І-бөлім. Алгебрадағы сандық әдістер 1 Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі Негізгі ұғымдар
Біртіндеп жуықтау әдісі (Итерация әдісі)
жүктеу/скачать 0,75 Mb.
|
1-bolim
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысал.
- Тапсырмалар.
| 4. Біртіндеп жуықтау әдісі (Итерация әдісі). (1.1.1) сызықтық жүйесі берілсін. Диагональ коэффициенттері нөлге тең емес, яғни , деп алып, (1.1.1) жүйенің бірінші теңдеуін -ге қатысты, екінші теңдеуін -ге қатысты және т.с.с шешеміз.
Онда келесі түрде эквивалентті жүйе аламыз: (1.1.14) мұндағы, ; , , болсын. Онда (1.1.14) – жүйесін матрицалық түрде жазатын болсақ: . (1.1.15) (1.1.15) жүйені біртіндеп жуықтау әдісімен шешеміз. Нөльдік жуықтауы ретінде босмүшелер бағанын таңдап алып , біртіндеп жуықтауларды анықтаймыз. – бірінші жуықтау; – екінші жуықтау және т.с.с. Кез-келген –ші жуықтауды келесі формула арқылы табамыз : , (1.1.16) Егер жуықтаулар тізбегі шегі бар болса, онда осы шек (1.1.14) жүйенің шешімі болып табылады. Шын мәнінде, (1.1.16) теңдікте шекке көшсек, аламыз немесе , яғни, х шектік векторы (1.1.14) жүйенің шешімі болады, демек, (1.1.1)-дің де шешімі болады. Жуықтаулар формулаларын ашып жазайық: (1.1.16) формула бойынша анықталатын біртіндеп жуықтаулар әдісін итерация әдісі деп атайды. Итерация әдісі жақсы жинақталады, яғни, берілген дәлдікпен (1.1.1) жүйенің түбірлерін табуға қажетті жақындаулар саны көп емес болады. Итерация әдісі арқылы (1.1.1) жүйенің шешімін табу үшін итерациялық процестің жинақталу шарты орындалуы қажет, яғни (1.1.1) жүйенің әр теңдеуінің диагональдық коэффициенттерінің модульдері диагональдық емес коэффициенттер модульдерінің қосындысымен салыстырғанда үлкен болуы керек (босмүшелер ешқандай роль атқармайды), яғни келесі теңсіздік орындалса: , i=1,2,3,....,n. онда итерация әдісі жинақталады. Мысал. Жүйені итерация әдісімен шешу, ε=0,001: (1.1.17) Шешімі: Мұндағы жүйенің диагональдық коэффициенттері 4,3,4, қалған коэффициенттерден үлкен. Жүйені (1.1.14) түріне келтіреміз: (1.1.18) немесе матрицалық түрде келесідей болады. = + , (1.1.17) жүйенің түбірлерінің нольдік жуықтаулары ретінде бос мүшелерді аламыз, яғни . Осы мәндерді (1.1.18) теңдеуінің оң жақтарына апарып қойсақ, түбірлердің бірінші жуықтауларын анықтаймыз: Одан кейін, табылған жуықтауларды (1.1.18) формулаға апарып қойсақ, екінші жуықтауларды аламыз: Яғни, Жаңа есептеулерден кейін түбірлердің үшінші жуықтауларын аламыз: . Жуықтау процесін , , шарты орындалғанша дейін орындаймыз. Бұл шарты итерация процесінің аяқталу шарты деп аталады. (1.1.14) жүйесі үшін итерациялық процестің жинақталу шартын теорема түрінде келтірейік: Теорема. Егер келтірілген (1.1.14) жүйе үшін кем дегенде бір шарт орындалса: 1) , 2) , онда итерация процесі бастапқы жуықтаудан тәуелсіз осы жүйенің шешіміне жинақталады. Тапсырмалар. Алдын-ала итерация үшін қажетті қадамдар санын бағалап, итерация әдісімен теңдеулер жүйесін 0,001 дәлдікке дейін шешу. 1) 2) 3) 4) 5) жүктеу/скачать 0,75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|