Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

Доказательство.
1) Пусть ОН — высота конуса (пирамиды) (рис. 122, а, б). Начало
оси Ох поместим в вершину конуса (пирамиды). На расстоянии х от О
проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Полученное сечение бу
дет подобно основанию; коэффициент подобия равен
x
H
. Поэтому пло
щадь сечения S(x)
=
x
H
æ
èç
ö
ø÷
2
S, где S — площадь основания;
2) имеем: V
¢
(х)
=
S(x)
=
x
H
æ
èç
ö
ø÷
2
S
=
S
H
x
2
2
;
3) так как
S
H
2
— константа, то V (х)
=
S
H
x
2
3
3
×
;
4) так как высота тела равна Н, то
V
к
=
V (Н)
=
S
H
H
SH
2
3
3
1
3
×
=
.
6.2. Примеры решения задач
Задача 1
(90, г, рис. 123).
Решение.
1) Пусть
Ð
АРВ
=
a
, АР
+
РО
=
m. Выразим РО
через АР:
PO
AP
=
cos
a
2
;
—
104
—
Рис. 122
O
α
А
В
P
Рис. 123
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2) тогда АР
+
РО
=
m
Þ
АР
+
APcos
a
2
=
m
Þ
AP
m
1
2
+
æ
èç
ö
ø÷
=
cos
a
Þ
Þ
=
+
AP
m
1
2
cos
a
;
3) находим высоту Н и радиус R основания конуса:
Н
=
РО
=
m – AP
=
m –
m
1
2
+
cos
a
=
mcos
cos
a
a
2
1
2
+
,
R
=
AO
=
AP sin
a
2
=
msin
cos
a
a
2
1
2
+
;
4) искомый объем
V
=
1
3
1
3
2
1
2
2
1
2
2
2
p
p
a
a
a
a
p
R H
m
m
=
+
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
×
+
=
sin
cos
cos
cos
m
3
6
2
48
4
sin sin
cos
a
a
a
.
Ответ:
V
=
p
a
a
a
m
3
6
2
48
4
sin sin
cos
.
Задача 2
(рис. 124). Даны два по
добных конуса (две подобные пи
рамиды) с коэффициентом подо
бия k. Докажите, что отношение
объемов этих конусов (пира
мид) равно кубу коэффициента
подобия:
V
V
1
=
k
3
.
Решение.
1) Так как конусы подобны, то
их соответственные линейные эле
менты пропорциональны:
A P
AP
P O
PO
A O
AO
k
1
1
1
1
1
1
=
=
=
;
—
105
—
O
А
P
P
A
O
1
1
1
Рис. 124
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2) запишем объемы этих конусов:
V
V
A O
P O
AO
PO
k AO
kPO
AO
PO
k
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
3
1
3
1
3
=
×
×
=
×
×
=
p
p
;
3) доказательство для пирамид проведите самостоятельно.
Задача 3
(90, е, рис. 125, а).
Решение.
1) Пусть О
1
— центр основания конуса, О — центр вписанного шара,
ОТ — радиус круга, получаемого в сечении конуса данной плоскостью.
Введем обозначения:
Ð
РАО
1
= a
, ОО
1
=
OK
=
R — радиус шара, V — объ
ем данного конуса, V
1
— объем конуса, основание которого проходит
через точку О;
2) рассмотрим данный конус и конус, радиус основания которого
равен ОТ. Эти конусы гомотетичны в гомотетии с центром Р и поэтому
они подобны. Воспользуемся результатом предыдущей задачи, найдя
предварительно коэффициент подобия k: k
=
OT
AO
1
;
3) в прямоугольном
D
ОKT:
Ð
KOT
=
Ð
APO
1
=
90
°
–
a
,
OK
OT
OT
OK
R
=
°-
=
Þ
=
=
cos(
)
sin
sin
sin
90
a
a
a
a
;
—
106
—
P
O
O
А
В
_
2
a
α
90° - a
R
R
K
T
1
С
L
А
P
B
а
)
б
)
Рис. 125
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

4) в прямоугольном
D
АОО
1
:
AO
OO
AO
OO
R
1
1
1
1
=
Þ
=
=
ctg
ctg
ctg
a
a
a
;
5) тогда k
=
OT
AO
1
=
R
sin
a
: Rctg
a =
…
=
1
2
2
2
cos
a
;
6) по условию объем V
1
в 2 раза меньше объема V. Поэтому
V
V
k
1
3
2
3
6
1
2
1
2
2
1
2
4
2
1
2
=
= Þ
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
= Þ
= Þ =
cos
cos
a
a
a
arccos
1
4
6
.
Ответ:
a =
2
1
4
6
arccos
.
Метод объемов аналогичен методу площадей, знакомому из плани
метрии. Следуя этому методу, вначале находят объем тела, а затем с его
помощью — некоторые другие элементы данного тела. Полезным ока
зывается также использование отношения объемов двух тел, имеющих
либо равные высоты, либо равные площади оснований. Покажем при
менение этого метода на примере следующих двух задач.
Задача 4.
Боковые ребра правильной треугольной пирамиды равны
2. Плоские углы при вершине пирамиды прямые. Найдите высоту
пирамиды.
Замысел решения. Нетрудно найти объем прирамиды, приняв за ос
нование боковую грань. Найдя объем пирамиды и площадь основания,
к которому проведена искомая высота, нетрудно найти эту высоту. За
вершите решение задачи.
Задача 5
(46, рис. 125, б). Решите данную задачу с помощью метода
объемов.
Краткая запись задачи:
РАВС — тетраэдр,
PAL — биссекторная плоскость двугранного угла при ребре PA,
L — точка пересечения биссекторной плоскости с ребром ВС.
Доказать:
BL
LC
S
S
BAP
CAP
=
.
Решение.
Имеем:
BL
LC
S
S
V
V
S
S
BAL
CAL
PBAL
PCAL
BAP
CAP
=
=
=
. Первое равенство записано на
основании того, что отношение площадей двух треугольников с равны
ми высотами равно отношению сторон, к которым проведены эти высо
—
107
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

ты (такое равенство использовалось в планиметрии при решении зада
чи методом площадей). Второе равенство записано на основании того,
что отношение объемов двух пирамид с равными высотами равно отно
шению площадей оснований. Далее в этих двух пирамидах, составляю
щих данную пирамиду, за основания примем соответственно треуголь
ники ВАР и САР. Высоты пирамид, проведенные к этим основаниям из
точки L, равны, так как точка L принадлежит биссекторной плоскости
двугранного угла данной пирамиды при ребре РА. Так как отношение
объемов пирамид с равными высотами равно отношению площадей ос
нований, то последнее равенство также справедливо. В итоге требуе
мое равенство доказано.
§ 7. ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА И УСЕЧЕННОЙ
ПИРАМИДЫ
7.1. Теория
Выведем формулы объема усеченного конуса и усеченной пирамиды.
Теорема 14
Объемы усеченной пирамиды и усеченного конуса находятся по
одной и той же формуле V
=
R
R
H
2
1
-
H(S
1
+
S S
1
2
+
S
2
), где Н — вы
сота тела, S
1
и S
2
— площади оснований.
Доказательство.
Пусть АВ
=
Н — высота усеченного тела (рис. 126). Дополним усе
ченное тело до полного. Пусть ОА
=
х — высота достроенного тела.
Тогда по теореме об отношении параллельных сечений имеем:
S
S
x
x H
x
x H
S
S
x
H S
S
S
1
2
2
2
1
2
1
2
1
=
+
Þ
+
=
Þ =
-
(
)
.
Объем усеченного тела найдем как разность объемов двух полных
тел с основаниями S
2
и S
1
и соответственно высотами х
+
Н и х:
V
=
(
)
(
)
1
3
1
3
1
3
2
1
2
2
1
(
)
H
x S
xS
HS
x S
S
+
-
=
+
-
=
(
)
=
+
-
-
æ
èç
ö
ø÷
=
+
+
1
3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
HS
H S
S
S
S
S
H S
S S
S
(
)
.
—
108
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Следствие.
Объем усеченного конуса V
=
(
)
1
3
1
2
1
2
2
2
p
H R
R R
R
+
+
, где
Н — высота усеченного конуса, R
1
и R
2
— радиусы его оснований.
7.2. Примеры решения задач
Задача 1
(рис. 127). l
=
6 — образующая
усеченного конуса,
a =
60
°
— угол на
клона образующей к плоскости нижне
го основания конуса, R
2
=
1 — радиус
верхнего основания конуса. Найдите
объем усеченного конуса.
Решение.
1) Рассмотрим осевое сечение данного
конуса, представляющее собой равнобед
ренную трапецию. Проведем высоту СТ
трапеции, получим прямоугольный
D
СТD. В этом треугольнике
ТD
=
1
2
3
CD
=
;
2) тогда радиус нижнего основания конуса
R
1
=
OD
=
OT
+
TD
=
1
+
3
=
4;
3) из прямоугольного
D
СТD по теореме Пифагора находим высоту
усеченного конуса Н
=
СТ
=
CD
TD
2
2
36 9
3 3
-
=
- =
;
4) искомый объем
(
)
V
H R
R R
R
=
+
+
=
×
×
+ + =
1
3
1
3
3 3 16 4 1
21 3
1
2
1
2
2
2
p
p
p
(
)
.
Ответ:
V
=
21 3
p
.
—
109
—
S
S
= ...
x
=
H S
S
S
V
=
1
3
(
)
H+x
1
2
1
1
2
S
S
–
1
3
x
=...
2
1
O
H
А
x
B
–

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: