3 – теорема. Z жиынындағы косу мен көбейту амалдарыдистребутивтік қасиетті арқылы байланысыд ы, яғни кез – келеген а,в,с Z үшін ( а+в)с = ас+вс
4 – теорема. Z жынындағы азайту мен көбейту амалдары дистрибутивтік қасиеті арқылы байланысады яғни кез- келген а,в,с Z үшін ( а-в) с =ас-вс .
Оң бүтін сандарды кескіндейтін барлық нүкелер бастапқы нүктеретінде алынған 0 нүктесін оң жағына қарай орналасады. Және әрбір оң n санына координаталық түзудің тек бір ғана нүктесі сәйкес келеді. Осылайша, әрбір –n санына да координаталық түзудің берілген бағытқа қарама – қарсы бағытта орналасқан бір ғана нүктесі сәйкес келеді. Бүтін сандарды координаталық өстің нүктелерінмен кескіндеу арқылы “ артық” немесе “кем” қатынастары жайында көрнекі түсініктер алуға болады. Егер а саны координаталық түзу боында в санының сол жағында орналасса, онда а<в, егер а саны координаталық түзуде в – ның оң жағында орналасса, онда а> в .
Z жиынының дискреттік қасиетінің геометриялық кекіні Z жиынына сан өсінің барлық нүктелер жиынының сәйкес келмеуімен, тек координаталар бүтін сандар болатын нүктелер жиынының сәйкестендірлуімен түсіндіріледі.
Бөлшектердің тарихы шамаларды өлшеумен байланысты. Мәселен кесіндінің ұзындығын өлшеу барсында бөлшектің пайда болатындығын қарастырайық. Кесіндінің ұзындықтың қандайда бір эталоны (шарты, өлшеуіші) арқылы өлшеу барысында, ұзындығы бойынша эталонға тең болатын бірлік кесінді өлшенетін кесіндіге бүтін сан рет тізбектеле, осы сан өлшенетін кесіндінің ұзындығын өрнектейді делінеді.Егер кесінді ұзындығы неғұрлым дәл өлшеу қажет болса онда бірлік кесіндіні өзара тең болатын бірнеше бөлшекке бөледі де бірлік кесіндінің бір бөлігін ұзындық эталоны ретінде қолдана отырып, жоғарыдағыдай өлшеулер жүргізіледі.
Бөлшек ұғымы былай анықталады: айталық а кесіндісімен бірлік е кесіндісі берілсін және де е кесіндісі әрқайсысының ұзындығы е1 болатын n кесінділердің қосындысы болсын делік. Егер а кесіндісі әрқасысының ұзындығы е1 болатын m кесінділерден түзілген болса, онда оның ұзындығы түрінде өрнетеледі символы бөлшек деп атайды, мұндағы m мен n натурал сандар.
