Рис. 162 O D С А В α h Рис. 163

Н
=
2
2
2
h
sin
a
×
2
1
2
1
sin cos
(
sin
cos )
sin
cos
a
a
a
a
a
a
h
h
+
+
=
+
+
Þ
Þ
V
=
h
2
2
sin
a
×
2
1
h
+
+
sin
cos
a
a
=
h
3
2
2
2
45
2
sin
cos
sin
a
a
a
°+
æ
èç
ö
ø÷
.
80. а) 6 3
3
R . б)
9
4
3
R . в)
9 3
16
3
R
, см. § 15.
81. а) 360. б)
45
2
111. в) 5040 куб. ед., см. § 15. г) 13860. Воспользуй
тесь суммой квадратов диагоналей параллелепипеда. д) 480.
82. a)
d
3
2
8
. б) S S S
1
2
3
, см. § 15. в)
H
3
2
sin
b
a
tg
2
.
г)
1
2
2
3
2
d cos
sin sin
a
a
b
. д)
11
31
6
0 9
-
»
, . Обозначьте сторону квадрата
через х. ж)
b
3
3
sin
a
a
(tg
1)
3
+
, см. § 15. Обратимся к рисунку 164. Обозначим
ребро куба через х. Имеем: ОР
=
b sin
a
, OC
=
bcos
a
. Рассмотрим два
треугольника с вершиной Р и соответственно основаниями ОС и O
1
C
1
.
—
193
—
P
А
B
С
D
O
Т
Q
R
S
α
А
1
В
1
С
1
D
1
x
О
1
b
x
Рис. 164
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Эти треугольники подобны. На основании их подобия можно записать:
OC
O C
PO
PO x
b
x
b
b
x
x
b
1
1
=
-
Þ
=
-
Þ =
+
cos
sin
sin
cos sin
sin
a
a
a
a
a
a
cos
a
Þ
Þ
x
b
=
-
æ
èç
ö
ø÷
sin
cos
2
2 2
4
a
p a
Þ
V
=
b
3
3
3
2
16 2
4
sin
cos
a
p a
-
æ
èç
ö
ø÷
=
… .
83. a) 360. б)
27 3
tg
4(3
3 tg )
3
3
3
R
a
a
+
. в) 2
3
2
p
a
a
R cos
sin .
г) d
3
2
2
sin sin
cos
sin
a
b
a
b
-
. е)
Р
3
216
p
, см. § 15. д)
V
V
p
a
2
3
2
4
tg
2
. ж) 12 3.
з)
1
2
3
2
d cos
sin sin .
a
a
b
и) 4
2
3
3
a cos
sin
a
a
. к) Обозначим искомую сто
рону основания через х. Выражая через х площадь основания и высоту
призмы, можно составить уравнение V
=
3
4
2
2
1 4
2
3
2
×
-
x
sin
sin
a
a
, из ко
торого находится х. л)
2
2
S S tg
j
a
b
a b
sin sin sin(
)
+
. м)
1
2
2
3
d sin sin
a
a b
tg .
н)
a
3
2
sin
sin
(
)
a
j
a
j
a
sin
2sin
1 cos
2
2
-
-
, см. § 15. o)
h
3
2
2
2
cos
sin
sin
cos sin
b
j
b
b
j
-
.
84.
l
3
3
3
2
2
sin
(
cos )
a
a
a
sin
2
+
.
85. а)
1
2
1
2
d d l . б)
2
2
2
2
2
Q p p a p b p c
a
b
c
(
)(
)(
)
(
)
-
-
-
+
-
, где р — полупериметр
D
ABD. в)
a l
2
2
. г)
5 77
4
. д)
3
4
2
2
2
ab d
ab a
b
+
-
-
. e) См. задачу в § 18.
ж)
abl
2
. з)
a
3
2
. и)
a
h
a
2
2
2
12
8
-
.
86. а) См. задачу в § 18. б) Так как боковое ребро одинаково накло
нено к смежным сторонам основания, то его ортогональная проекция
будет находиться на биссектрисе угла между этими сторонами, т. e. на
диагонали квадрата. Угол между боковым ребром и плоскостью осно
вания удобно найти по формуле Эйлера. После этого нетрудно найти
высоту и затем объем параллелепипеда. в)
3
4
3
a sin .
a
—
194
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

87. а)
a b
2
2
2
2
sin
cos
cos
cos
a
a
b
a
-
. б) 2
2
3
2
2
3
a sin
sin
sin
a
a
a
.
в)
a
3
4
ctg
tg
a b
a
sin
. г)
3
2
Ql, см. § 18. д)
a
h
a
2
2
2
4
2
-
.е) a
3
2
2
sin
cos .
a
a
88. а) Вначале найдите искомый объем, затем представьте его в тре
буемом виде. б) 1)
104
3
p
; 2) 2
p
; 3) 81
p
. в) V
1
<
V
2
.
89. a)
p
Q
H
2
3
. б)
p
b
a
l
3
3
8
2
ctg
sin
. в)
2
3
2
2
p
a
a
b
b
Q
Q
cos
sin
sin
sin
.
г)
2
3
2
3
2
2
p
a
a
R sin
cos
. д)
2
9 3
3
p
l
. е)
p
6
12 2 1
3
a
(
)
.
-
ж)
p
3
24
3
l
. з)
3
2
3
3
3
p
a
(
)
.
+
90. а) 2
3
2
2
3
V
-
cos
cos
.
a
p
a
г)
p
a
a
a
m
3
6
2
48
4
sin sin
cos
, см. § 20. д)
2
3
2
3
2
2
p
a
a
R sin
sin
.
е)
a =
2
1
4
6
arccos
, см. § 20. ж) 1 : 7. з)
1
3
1 ctg
2
tg .
3
p
a
a
+
æ
èç
ö
ø÷
91. а) 4 6
3
r . б)
4 6
27
3
R
. в) 2 683 311 м
3
. г)
2 3
2
4
3
2
2
R sin
cos
.
a
a
е)
p
a
a
nd
n
3
2
360
6
sin
sin
cos
°
, см. § 20.
92. а)
3
4 3
3
R ctg
2
ctg
2
2
d
d
-
. б)
12
7
3
H
, см. § 20. в)
4
3 2
2
3
b tg
tg
tg
2
2
b
b
b
(
)
.
+
+
г)
a
3
1 2 7
12
7 1
+
-
(
)
.д)
8
6
4
см
3
. л)
H
3
3
(ctg
ctg )
2
a
b
-
, см. § 20. м)
6
4
3
R , см. § 20.
93. а)
p
a
Q Q (
)
.
3
12
+
ctg
2
б)
p
a
a
a
l
3
3
2
2
1
12
sin
.
tg
ctg
2
2
+
+
æ
èç
ö
ø÷
в) 202
2
3
,
см. § 21.
96. з)
p
2 2
a R a
(
)
-
, см. § 22. к) 4
2
45
4
3
p
a
a
V tg
tg
° -
æ
èç
ö
ø÷
, см. § 22.
99. а) 8Н
2
сtg
a
(1
+
сtg
a
). б) Вначале найдите диагональ основания,
а затем высоту параллелепипеда Н
=
Q
d
Q
a
ab b
=
+
+
2
2
и т. д.
—
195
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

в) b
2
1
tg
b
a
a
(
sin
cos )
+
+
. г) Для построения линейного угла между
указанными плоскостями проведите перпендикуляры к гипотенузе из
концов противолежащего ребра призмы. Найдите периметр основания
и высоту призмы. д) 2
2
2
2
d
S
d
sin
cos
a
a
+
. ж) Сделайте отдельно ри
сунок основания призмы. Обозначив сторону ромба через х, получим
d
x
x
d
cos
cos
cos
cos
b
a
b
a
2
2
2
2
=
Þ =
. Зная периметр основания и высоту приз
мы, можно найти площадь: S
=
2
2
2
2
2
2
d
d
cos sin
cos
sin
cos
b
b
a
b
a
=
. з) Высоту приз
мы можно найти сразу. Она равна asin
b
. Как видно, задача является
в основном «планиметрической». Выполните выносной рисунок осно
вания призмы. Обозначив боковые стороны и меньшее основание че
рез х, а проекции боковых сторон
на большее основание — через у,
можно записать (рис. 165):
a
x
x
a
cos
cos
cos
cos
b
a
b
a
2
2
2
2
=
Þ =
Þ
Þ =
=
Þ
y
x
a
cos
cos cos
cos
a
a
b
a
2
2
Þ
+
=
+
Þ
4
2
2
2
x
y
acos (
cos )
cos
b
a
a
Þ =
+
=
S
a
2
2
2
cos sin (
cos )
cos
b
b
a
a
=
+
a
2
2 2
2
2
sin
(
cos )
cos
b
a
a
.
100. 2 P
Q
2
2
+
. Выполните па
раллельный перенос одного из диа
гональных сечений призмы так, как
показано на рисунке 166. Пусть R —
удвоенная площадь передней грани
призмы. Тогда Р
2
+
Q
2
=
R
2
. Поэтому
—
196
—
α
x
x
x
x
x
y
α
2
α
2
α
2
a
cos
b
Рис. 165
А
В
С
D
А
1
В
1
С
1
D
1
m
Рис. 166
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

искомая площадь боковой поверхности параллелепипеда
S
=
2R
=
2
2
2
P
Q
+
.
101. а)
d
3
2
2
sin
.
a b
tg
б)
(
)
a h
a
a
h
a
2
2
2
2
4
tg
tg
a
a
,
.
+
+

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: