І-бөлім. Алгебрадағы сандық әдістер 1 Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі Негізгі ұғымдар
жүктеу/скачать 0,75 Mb.
|
1-bolim
|
І-бөлім. Алгебрадағы сандық әдістер §1.1 Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі 1. Негізгі ұғымдар. Көптеген практикалық есептер сызықты теңдеулер жүйесін шешуге әкеледі. Есептеу математикасында ең маңызды және ең көп тараған есептердің бірі сызықтық теңдеулерді шешу болып табылады. белгісізі бар сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.1.1) Осы жүйенің коэффициенттерінің жиынтығын кесте түрінде қарастырайық: (1.1.2) қатар мен бағаннан тұратын элементі бар берілген кесте -ші ретті шаршы матрица деп аталады. Егер осындай матрицаның қатары мен бағаннан тұратын элементі бар болса, мұндай матрицаны тіктөртбұрышты матрица деп атайды. (1.1.1) – теңдеулер жүйесін матрицаның ұғымын пайдалана отырып, матрицалық түрде жазуға болады: (1.1.3) мұндағы – белгісіз вектор-баған және – оң жағының вектор-бағаны: , . Әр түрлі жағдайларда матрицалардың арнайы түрлері бар теңдеулер жүйелері болады. Төменде сондай матрицалардың кейбір мысалдары келтірілген: , , , , , . Мұндағы – симметриялық матрица (оның элементтері бас диагональға қарағанда симметриялы орналасқан ( )); – нөлге тең элементтері диагональдан төмен орналасқан ( жоғарғы үшбұрышты матрица); – клеткалы немесе торлы матрица (оның нольдік емес элементтері жеке топ (тор) құрайды); – ленталы матрица (оның нольдік емес элементтері диагональға параллель «лентаны» құрайды (мысалда үшдиагональды матрица көрсетілген); – бірлік матрица (диагональдік матрицаның дербес жағдайы); – нөлдік матрица. (1.1.4) саны -ші ретті матрицаның анықтауышы (детерминанты) деп аталады. Мұндағы – индекстері номерлерінің барлық мүмкін орын ауыстыруды қабылдайды; – берілген орын ауыстырудағы инверсия саны. сызықты теңделер жүйесінің шешімінің бар және жалғыз болуының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады. Жүйе анықтауышы 0 болған жағдайда матрица ерекшеленген матрица деп аталады және де (1.1.1) сызықты теңдеулер жүйесінің шешімдері болмайды немесе шексіз көп болады. Осы айтылған барлық жағдайларды геометриялық түрде келесі жүйе үшін көрсетуге болады: (1.1.5) Әр теңдеу жазықтықтағы түзуді өрнектейді; берілген түзулердің қиылысу нүктесі (1.1.5) жүйесінің шешімі болып табылады. Жазықтықта екі түзудің өзара орналасуының мүмкін болатын үш жағдайын қарастырайық: 1) (1.1.5) жүйесінің коэффициенттері пропорционал емес болса, яғни (1.1.6) онда түзулер қиылысады; (1.1.5) жүйесінің коэффициенттері келесі шарттарға бағынса: (1.1.7) онда түзулер параллель болады; (1.1.5) жүйесінің коэффициенттері пропорционал болса, яғни (1.1.8) онда түзулер беттеседі. (1.1.5) жүйесінің анықтауышын түрінде жазайық. (1.1.6) шарты орындалған жағдайда болады және (1.1.5) жүйесі жалғыз шешімге ие болады. Шешім болмаса немесе шексіз көп шешім болған жағдайда сәйкесінше (1.1.7) немесе (1.1.8) қатынастары орындалып, болады. Тәжірибеде, әсіресе ЭЕМ-де есептеу жүргізгенде, яғни жуықтау немесе төменгі разрядты сандарды ескермеген жағдайда әрқашан нөлге тең анықтауышты алу қолдан келе бермейді. болғанда түзулер шамамен параллель болып қалуы мүмкін (екі теңдеулі жүйе үшін); бұл түзулердің қиылысу нүктесінің координаттары жүйенің коэффициенттерінің өзгеруіне байланысты болады. Осылайша есептеудегі немесе бастапқы шарттардағы аздаған қателіктер шешімнің елеулі қателіктеріне әкелуі мүмкін. Мұндай теңдеулер жүйелерін нашар берілген деп аталады. шарты нашар берілген сызықты теңдеулер жүйесі үшін қажетті шарт болып табылады, бірақ жеткілікті емес. Мысалы, -ші ретті элементтері диагональды матрицасы бар теңдеулер жүйесінің анықтауышы өте аз болғанмен ( ), нашар берілген деп аталмайды. жағдайда, (1.1.1) жүйесінің қарапайым геометриялық кескінін келтіре алмасақ та, келтірілген тұжырымдар (1.1.1) жүйенің теңдеулерінің кез-келген саны үшін орындалады. жағдайында әр теңдеу кеңістіктегі жазықтықты береді және параллель жазықтықтар жағдайында үш теңдеуі бар нашар берілген жүйені аламыз. жүктеу/скачать 0,75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|