірте өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру үшін оларды қандай тәртіппен алсақ та, ол жиынның барлық элементтері таусылғанда берілген жиынға теңбе-тең жиын шығатыны сөзсіз. Санау нәтижесінде 1,2,3,… сандардың натурал қатары туралы ұғымға келеміз де, бұл қатардағы әрбір сан сол қатардағы орынмен анықталады. Сөйтіп, санау процесінен екі түрлі сан шығады: біреуі жиын қуатының сипаттамасы ретінде қарастырылатын жинақтық сан, екіншісі-берілген элементтің қандай да бір реттелген жиындағы орнының сипаттамасы (нөмірі) ретінде қарастырылатын реттік сан. Мысалы, университет ғимаратында оқу дәрісханалары бірінші, екінші, үшінші, т.с.с. болып нөмірленген. Соған қарап студент қай дәрісханада сабақ болатынын біледі. Бұл жағдайда реттік сан пайдаланылады. Студенттердің бір оқу тобында қанша студент бар екенін білу үшін "неше студент бар?" деген сұраққа жауап беру керек: біреу, екеу, үшеу, т.с.с. Бұл жағдайда жинақтық сан пайдаланылады. Ноль саны Натурал санды қандай да бір элементтер жиынының жинақтық сипаттамасы ретінде қарастырдық. Элементтері ақырлы, ақырсыз жиынмен қатар бір де бір элементі болмайтын құр жиын да болатынын білеміз. Құр жиынның сипаттамасы, яғни элементінің саны ретінде жаңа сан - ноль саны енгізілген, оны 0 символымен белгілейміз. Демек, 0 дегеніміз - құр жиындар класы туралы түсінік беретін сан. Әдетте 0-ді натурал сандарға жатқызбайды, демек ол сандардың натурал қатарына енгізілмейді. Алайда теориялық оймен 0-ді сандардың натурал қатарына енгізсек, онда 0-ді сол қатардың ең басына, 1-дің алдына қойып, 0;1;2;3;… түрінде жазамыз. Ноль дегеніміз - теріс емес бүтін сан, ол теріс емес ешбір бүтін саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан түрінде келтірейік. Ол аксиомалар мыналар: Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды. Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі  (немесе а+1) саны болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни  болса, онда а саны b санына теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай қасиеті бар деп алғанда  санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалык индукция принципі).
Төртінші аксиоманы “математикалық индукция аксиомасы” деп атайды. Математикалық индукция (немесе n –нен  -ге көшу) ұғымын индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз – бақылау мен тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол – дедукцияға, яғни алдын ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы қойылатын әдіс. Ал математикалық индукция – дедукцияның ерекше бір түрі.
Жоғарыда келтірілген аксиомалардың мағынасына біраз тоқталып, азды-көпті түсінік берейік. Бірінші аксиоманың мағынасы айқын; ал екінші аксиомаға келсек, ол натурал сандардың шектеусіз екендігін білдіреді, атап айтқанда: натурал сандар жиынының ақырғы элементі болмайды, өйткені әрбір саннан кейін оған тетелес келесі сан болады. ‡шінші аксиоманың мағынасына қарағанда қандай санды алсақ та, онан бұрын келетін әр түрлі алдыңғы екі сан болмайды. Арифметиканың теориялық құрылысы жағынан төтенше роль атқаратын төртінші аксиомаға сәл толығырақ тоқталайық. Мәселенің түйіні мынада: тек осы аксиомаға ғана сүйеніп, біз қандай да бір қандай бір заң кез келген сан үшін тура болады деп қорытынды жасай аламыз. Расында да, төртінші аксиоманы қабылдамағанда, біз қандай бір қасиеттің берілген санда (мысалы 2 немесе 3 санында) болатындығына тікелей тексеру жолымен көзімізді жеткізсек те, ол қасиеттің барлық натурал сандарда да болатындығын дәлелдей алмаймыз, өйткені натурал сандар шектеусіз, әрбір санды санап өту мүмкін емес. Төртінші аксиоманың қандай маңызы бар екендігін осыдан аңғаруға болады. Бұл аксиомаға сүйеніп дәлелдеу жолы толық математикалық индукция әдісімен дәлелдеу деп аталады. Қандай да бір сөйлемнің (ұйғарудың) дұрыстығын немесе ақиқат екенін дәлелдеу үшін, оның бірлік саны үшін тура екенін тікелей анықтайды да, ол ұйғару алдыңғы n сан үшін тура болғанда келесі (  ) сан үшін де тура болатындығын дәлелдейді, сонан кейінгі байымдау түрі мынадай болады; ұйғару 1 саны үшін тура, демек, ол 2 (1+1) саны үшін де тура, ендеше, ол 3 (2+1) саны үшін де тура т.с.с.
Пеано аксиомаларына сүйеніп, “бірлік санынан басқа әрбір саннан бұрын жалғыз ғана алдыңғы сан болатындығын”, яғни берілген сан ол үшін келесі сан болатындығын, дәлелдеуге болады. Сондай-ақ, тағы бір ескертетініміз: егер натурал сан а натурал сан а1-ден артық болса, онда саны  санынан артық болады. Бұл қасиет таңбалар арқылы былайша жазылады:   .
Бұл қасиетті де дәлелдемесіз қабылдаймыз. Натурал сандардың негізгі қасиеттері. Натурал қатардағы сандардың барлығында да мынадай үш қасиет болады: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік. Рефлексивтік. Натурал сандардың қай-қайсысы да өзіне-өзі тең (а=а). Расында да, біз жоғарыда әрбір натурал санның тең қуатты жиындарды сипаттайтынын көрсеттік. Демек, егер а саны А жиынын және сол а саны А1 жиынын да сипаттайтын болса, онда А мен А1 жиындары тең қуатты. Ал тең куатты жиындар тек қана тең натурал сандармен сипатталады. Демек, а=а. Сөйтіп, а мен а сандарының арасына әрқашан да теңдік таңбасын қоюға болады. Симметриялық. Егер натурал сан а натурал сан b-ге тең болса, онда керісінше, b = a. Шынында да, натурал санның анықтамасы бойынша, натурал сан а қандай да бір А жиынын сипаттайды да, натурал сан b В жиынын сипаттайды. Шарт бойынша a = b болғандықтан, А жиыны В жиынымен тең куатты. Әрине, В жиынының А жиыны мен тең куатты екені айқын, олай болса, натурал сан b натурал сан a-ға тең. Сөйтіп, a = b теңдігінің орнына әрқашан да b = a теңдігін жазуға болады. Транзитивтік. Егер натурал сан а натурал сан b-мен тең, ал натурал сан b натурал сан с-мен тең болса, онда а саны да с-мен тең: яғни а = b, b = с а = с . Айталық, а, b және с натурал сандары сәйкесінше А, В және С жиынындарын сипаттайтын болсын. Шарт бойынша a = b және b = с. Демек, А жиыны В жиынымен тең қуатты да, В жиына С жиынымен тең қуатты. Ал онда А мен С жиындары тең қуатты болады. Демек, бұл жиындарды сипаттайтын а мен с натурал сандар өз ара тең болуға тиіс. жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|