Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Үшбұрыштың биссектрисасының қасиеті.
- Д 94- сурет әлелдеу.
- Салдар.
- Д 95 сурет әлелдеуі.
- Үшбұрыштың биіктіктерінің қасиеті.
- Теорема.
- Фалес теоремасы .
- Т 97- сурет еорема.
Теорема. Үшбұрыштың үш қабырғасының медианалары бір нүктелер қиылсады. Д  әлелдеуі. АВС үшбұрышының АВ және ВС қабырғаларының медианалары сәйкес CD және АЕ болсын. О нүктесі осы мединалардың қиылысу нүктесі (93-сурет). АС қабырғасының да медианасы О нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеу керек.
А 93-сурет О, ОС кесінділерін қақ бөлейік. F және G нүктелері осы кесінділердің ортасы болсын. DE, FG кесінділерін жүргізейік. DE кесіндісі АВС үшбұрышының орта сызығы, сондықтан  және  .
FG кесіндісі АОС үшбұрышының орта сызығы болғандықтан  және  . Бұдан  және  екені анық.
Енді ODE және OGF үшбұрыштарын салыстырсақ, мына айқыш бұрыштар өзара тең  ,  және . Бұдан үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша  . Сондықтан  , ал салуымыз бойынша  , олай болса,  және дәл осылайша  немесе  және  .
Бұдан медианалар қиылысу нүктесінде табанынан бастап есептегенде оның Үшбұрыштың биссектрисасының қасиеті. Т  еорема. Үшбұрыштың үш бұрышының биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.
Д 94- сурет әлелдеу. АВС үшбұрыштың А және В бұрыштарының биссектрисаларын жүргізейік. Олардың қиылысу нүктесі F болсын. АВ, ВС және АС қабырғаларына сәйкес FE, FG, FH перпендикулярларын жүргізейік (94-сурет). F нүктесі А бұрышының биссектрисасында жатқандықтан ол АВ және АС қабырғаларынан бірдей қашықтықта болады, яғни  .
F нүктесі В бұрышының биссектрисасының бойында жатқандықтан оның АВ және ВС қабырғаларынан да бірдей қашықтықта болады,  . Бұл екі теңдіктен екені анық.
Бұдан F нүктесі ВС және АС қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқанынын көреміз, яғни F нүктесі С бұрышының биссектрисасының бойында жатады. Сонымен, А, В, С бұрыштарының биссектрисалары F нүктесінде қиыласады және F нүктесі үшбұрыштың үш қабырғасынан бірдей қашықтықта жатады. Салдар. Үшбұрыштың кез келген екі сыртқы бұрышы мен оған сыбайлас емес ішкі бұрышының биссектрисалары да бір нүктеде қиылсады. Үшбұрыштың қабырғаларының орта перпендикулярларының қасиеті Т  еорема. Үшбұрыштың қабырғаларының ортасы арқылы тұрғызылған перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.
Д 95 сурет әлелдеуі. АВ және АС қабырғаларының орталары Е және F арқылы перпендикуляр түзулер жүгізіп, олардың қиылысу нүктесін К арқылы белгілейік (95-сурет). К нүктесін үшбұрыштың барлық төбелерімен қосайық. К нүктесі АВ кесіндісінің орта перпендикулярының бойында жатқатдықтан, ол А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта болады, яғни  . Дәл осылайша, К нүктесі А және С төбелерінен де бірдей қашықтықта болады,  . Осы екі теңдіктен  екені шығады. Бұл теңдік К нүктесінің ВС қабырғасының ортасы G нүктесі арқылы жүргізілген перпендикулярдың бойында жататынын көрсетеді. Сонымен ВС қабырғасының да ортасынан тұрғызылған перпендикуляр К нүктесі арқылы өтеді, яғни үшбұрыштың үш қабырғасының ортасы арқылы тұрғызылған перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.
Үшбұрыштың биіктіктерінің қасиеті. 
Теорема. Үшбұрыштың үш биіктігі бір нүктеде қиылысады. Д 96- сурет әлелдеуі. АВС үшбұрышының төбелерінен оған қарама-қарсы жатқан қабырғасына параллель түзулер жүргізейік (96-сурет). Бұл түзулер FDE үшбұрышын құрайды. Параллель түзулердің арасындағы параллель кесінділердің теңдігінен  және  . Бұл теңдіктерден  , яғни C нүктесі DE қабырғасының ортасы. Дәл осылайша А нүктесі EF қабырғасының, В нүктесі FD қабырғасының ортасы болады. АВС үшбұрышының төбелерінен жүргізілген биіктіктер FDE үшбұрышы үшін орта перпендикулярлар болады. Ал олар бір К нүктесінде қиылысатынын жоғарыда дәлелдедік. Олай болса, үшбұрыштың үш төбесінен жүргізілген биіктіктері бір нүктеде қиылысады.
Үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі оның орта центрі деп аталады. Үшбұрыштың медианаларының, биссектрисаларының, биіктітерінің, орта перпендикулярларының қиылысу нүктелері үшбұрыштың төрт тамаша нүктелері деп аталады. Фалес теоремасы. Ф  алес Милетский – б.з.д. VI ғасырда өмір сүрген ежелгі грек оқымыстысы.
Т 97- сурет еорема. Еегр бұрыштың бір қабырғасының бойына тең кесінділер салып, олардың ұштары арқылы параллель түзулер жүргізілсе, олар бұрыштың екінші қабырғасынан тең кесінділер қияды. Дәлелдеуі. АВС бұрышының ВА қабырғасының бойында  кесінділері орналассын.  түзулер жүргізілсін. Сонда  болатынын дәлелдеу керек (97-сурет) АВ қабырғасына параллель  ,  ,  кесінділерін жүргізейік. Бұл кесінділер параллель түзулердің арасындағы параллель кесінділер болғандықтан өзара тең болады,  .  және  үшбұрыштарын салыстырайық. Оларда  , сәйкес бұрыштар  өзара тең және параллель қабырғалардың арасындағы бұрыштар  өзара тең. Бұдан  , олай болса,  . Дәл осылайша  теңдігін дәлелдеп,  екеніне көз жеткіземіз.
Сонымен жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
бөлігін қиятынын көреміз. Біз үшбұрыштың кез келген екі медианасын алдық, сондықтан бұл тұжырым BH медианасы үшін де дұрыс болады, яғни 
, яғни үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады. Медианалардың қиылысу нүктесі оның ауырлық центрі деп аталады. 
.