Г. К. Уазырханова А. А. Жақсылыкова

Табылған қатынастан, екінші шарға берілетін кинетикалық энергияның үлесі 
тек қана соқтығысқан шарлардың массасына тәуелді екені көрініп тұр. Егерде 
шарлардың орнын ауыстырсақ берілетін энергияның үлесі өзгермейді.
Жауабы: 
ε
 = 
2
2
1
2
1
)
(
4
m
m
m
m
+
.
2.2.4  4   есеп.  Массасы   1   кг   дене   тұрақты   күштің   әсерінен   түзу   сызықты 
қозғалады. Дененің жүріп өткен жолының уақытқа тәуелділігі S = (2t
2 
+ 4t + 1)м 
теңдеуімен берілген. Кинетикалық энергияның уақытқа тәуелділігі мен күштің 
әсері басталғаннан 10 с өткеннен кейінгі істеген жұмысын анықтаңыз. 
Берілгені:
m=1 кг
S=(2t
2
+4t+1)м
A-? W
к
(t)-? 
Шешуі: Күш істеген жұмыс қисық сызықты интеграл арқылы 
өрнектеледі  
                                            
                                            А=
∫
F
dS  .                                   (2.12)
Ньютонның екінші заңы бойынша денеге әсер етуші күш F = ma   тең немесе 
                                                             F  =m
2
2
dt
S
d
 .                                              (2.13)
Үдеудің лездік мәні жылдамдықтың уақыт бойынша бірінші туындысы 
немесе   жолдың   уақыт   бойынша   екінші   туындысы   болады.   Осыған   сәйкес 
табатынымыз:
                                                       
υ
 = 
dt
dS
 = 4t + 4;                                             (2.14) 
                                                             а =
2
2
dt
S
d
= 4 м/с
2
.                                       (2.15) 
осыдан
                                                             F = m
2
2
dt
S
d
= 4m.                                       (2.16)
(2.14) өрнегінен dS анықтаймыз:          
                                                 
                                                  dS = (4t + 4)dt.                                                   (2.17)
(2.16) және (2.17) теңдеулерін (2.12) теңдеуіне қойып, мынаны табамыз:  
                                               
                                                   А=
∫
4
m(4t+4)dt.
29

Мына формула бойынша күштің   әсері басталғаннан 10 с өткеннен кейінгі 
істеген жұмысын анықтаймыз:
А =
∫
10
0
16
( mt +16m)dt = m








+
10
0
10
0
2
16
2
16
t
t
 = 1(8
⋅
10
2
+16
⋅
10) Дж = 960 Дж.
Кинетикалық энергия мына формула бойынша анықталады 
                                              
                                               W
к 
= 
2
2
υ
m
.                                                              (2.18)
(2.14) өрнегін (2.18) теңдеуіне қоя отырып, мынаны табамыз: 
                          W
к 
=  
2
)
4
4
(
2
+
t
m
 = 
2
)
16
32
16
(
2
+
+
t
t
m
 = m (8t
2 
+ 16t + 8).
Жауабы: А= 960 Дж;    W
к  
= m (8t
2 
+16t + 8).
2.2.5  
5   есеп.
 
Массасы  m=80г   тең   тұтас   диск   түріндегі   блок   арқылы   жіңішке 
майысқақ жіп ілінген және оның ұштарына  массалары m
1
=100 г  және m
2
=200 г 
жүктер ілінген. Егер де оларды өз жайына қалдырса жүктер қандай үдеулермен 
қозғалады? Жіптің массасы мен үйкелісі ескерілмейді.
Берілгені:
m=80 г=0,08 кг
m
1
=100 г=0,1 кг
m
2
=200 г=0,2 кг
а-?
Шешуі:    Ілгерлемелі және айналмалы 
қозғалыс     динамикасының   негізгі 
теңдеулерін пайдаланамыз. Ол үшін әр 
жүкке   және   блокқа   әсер   ететін 
күштерді   қарастырамыз.   Бірінші 
жүкке   екі   күш   әсер   етеді:  
g
m

1
 
ауырлық   күші   және  
1
Т

  серпімділік 
күші   (жіптің   керілу   күші).   Ол 
күштердің   тік   жоғары   бағыттаған  у 
өсіндегі проекциясын алып, осы өстегі 
қозғалыс теңдеуін (Ньютонның екінші 
заңы) жазайық :
                                                                                                                     2.3-сурет
                                         m
1
g - T
1 
= - m
1
a.                     (2.19) 
                                            
Сәйкесінше екінші жүктің қозғалыс теңдеуін жазайық: 
                                           
                                            m
2
g - T
2 
= m
2
a.                    (2.20)
30

Чертеж   жазықтығына   перпендикуляр   өске   қатысты  
r
Т
′
1
  және  
r
Т
′
2
  екі 
күш моменттерінің әсерінен блок 
ε
  (
ε
 = а/ r)  бұрыштық үдеуге ие болады.
Айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуіне сәйкес      
                                        
                                                
r
Т
′
2
 - 
r
Т
′
1
= J
z
ε
,                                             (2.21)
мұндағы J
z 
= 
2
1
mr
2
 – блоктың (тұтас диск) z өсіне қатысты инерция моменті.
′
1
Т
  күші Ньютонның үшінші заңына сәйкес абсолют мәні бойынша  Т
1 
күшіне тең. Сәйкесінше 
′
2
Т  күші абсолют мәні бойынша Т
2
 күшіне тең. Осыны 
қолдана отырып, (2.21) теңдеуіндегі 
′
2
Т
 және 
′
1
Т
орнына Т
1
 және  Т
2 
өрнектерін 
қоямыз, ал оларды алдын ала (2.19) және (2.20) теңдеулері арқылы  табамыз:
                                       (m
2
g - m
2
a)r -  (m
1
g + m
1
a)r = 
2
1
mr
2
r
а
.
Осы өрнекті ықшамдай отырып, үдеудің өрнегін аламыз:
                                              а =
2
1
2
1
2
m
m
m
m
m
+
+
−
g.                                                   (2.22)
(2.22) формуласының оң жағындағы массалар қатынасының өлшем бірлгі 
бірге тең. Сондықтан  m
1
,  m
2   
және   m  массаларының сандық мәндерін есептің 
берілгенінде   көрсетілгендей   грамм   арқылы   өрнектеуге   болады.   Еркін   түсу 
үдеуінің   сандық   мәнінің   орнына   ХБ   жүйесіндегі   өлшем   бірлігі   алынады. 
Есептеулер жүргізу арқылы мынаны табамыз 
а = 
2
80
100
200
100
200
+
+
−
⋅
9,81 = 2,88 м/с
2
.
Жауабы: а = 2,88 м/с
2
.
2.2.6    6  есеп.  Массасы  m=50   кг  және   радиусы  R=0,2   м  тең   тұтас   диск 
түріндегі   маховикті  
ν
1
=   480   мин
-1
  жиілікке   дейін   айналдырып,   қоя   берген. 
Үйкеліс   күшінің   әсерінен   маховик  t  =50   с   уақыттан   кейін  тоқтады.   Үйкеліс 
күшінің моментін М анықтаңыз. 
31

Берілгені:
R=0,2 м
m=50 кг 
ν
1
=480 мин
-1
=8 с
-1
t=50 с
М-?
 
 Шешуі:  Есепті   шығару   үшін   айналмалы   қозғалыс 
динамикасының негізгі теңдеуінің мына түрін қолданамыз 
       
                                dL
z 
= M
z
dt,                                      (2.23)
мұндағы dL
z 
– маховиктің геометриялық өсімен беттесетін z 
өсіне   қатысты     маховиктің   импульс   моментінің  dt  уақыт 
аралығындағы өзгерісі; 
M
z
  –маховикке   әсер   ететін   сыртқы   күштердің  z  өсіне  қатысты   моменті  (бұл 
жағдайда үйкеліс күшінің моменті).
Үйкеліс күшінің моменті уақыт өте келе өзгермейді (M
z 
= const), сондықтан 
(2.23) теңдеуін интегралдау мына өрнекке әкеледі 
                                                    
                                                   
∆
L
z  
= M
z
∆
t.                                                    (2.24)
Қатты дененің қозғалмайтын өске қатысты айналмалы қозғалысы кезіндегі 
импульс моментінің өзгерісі 
                                                    
                                                   
∆
L
z 
= J
z
∆
ω
,                                                     (2.25)
мұндағы J
z 
= 
2
1
mR
2
  - маховиктің (тұтас диск) z өсіне қатысты инерция моменті; 
∆ω
  -  маховиктің   бұрыштық   жылдамдығының   өзгерісі.     (2.24)    және    (2.25) 
теңдеулерінің оң жақтарын теңестіре отырып, мынаны табамыз: 
                                                     
                                                M
z
.
∆
t = J
z
.
∆ω
, 
осыдан                         
                                                  M
z 
= J
z
t
∆
∆
ω
.                                                      (2.26)
∆
ω
  =  
ω
2  
-  
ω
1  
бұрыштық   жылдамдықтың   өзгерісін  
ω
  =   2
πν
  қатынасын 
пайдалана отырып, анықталған  
ν
1
  бастапқы және  
ν
2
  соңғы айналу жиіліктері 
арқылы өрнектейміз 
                                 
∆
ω
 = 
ω
2 
- 
ω
1 
= 2
πν
2 
- 2
πν
1 
= 2
π
 (
ν
2
-
ν
1
).
(2.26) формуласына J
z
 және 
∆
ω
, өрнектерін қойып, мынаны табамыз  
                                            
                                               M
z 
= 
π
 mR
2
(
ν
2
-
ν
1
) /
∆
t.                                         (2.27)
Есептеу формуласы күш моментінің өлшем бірлігін бере ме жоқ па соны 
тексерейік. Ол үшін формуланың оң жағындағы шамалардың орнына олардың 
өлшем бірліктерін қоямыз:
32

                                  
                                          [M]= 
с
с
м
кг
1
2
−
⋅
⋅
= кг
⋅
м
⋅
с
-2
⋅
м = Н
⋅
м.
Табылған  (Н
⋅
м)   өлшем   бірлігі   күш   моментінің   өлшем   бірлігі   болып 
табылады.   (2.27)   теңдеуіндегі   шамалардың   сандық   мәндерін   қоя   отырып, 
есептеулер жүргіземіз:
                                 
                                           M
z 
=  
50
)
8
0
(
)
2
,
0
(
50
14
,
3
2
−
⋅
⋅
⋅
= - 1Н
⋅
м.
“Минус”  таңбасы,   үйкеліс   күші   маховик   қозғалысына   қарама-қарсы 
бағытта әсер ететінін көрсетеді.
Жауабы: М = - 1 Н
⋅
м.
2.2.7 7 есеп. Массасы 2 кг тең шар горизонталь жазықтықта домалап келе 
жатыр.   Қозғалыс   басталғаннан   2   мин   өткеннен   кейін   шар   тоқтайды.   Егер 
шардың бастапқы жыламдығы 2 м/с тең болса, үйкеліс күшінің жұмысы неге 
тең? 
Берілгені:
m=2 кг
t=2 мин =120с
υ
0 
= 2 м/c
А-?   F
үйк
-?
Шешуі:  Шардың   толық   кинетикалық   энергиясы   оның 
ілгерлемелі   қозғалысы   мен   айналмалы   қозғалысының 
кинетикалық энергияларының қосындысынан тұрады. Шардың 
толық тоқтау мезетіне дейін бұл энергия үкеліс күшін жеңуге 
шығындалады   да,   энергияның   сақталу   заңы   бойынша   ол 
үйкеліс күшінің жұмысына тең:
                                                         А = 
2
2
0
υ
m
 + 
2
2
ω
J
, 
мұндағы   J=
5
2
mR
2
 – шардың инерция моменті, 
ω
 -оның бұрыштық жыламдығы. 
ω
 = 
υ
0
/R екенін ескерсек, онда:
                                    А = 
2
2
0
υ
m
 + 
5
2
2
1
⋅
 mR
2
⋅
2
2
0
R
υ
 = 0,7 m
2
0
υ
.
                                               [A ] = кг
⋅
м
2
/с
2 
= Дж
                                               А = 0,7
⋅
2
⋅
4 = 5,6 Дж.
Жұмыстың анықтамасы бойынша:  
                                                         
                                                           А = F
үйк
⋅
S,
33

мұндағы жол   
                                                           S = аt
2
/2. 
Тоқтағанға дейінгі бірқалыпты кемімелі қозғалыс кезінде
                                                     
                                                      
υ
0 
= аt,    S = 
υ
0
t/2,
онда:                                  
                                                  F
үйк 
=  
S
A
 = 
t
A
0
2
υ
. 
Өлшем бірлігін тексереміз:
                                          
                                                [F
үйк
] 
= 
с
с
м
Дж
⋅
 = 
м
м
Н
⋅
= H.
Сандық мәндерін қоя отырып, есептеулер жүргіземіз:  
                                          F
үйк =  
120
2
6
,
5
2
⋅
⋅
 
≈
 0,047 Н.
Жауабы:  А = 5,6 Дж;    F
үйк 
= 0,047 Н. 
2.2.8  8  есеп.  Массасы  m
1
=180   кг  және   радиусы  R=1,5  тең   тұтас   диск 
түріндегі платформа инерциясы бойынша  n=10 мин
-1 
жиілікпен вертикаль өс 
маңайында   айналмалы   қозғалыс   жасайды.   Платформа   центрінде   массасы 
m
2
=60кг   тең   адам   тұр.   Егер   адам   платформаның   шетіне   орын   ауыстыратын 
болса, онда ол еденге қатысты қандай сызықтық жылдамдыққа ие болады?
Берілгені:
R=1,5 м
m
1
=180 кг
n=10 мин
-1
m
2
=60 кг
υ
-?
Шешуі:  Платформа  инерциясы   бойынша   айналады.    Сондықтан 
платформаның   геометриялық   өсімен   беттесетін  z  айналу   өсіне 
қатысты сыртқы күштер моменті нольге тең. Осы шартқа сәйкес 
платформа-адам   жүйесінің  L
z
  импульс   моменті   тұрақты   болып 
қалады.     
                                  L
z 
= J
z
ω
 =  const,                                          (2.28)
мұндағы  J
z
  –адамы   бар   платформаның  z  өсіне   қатысты   инерция   моменті; 
ω
-платформаның бұрыштық жылдамдығы.
Жүйенің   инерция   моменті   осы   жүйеге   кіретін   денелердің   инерция 
моменттерінің қосындысына тең 
                                             J
z 
= J
1
+ J
2
, 
мұндағы J
1
 – платфоманың инерция моменті; J
2
 – адамның инерция моменті.
34

Осыны ескере отырып (2.28) теңдігі мына түрге ие болады:
(J
1 
+ J
2
)
ω
 = const,
немесе
                                                (J
1 
+ J
2
)
ω
 = (J
′
1
+J
′
2
)
ω′
,                                       (2.29)
мұндағы   штрихталмаған   шамалардың   мәні   жүйенің   бастапқы   күйіне, 
штрихталғандары соңғы күйіне сәйкес келеді. 
Платформаның  (тұтас   дискінің)  z  өсіне   қатысты   инерция   моменті   адам 
орынын ауыстырған кезде де өзгермейді:  J
1  
=  J
′
1  
= 0,5  m
1
R
2
.  Ал адамның сол 
өске қатысты инерция моменті өзгереді. Егер адамды материялық нүкте ретінде 
қарастырсақ, онда оның бастапқы күйіндегі (платформа центріндегі) J
2 
инерция 
моменті   нольге   тең.   Адамның   соңғы   күйіндегі   (платформаның   шетіндегі) 
инерция моменті J
′
2 
= m
2
R
2
 тең. 
(2.29)   формуласына   инерция   моменттерінің   табылған   мәндерін   қойып 
және адамы бар платформаның  
ω
  бастапқы бұрыштық жылдамдығын айналу 
жиілігі  n   (
ω
  = 2
π
n)   арқылы, ал  
ω′
  соңғы бұрыштық жылдамдықты адамның 
еденге қатысты 
υ
 сызықтық жылдамдығы арқылы өрнектейміз (
ω′
=
υ
/R):  






+
0
2
1
2
1
R
m
2
π
n = 
R
R
m
R
m
υ






+
2
2
2
1
2
1
.
Бұл  өрнектің  екі жағын да  R
2
  қысқартып  және қарапайым  түрлендірулерден 
кейін бізге қажетті жылдамдықты табамыз:
                                              
υ
 = 2
π
 n R
2
1
1
2m
m
m
+
                                         (2.30)
n  =   10   мин
-1  
=  
6
1
  с
-1  
екенін   ескере   отырып,   (2.30)   формуласындағы 
физикалық   шамалардың   ХБ   жүйесіндегі   сан   мәндерін   қойып   есептеулер 
жүргіземіз:
υ
 = 2
⋅
3,14
⋅
6
1
⋅
1,5
⋅
60
2
180
180
⋅
+
 = 1 м/с.
Жауабы: 
υ
 = 1 м/с.
2.2.9    9   есеп.  Су   фонтанға   үлкен   цилиндрлік   бак   арқылы   келеді   және  II 
саңылауынан  
υ
2
=12  м/с  жылдамдықпен  атқылайды.  Бактың   диаметрі  2  м,  II 
саңылауының көлденең қимасының диаметрі 2 см тең.   Табу керек: 1) бактағы 
35

судың  
υ
1
  төмендеу   жылдамдығын;   2)   фонтанға   баратын   суға   түсірілген  р
1 
қысымды; 3) бактағы су деңгейінің  h
1
биіктігін және фонтаннан атқылаған су 
ағынының көтерліу h
2 
биіктігін.
Берілгені:
υ
2
=12 м/с
D=2 м
d=2 см=0,02 м
υ
1
-? р
1
-? h
1
-? h
2
-?
 
Шешуі:1) Цилиндрлік бактың ішінде фонтанның II қимасының деңгейімен дәл 
келетін  I  қимасын   жүргіземіз   (2.4   -суретті   қара).  I  қимасының  S
1  
ауданы  II 
қимасының  S
2
  ауданынан үлкен болғандықтан, бактағы су деңгейінің биіктігі 
аз   уақыт   аралығында   тұрақты   болады,   ал   ағынды   орныққан   деп   есептеуге 
болады. Орныққан ағын үшін үзіліссіздік теңдеуі

жүктеу/скачать 0,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: