Кездейсоқ шамалар жайында түсiнiк. Дискреттi кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңдары

Дискреттi кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары жəне олардың қасиеттерi

Кездейсоқ шаманы үлестiрiм заңы толық сипаттайтынын жоғарыдан бiлемiз. Бірақ кейде заңдылық толық берiлмегенде, басқа шамалар арқылы кездейсоқ шаманы зерттеуге болады. Соның бiрi - кездейсоқ шаманың орта мəнiн беретiн үмiтi.

Айталық, х кездейсоқ шаманың үлестiрiм таблицасы берiлсiн

Х	х1	х2	х3	…	хn
P	p1	p2	p3	…	pn

Анықтама. х -кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп

қосындыны айтамыз.

теңдiлiгiмен анықталады. Бұдан

болады. Онда ⁿ¹ _=w1 −_x1 мəнiнiң салыстырмалы жиiлiгi, ⁿ² _=w2 −_x2 мəнiнiң n n

салыстырмалы жиiлiгi, т.б., ^nk _=wk −_xk мəнiнiң салыстырмалы жиiлiгi

n

болады, яғни

болады.

W₁ ≈ P ,₁ W₂ ≈ P ,...,W₂ k ≈ P_k

Осыдан

x_орта = x p_{1 1} + x p_{2 2} + +... x p_{k k} немесе x_орта ≈М( x ) болады. Теорема дəлелдендi.

Осыған орай, математикалық үмiттi кейде кездейсоқ шаманың орта мəнi деп те атайды.

Мысал ретiнде биномиальдық заңның математикалық үмiтiн есептейiк.

n n n

k 0= k 1= k 1=

яғни M(x) = n p⋅ .

n

= np∑C_{n 1}p q n p

Математикалық үмiттiң мынадай қасиеттерi бар:

1. 
   Тұрақтының математикалық үмiтi өзiне тең, яғни M(C) = C (С - тұрақты сан).
   
2. 
   Тұрақты көбейткiштi математикалық үмiттiң таңбасының алдында көбейткiш ретiнде шығаруға болады, яғни M(Cx) = C M(x)⋅ .
   

= C M(x)⋅ .

3. 
   Қосындының математикалық үмiтi, математикалық үмiттердiң қосындысы тең, яғни M(x + y) = M(x)+ M(y) .
   
4. 
   Егер кездейсоқ шамалар тəуелсiз болса, онда көбейтiндiнiң математикалық үмiтi, көбейткiштердiң үмiттерiнiң көбейтiндiсiне тең, яғни
   

М(х)-тiң айырмасы квадратының математикалық үмiтi, яғни

D(x) = M(x − M(x))² .

Егер х кездейсоқ шама дискреттi үлестiрiм заңымен берiлсе, онда

n

D(x) = (x − M(x) ) P² ⋅ _i

Дисперсияның қасиеттерi:

1. 
   Дисперсияны мынандай формуламен анықтауға болады:
   

− 2M(x) M(x⋅ ) + M (x)² = M(x )² − M (x)²

2. 
   Тұрақтының дисперсиясы нольге тең, яғни D(C) = 0 , С - тұрақты сан.
   

3. 
   Тұрақты көбейткiштi дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады, яғни
   

4. 
   Егер кездейсоқ шамалар тəуелсiз болса, онда қосындының дисперсиясы, дисперсиялардың қосындысына тең, яғни
   

5. 
   Қандай да болмасын х үшiн дисперсияның мəнi терiс емес, яғни D(x) ≥ 0 . Шынында да, (2.5) қосылғыштардың бəрi терiс емес, осыдан қасиеттiң дəлелдеуi шығады.
   

Бас жиын жəне таңдама. Статистикалық жəне эмпирикалық үлестiрiмдер, полигон жəне гистограмма

Дүниеде болып жатқан кездейсоқ құбылыстарды зерттеу үшiн бақылаулардың нəтижелерi – статистикалық мəлiметтер қажет екенiн бiлемiз.

Сол статистикалық мəлiметтердi жинап, өңдеп, ғылыми анализ жасаумен шұғылданатын ғылымды математикалық статистика деп айтады. Айталық, берiлген объектiлерiнiң жиынының сапасын сан жағынан зерттеу керек болсын. Зерттеу үшiн объектiлердiң бəрiн немесе бiр бөлiгiн тексередi.

Егер объектiлер өте құнды жəне саны аз болса, онда барлығын тексеруге болады. Ал егер саны көп жəне зерттеуге үлкен шығын кететiн болса, онда оның бiр бөлiгiн зерттеумен тоқталады.

Кездейсоқ алынған объектiлердiң жиынын таңдама деп атайды. Ал сол таңдамалар жататын жиынды бас жиын деп атайды.Таңдаманың (бас жиынның) көлемi деп сол жиындағы объектiлердiң санын айтады.

Егер таңдама объектiсi, екiншi таңдама алынбай, қайтадан бас жиынға қосылатын болса, онда таңдаманы қайталанатын деп айтады.

Егер алынған таңдама бас жиынға қайтпайтын болса, онда оны қайталанбайтын таңдама деп айтады.

Практикада, көбiне қайталанбайтын таңдамалар қарастырылады. Əрине, таңдама алыну үшiн, əрбiр объектiң таңдамаға кiру ықтималдығы бiрдей болу керек, яғни таңдама репрезентантты болсын дейдi.

Таңдамалар, кездейсоқ, өзiне тəн заңдылығымен алынады.

Айталық, бас жиыннан бiр таңдама алынсын делiк. Бұл таңдамада x₁

xi	x1	x2	x3	…	xk 1−	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk 1−	nk

n^x F*(x) = n

Бұл жерде, n_x - х-тен кiшi варианталардың саны, ал -n таңдама көлемi.

Ықтималдық теориясындағы дифференциялық функция F(x) – ықтималдықты көрсетедi, ал F*(x) -тiң мəндерi салыстырмалы жиiлiктердi бередi. Бiрақ, екеуiнiң қасиеттерi бiрдей:

1. 
   Эмпирикалық функцияның мəндерi [0,1] аралығында жатады.
   
2. 
   F*(x) – кемiмейтiн функция.
   
3. 
   Егер x₁ –ең кiшi варианта болса, F*(x) = 0 (x ≤ x )₁ ал x_k – ең үлкен варианта болса, онда F*(x) =1 (x > x )_k .
   

Ал, (x ,w ),(x ,w ),...,(x ,w_{1 1 2 2 k k} ) нүктелердi кесiндiлерiмен қосатын қисық сызықты салыстырмалы жиiлiктiң полигоны деп атайды. Мысалы мына график

төртбұрыштардан құралған баспалдақ фигураны жиiлiктiң (салыстырмалы жиiлiктiң) гистограммасы деп атайды. Мысалы, мына графиктегi

5 10 15 20 25 30 x_i

тiкбұрышты төртбұрыштың құрамы – салыстырмалы жиiлiктiң гистограммасы.

Бас жиынның жəне таңдаманың сандық сипаттамалары

Алдымен, N көлемдi x ,x ,...,x_{1 2 n} варианталардан құралған бас жиынның сипаттамаларын анықтайық.

Бас жиынның ортасын x_б деп белгiлейдi жəне

N

∑x_k

N N

k

∑xmNm

N N

Таңдаманың n көлемдi ортасы N

∑x<sub>k

x</sub> T ₌ x1 + x2 +...+ xn ₌ k 1= . n n

Егер x ,x ,...,x_{1 2 k} таңдаманың мəндерiне сəйкесn ,n ,...,n_{1 2 k} жиiлiктерi берiлген болса

k

∑xmnm

n n

N көлемдi бас жиынның x ,x ,...,x_{1 2 N} элементтерi берiлген болса, онда

N – бас жиынның дисперсиясы дейдi.

Егер бас жиынның x ,x ,...,x_{1 2 k} элементтерiне сəйкес N , N ,...,N_{1 2 k} жиiлiктерi берiлген болса, онда

k

∑(xi − xб)2Ni

D_б = ^{i 1=}

N

болады.

n

∑(xi − xT ) 2

D_T = ^{i 1=} (10.2) n

таңдаманың дисперсиясы дейдi.

Ал, егер x ,x ,x ,...,x_{1 2 3 k} варианталарға сəйкес жиiлiктер: n ,n ,n ,...,n_{1 2 3 k} болса, онда

k

∑n xi ( i − xT )2

D_T = ^{i 1=} n

бұл жерде n = n₁ + n₂ + +... n_k .

Дисперсияны (бас жиынның немесе таңдаманың) санау үшiн мына формулалар өте қолайлы:

D = x2 −[x]² (10.3)

бұл жерде

∑n xi i 2 ∑n xi i²

_x = _{, x =} n n

Кездейсоқ жиындардың тағы бiр сипаттамасын анықтайық. Ол орта квадраттың ауытқуы.

σδ = : σТ =

Бұл жерде σ_δ - бас жиынның, ал σ_Т - таңдаманың орта квадраттық ауытқуы. Практикалық есептердi шығаруға керек болатын екi анықтаманы берейiк.

Бас жиыннан алынған n көлемдi

x ,x ,...,x_{1 2 n} (11.1)

таңдамасын қарастыралық. Анықтама бойынша, (11.1) таңдамасына қатынасатын x (i_i =1,2,...n) - кездейсоқ шамалар. Бұл кездейсоқ шамалар тəуелсiз жəне олардың үлестiрiмi бiрдей, яғни тең үлестiрiмдi. Атап айтқанда, х-тiң əрқайсысының үлестiрiмi бас жиынға сай келетiн х кездейсоқ шамасының үлестiрiмiне тең болады.

Бас жиынның θ сипаттамасына баға деп таңдама мүшелерiнен жасалған θ = θ* (x ,x ,...x_{1 2 n} ) функциясын айтады.

θ* бағасы (11.1) таңдамасы бойынша құрылғандықтан, таңдама көлемiне байланысты болады. Сондықтан, θ* параметрiнiң бағасы θ^*_n деп белгiлеймiз.

Бас жиынның θ параметрi үшiн нүктелiк деп аталатын бағалаудың мақсаты – бағалардың iшiндегi ең тəуiр θ* бағасын сайлап алу.

Анықтама. Егер бағаның математикалық үмiтi бағалайтын параметрге тең болса, яғни, M( *)θ = θ теңдiгi орындалса, онда бағаны ығыспайтын деп атайды.

Анықтама. θ параметрiнiң θ* бағасы үшiн кез келген оң саны ε берiлгенде

lim P(θ^*_n − θ < ε =) 1 n→∞

теңдiгi орындалса, онда θ* бағасын θ параметрiнiң тыңғылықты бағасы деп атайды.

1 n

ығыспайтын жəне тыңғылықты баға болады, яғни 1) M(x_T ) = a

Осындай бағалауды таңдаманың дисперсиясына да қолданатын болсақ,

М[D_T ]≠ D_б екенiн көремiз, яғни таңдаманың дисперсиясы D_T бас жиынның дисперсиясы D_б үшiн ығыспайтын баға болмайды. Бұл жағдайда мынадай формула қолданған қолайлы:

S2 = n −1Dб.

n

Сипаттама S² - ты "түзетiлген" дисперсия деп атайды.

S2 = 1 n (x − x)2 n −1∑ i

i 1=

ығыспайтын жəне тыңғылықты баға болады.

Моменттер жəне таңдамалық моменттер. Кездейсоқ шаманың параметрлерiн бағалайтын моменттер əдiсi

Бiзге x-кездейсоқ шамасы берiлсiн жəне M(x) деп оның математикалық үмiтi белгiленген.

Анықтама. M(x )ⁿ шамасын n -шi реттi момент деп, ал M(x − M(x))ⁿ шамасын -n шi реттi центрлiк момент деп атайды.

Мəселен 1 реттi момент – математикалық үмiт, 2-шi реттi центрлiк момент - дисперсия болады. Моменттердi былай белгiлейдi

m_n = M(x ),ⁿ μ_n = M(x − M(x))ⁿ (13.1)

Моменттер арқылы кездейсоқ шаманың түрлi сипаттамалары анықталады.

Анықтама. x кездейсоқ шаманың ассиметрия коэффициентi

as = μ33 σ

теңдiгiмен анықталады. Бұл жерде σ -x тың орта квадраттың ауытқуы. Анықтама. x кездейсоқ шаманың эксцессi деп

μ4

Es = 4 − 3 σ

теңдiгiмен анықталған шаманы айтады.

Эмпирикалық немесе таңдаманың моменттерi де (13.1) формулалар сияқты анықталады:

m S n x ;_i ik S n (x_i i − xT )k

Бұл жерде, m^*_k k - реттi бастапқы эмпирикалық момент, ал μ^*_k k - реттi центрлiк эмпирикалық момент белгiленген.

Ендi m ,_k μ_k моменттердi (параметрлердi) бағалайтын моменттер əдiсiн келтiрейiк.

Егер бас жиынның параметрлерi θ₁,θ₂,...θ_S болса, онда теориялық моменттер мына формуламен анықталады

α_m (θ₁,θ₂,...θ_S) = M(x^m ) (m =1,2,...s)

Таңдауларды бақылау арқылы, таңдаманың моменттерiн табамыз

α*_m = ^{1 n} x_im m =1,2,...,s .

Ендi бір-бiрiн теңестiру арқылы мынадай жүйеге келемiз

α_m (θ₁,θ₂,...θ_S) = α^*_m (m =1,2,...s)

Осы жүйенi θ₁,θ₂,...θ_S белгiсiздер арқылы шығарып, ^~θ₁,^~θ₂,...^~θ_S -тең болатын параметрлердiң бағаларын табамыз.

Статистикалық болжамдарды тексеру. Пирсонның χ² -квадрат критерийi

Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестiрiмiнiң түрi немесе үлестiрiм параметрлерi туралы алдын ала жасалатын болжамды айтады.

Статистикалық болжам таңдаманың көмегiмен тексерiледi.

Алдымен нөлдiк болжам деп аталатын тексерiлуге тиiс H₀ болжамы қарастырылады. Бұл болжамға қарсы болжамды альтернативтi деп атап H₁ əрпiмен белгiлейдi. Мысалы үлестiрiмнiң белгiсiз параметрi θ тұралы нөлдiк болжам H₀ :θ = θ₀ болса, онда H :₁ θ ≠ θ₀ болады.

Статистикалық болжамды тексеру барысында екi түрлi қате жiберiлуi мүмкiн.

Бiрiншi тектi қате - H₀ болжамы жоққа шығарылып, H₁ болжамы қабылданады, бірақ негiзiнде H₀ дұрыс.

Екiншi тектi қате – H₀ болжамын қабылдаймыз, бірақ негiзiнде H₁ болжамы дұрыс.

Бiрiншi тектi қате жiберу ықтималдығын маңыздылық деңгейi деймiз де, α əрпiмен белгiлеймiз.

Болжамды тексерудiң жалпы схемасы:

1. 
   Үлестiрiмi белгiлi статистикалық критерий деп аталатын F кездейсоқ шамасы енгiзiледi. Бұл шаманың əр түрлi еркiндiк дəрежелерi болып, ал үлестiрiмi: қалыпты, χ-квадрат, Стьюдент Фишер-Снедекор үлестiрiмдерiмен берiлуi мүмкiн.
   
2. 
   Таңдамалық (эмпирикалық) белгiлi деректерге сүйене отырып, критерийдiң бақыланатын мəнi F_бак анықталады.
   
3. 
   Берiлген α маңыздылық деңгейiнде F үлестiрiмiнiң сын нүктелерi кестесi арқылы, критерийдiң сындық мəнi - F_сын анықталады.
   
4. 
   Егер F_бак < F_сын болса, онда Н₀ болжамын жоққа шығаруға негiз жоқ, ал егер F_бак > F_сынболса, онда Н₀ болжамы қабылданбайды.
   

Егер үлестiрiм заңы белгiсiз болса, онда "бас жиын А заңы бойынша үлестiрiлген", - деген нөлдiк болжам келiсiмдiк критерийлерi арқылы тексерiледi. Олардың бiрнеше түрi бар: Пирсон, Колмогоров, Смирнов критерийлерi, т.т.

Н₀ : "бас жиын қалыпты үлестiрiммен" берiлген деген болжамды тексеру үшiн Пирсонның келiсiмдiк χ² критерийi қолданылады.

Теориялық жəне эмпирикалық жиiлiктердiң бiр-бiрiнен ауытқуы кездейсоқ па, бақылаулар саны аз ба, əлде "бас жиын қалыпты үлестiрiммен берiлген" деген нөлдiк болжам дұрыс емес пе? Осы сұрақтарға Пирсон критерийi жауап бередi. Оның тексеру схемасы:

1. 
   Статистикалық критерий ретiнде мына кездейсоқ шамасын аламыз:
   

Бұл шама – еркiндiк дəрежесi k = s −1− 2 болатын, χ-квадрат үлестiрiммен таралған кездейсоқ шама. Мұнда s - таңдамадағы топтар саны, r -үлестiрiм параметрлерiнiң саны.

2. 
   Берiлген деректерге сүйене отырып, критерийдiң бақыланатын мəнiн анықтаймыз
   

χ =бак2 ∑m (ni − 0ni0 )2

i 1= ni

3. 
   Берiлген α маңыздылық деңгейiнде, χ-квадрат үлестiрiмнiң сын нүктелерi кестесi арқылы χ_сын² (α;k) критерийдiң сындық мəнiн табамыз.
   
4. 
   Егер χ_бак² < χ_сын² (α,k) - нөлдiк болжамды жоққа шығаруға негiз жоқ, ал егер χ_бак² > χ_сын² (α,k) - нөлдiк болжам қабылданады.
   

жүктеу/скачать 99,56 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: