Ii – тарау Ықтималдықтар теориясы


Кездейсоқ шамалар жайында түсiнiк. Дискреттi кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңдары



бет7/7
Дата14.05.2020
өлшемі99.56 Kb.
түріРеферат
1   2   3   4   5   6   7

Кездейсоқ шамалар жайында түсiнiк. Дискреттi кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңдары




Анықтама. Мүмкiн болатын мəндерден тəжiрибе нəтижесiне байланысты бiр мəндi қабылдайтын айнымалыны кездейсоқ шама деп атайды.

Яғни, кездейсоқ шама сан мəндерiн қабылдайды, бірақ дəл қандай мəн қабылдайтынын алдын ала айта алмаймыз. Кездейсоқ шамаларды X,Y,Z жəне басқа да бас əрiптермен, ал олардың қабылдайтын мəндерiн x,y,z жəне басқа да кiшi əрiптермен белгiлеймiз.

Қабылдайтын мəндер жиынына орай кездейсоқ шамаларды екi топқа бөледi: дискреттiк жəне үзiлiссiз. Егер кездейсоқ шамалардың мəнiн тiзбек түрiнде жазуға болса, онда оны дискреттiк деп, ал мəндерi белгiлi бiр аралықта жатса, онда оны үзiлiссiз деп атайды.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың мəндерi мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сəйкестiктi дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы немесе функциясы деп атайды. Бұл сəйкестiк таблица, график жəне аналитикалық түрiнде берiлуi мүмкiн.

Таблица түрiнде функция








х1

х2

х3



хn




p1

p2

p3



pn

немесе үлестiрiм заңы осылай берiледi. Бұл жерде, бiрiншi жолда кездейсоқ шама x-тың мəндерi, екiншi жолда сол мəндердiң қандай ықтималдықтармен қабылданатыны жазылған.

Кездейсоқ шама Х-тың мəндерi толық жүйе жасайтын болғандықтан,

P1 + P2 + ...+ Pn =1 (Pi ≥ 0, i =1,2,...n).

Үлестiрiм заңның мысалы ретiнде биномиальдық заңдылықты келтiрейiк. Бұл заңда, ықтималдықтарды Бернулли формуласымен есептейдi жəне мына түрде:



Х

n

n −1

n − 2



k



0

Р

Pn

npn 1− q

Cnn 2− pn 2− q2



C p qkn k n k−



qn

кестесi жазылады.


Дискреттi кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары жəне олардың қасиеттерi


Кездейсоқ шаманы үлестiрiм заңы толық сипаттайтынын жоғарыдан бiлемiз. Бірақ кейде заңдылық толық берiлмегенде, басқа шамалар арқылы кездейсоқ шаманы зерттеуге болады. Соның бiрi - кездейсоқ шаманың орта мəнiн беретiн үмiтi.

Айталық, х кездейсоқ шаманың үлестiрiм таблицасы берiлсiн



Х

х1

х2

х3



хn

P

p1

p2

p3



pn

Анықтама. х -кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп



М( )x = x p1 1 + x p2 2 + ...+ x pn n = ∑n x pi i (5.1)

i

қосындыны айтамыз.



Теорема. Математикалық үмiт х кездесоқ шамасының қабылдайтын мəндерiнiң, жуықтап алғанда, орта мəнiне тең болады.

Дəлелдеу. Х шамасы х1 мəнiн n1 рет, x2 мəнiн n2 рет,…, xk мəнiн nk рет қабылдайтын болсын, мұнда n1 + n2 +...+ nk = n . Демек, x-тiң орта мəнi

x n1 1 + x n2 2 + ... + x nn n xорта = n

теңдiлiгiмен анықталады. Бұдан



n1 n2 nk

xорта = x1 + x2 + +... xk n n n

болады. Онда n1 =w1 x1 мəнiнiң салыстырмалы жиiлiгi, n2 =w2 x2 мəнiнiң n n

салыстырмалы жиiлiгi, т.б., nk =wk xk мəнiнiң салыстырмалы жиiлiгi

n

болады, яғни



xорта = x w1 1 + x w2 2 + ...+ x wk k

болады.


Егер тəжiрибелердiң саны өте көп болса, онда салыстырмалы жиiлiк жуық шамамен ықтималдыққа тең болатынын бiлемiз, сондықтан

W1 ≈ P ,1 W2 ≈ P ,...,W2 k ≈ Pk

Осыдан

xорта = x p1 1 + x p2 2 + +... x pk k немесе xорта М( x ) болады. Теорема дəлелдендi.

Осыған орай, математикалық үмiттi кейде кездейсоқ шаманың орта мəнi деп те атайды.

Мысал ретiнде биномиальдық заңның математикалық үмiтiн есептейiк.

n n n


M(x) = ∑kC p qk k n kn − = ∑ k!(nk n!⋅− k)!pk ⋅qn k− =∑(k −1)!(n!n − k)!pk ⋅qn k− =

k 0= k 1= k 1=

яғни M(x) = n p⋅ .

n

= np∑Cn 1p q n p



k 1=

Математикалық үмiттiң мынадай қасиеттерi бар:



  1. Тұрақтының математикалық үмiтi өзiне тең, яғни M(C) = C (С - тұрақты сан).

  2. Тұрақты көбейткiштi математикалық үмiттiң таңбасының алдында көбейткiш ретiнде шығаруға болады, яғни M(Cx) = C M(x)⋅ .

Шынында, да M(Cx) = Cx p1 1 + Cx p2 2 + ...+ Cx pn n = C(x p1 1 + x p2 2 +...+ Cx p )n n =

= C M(x)⋅ .



  1. Қосындының математикалық үмiтi, математикалық үмiттердiң қосындысы тең, яғни M(x + y) = M(x)+ M(y) .

  2. Егер кездейсоқ шамалар тəуелсiз болса, онда көбейтiндiнiң математикалық үмiтi, көбейткiштердiң үмiттерiнiң көбейтiндiсiне тең, яғни

M(xy) = M(x) M(y)⋅ .

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы дегенiмiз, х пен

М(х)-тiң айырмасы квадратының математикалық үмiтi, яғни

D(x) = M(x − M(x))2 .

Егер х кездейсоқ шама дискреттi үлестiрiм заңымен берiлсе, онда

n

D(x) = (x − M(x) ) P2 i



формуласымен анықталады.

Дисперсияның қасиеттерi:



  1. Дисперсияны мынандай формуламен анықтауға болады:

D(x) = M(x )2 − M (x)2 . (1.6)

Дəлелдеу. D(x) = M(x − M(x))2 = M[x2 − 2xM(x) + M (x)]2 = M(x )2

− 2M(x) M(x⋅ ) + M (x)2 = M(x )2 − M (x)2



  1. Тұрақтының дисперсиясы нольге тең, яғни D(C) = 0 , С - тұрақты сан.

Шынында да, D(C) = M(C )2 − M (C)2 = C2 − C2 = 0 .

  1. Тұрақты көбейткiштi дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады, яғни

D(Cx) = M(Cx)2 − M (Cx)2 = C [M(x )2 2 − M (x)]2 = C2 ⋅D(x).

  1. Егер кездейсоқ шамалар тəуелсiз болса, онда қосындының дисперсиясы, дисперсиялардың қосындысына тең, яғни

D(x + y) = D(x) + D(y) .

  1. Қандай да болмасын х үшiн дисперсияның мəнi терiс емес, яғни D(x) ≥ 0 . Шынында да, (2.5) қосылғыштардың бəрi терiс емес, осыдан қасиеттiң дəлелдеуi шығады.

Келесi айтатынымыз, кездейсоқ шаманың тағы бiр сандық сипаттамасы – орта квадраттық ауытқуы σ . Бұл сипаттама мына формуламен анықталады σ(x) = D(x) .



Бас жиын жəне таңдама. Статистикалық жəне эмпирикалық үлестiрiмдер, полигон жəне гистограмма


Дүниеде болып жатқан кездейсоқ құбылыстарды зерттеу үшiн бақылаулардың нəтижелерi – статистикалық мəлiметтер қажет екенiн бiлемiз.

Сол статистикалық мəлiметтердi жинап, өңдеп, ғылыми анализ жасаумен шұғылданатын ғылымды математикалық статистика деп айтады. Айталық, берiлген объектiлерiнiң жиынының сапасын сан жағынан зерттеу керек болсын. Зерттеу үшiн объектiлердiң бəрiн немесе бiр бөлiгiн тексередi.

Егер объектiлер өте құнды жəне саны аз болса, онда барлығын тексеруге болады. Ал егер саны көп жəне зерттеуге үлкен шығын кететiн болса, онда оның бiр бөлiгiн зерттеумен тоқталады.

Кездейсоқ алынған объектiлердiң жиынын таңдама деп атайды. Ал сол таңдамалар жататын жиынды бас жиын деп атайды.Таңдаманың (бас жиынның) көлемi деп сол жиындағы объектiлердiң санын айтады.

Егер таңдама объектiсi, екiншi таңдама алынбай, қайтадан бас жиынға қосылатын болса, онда таңдаманы қайталанатын деп айтады.

Егер алынған таңдама бас жиынға қайтпайтын болса, онда оны қайталанбайтын таңдама деп айтады.

Практикада, көбiне қайталанбайтын таңдамалар қарастырылады. Əрине, таңдама алыну үшiн, əрбiр объектiң таңдамаға кiру ықтималдығы бiрдей болу керек, яғни таңдама репрезентантты болсын дейдi.

Таңдамалар, кездейсоқ, өзiне тəн заңдылығымен алынады.

Айталық, бас жиыннан бiр таңдама алынсын делiк. Бұл таңдамада x1



k объектiсi n1 рет, x2 -n2 рет, т.б. xk -nk рет байқалған болсын жəне n n – таңдаманың көлемi болсын. Сонда, x (ii =1,2,...,N) -лердi варианталар, ал олардың өспелi түрде жазған тiзбегiн – вариациялық қатар деп атайды. Байқалған ni сандарды жиiлiк, ал ni – салыстырмалы жиiлiк деп атайды. n

Анықтама. Варианталардың өзiн жəне оларға сəйкес жиiлiктердi немесе салыстырмалы жиiлiктердi көрсететiн кестенi статистикалық үлестiрiм деп атайды. Мысалы, мына кесте



xi

x1

x2

x3



xk 1

xk

ni

n1

n2

n3



nk 1

nk

варианталармен оның жиiлiктерiнiң сəйкестiгiн көрсетедi, яғни статистикалық үлестiрiм болады.

Анықтама. X < x оқиғаның салыстырмалы жиiлiгiн эмпирикалық үлестiрiм функциясы деп айтады жəне F*(x) деп белгiлейдi. Анықтама бойынша

nx F*(x) = n

Бұл жерде, nx - х-тен кiшi варианталардың саны, ал -n таңдама көлемi.

Ықтималдық теориясындағы дифференциялық функция F(x) – ықтималдықты көрсетедi, ал F*(x) -тiң мəндерi салыстырмалы жиiлiктердi бередi. Бiрақ, екеуiнiң қасиеттерi бiрдей:



  1. Эмпирикалық функцияның мəндерi [0,1] аралығында жатады.

  2. F*(x) – кемiмейтiн функция.

  3. Егер x1 –ең кiшi варианта болса, F*(x) = 0 (x ≤ x )1 ал xk – ең үлкен варианта болса, онда F*(x) =1 (x > x )k .

Көрнектi болу үшiн, практикалық есептерде полигон жəне гистограмма дейтiн статистикалық үлестiрiмнiң график түрiнде берiлетiн ұғымдарды қарастырады.

Анықтама. Мына (x ,n ),(x ,n ),...,(x ,n1 1 2 2 k k ) нүктелерiн кесiндiлерiмен қосатын сынық қисық сызықты жиiлiктiң полигоны деп атайды.

Ал, (x ,w ),(x ,w ),...,(x ,w1 1 2 2 k k ) нүктелердi кесiндiлерiмен қосатын қисық сызықты салыстырмалы жиiлiктiң полигоны деп атайды. Мысалы мына график





салыстырмалы жиiлiктiң полигонын көрсетедi. Анықтама. Табанының ұзындығы h , биiктiгi ni Wi тең тiк бұрышты h ⎝ h ⎠

төртбұрыштардан құралған баспалдақ фигураны жиiлiктiң (салыстырмалы жиiлiктiң) гистограммасы деп атайды. Мысалы, мына графиктегi



5 10 15 20 25 30 xi

тiкбұрышты төртбұрыштың құрамы – салыстырмалы жиiлiктiң гистограммасы.

Бас жиынның жəне таңдаманың сандық сипаттамалары

Алдымен, N көлемдi x ,x ,...,x1 2 n варианталардан құралған бас жиынның сипаттамаларын анықтайық.

Бас жиынның ортасын xб деп белгiлейдi жəне

N

∑xk



xб = x1 + x2 +...+ xn = k 1=

N N


Егер x ,x ,...,x1 2 k -ларға сəйкес N ,N ,..., N1 2 k жиiлiктерi берiлген болса, онда

k

∑xmNm



xб = x N1 1 + x N2 2 + ...+ x Nk k = m 1=

N N


бұл жерде N = N1 + N2 +...+ Nm .

Таңдаманың n көлемдi ортасы N

∑xk

x T = x1 + x2 +...+ xn = k 1= . n n

Егер x ,x ,...,x1 2 k таңдаманың мəндерiне сəйкесn ,n ,...,n1 2 k жиiлiктерi берiлген болса

k

∑xmnm


x T = x n1 1 + x n2 2 + ...+ x nk k = m 1=

n n


бұл жерде n = n1 + n2 +...+ nK .

N көлемдi бас жиынның x ,x ,...,x1 2 N элементтерi берiлген болса, онда



N

Dб (10.1)

N – бас жиынның дисперсиясы дейдi.

Егер бас жиынның x ,x ,...,x1 2 k элементтерiне сəйкес N , N ,...,N1 2 k жиiлiктерi берiлген болса, онда

k

∑(xi − xб)2Ni

Dб = i 1=

N

болады.



Егер x ,x ,...,x1 2 n − n көлемдi таңдама болса, онда

n

∑(xi − xT ) 2

DT = i 1= (10.2) n

таңдаманың дисперсиясы дейдi.

Ал, егер x ,x ,x ,...,x1 2 3 k варианталарға сəйкес жиiлiктер: n ,n ,n ,...,n1 2 3 k болса, онда

k

∑n xi ( i − xT )2

DT = i 1= n

бұл жерде n = n1 + n2 + +... nk .

Дисперсияны (бас жиынның немесе таңдаманың) санау үшiн мына формулалар өте қолайлы:

D = x2 −[x]2 (10.3)

бұл жерде

n xi i 2 ∑n xi i2

x = , x = n n

Кездейсоқ жиындардың тағы бiр сипаттамасын анықтайық. Ол орта квадраттың ауытқуы.

σδ = : σТ =

Бұл жерде σδ - бас жиынның, ал σТ - таңдаманың орта квадраттық ауытқуы. Практикалық есептердi шығаруға керек болатын екi анықтаманы берейiк.



Мода деп варианталардың iшiнде ең жиi кездесетiн мəндi айтады.

Медиана деп вариациялық қатардағы мəндердiң дəл ортасы болатын вариантаны айтады.

Бас жиынның сипаттамаларын нүктелiк бағалау

Бас жиыннан алынған n көлемдi

x ,x ,...,x1 2 n (11.1)

таңдамасын қарастыралық. Анықтама бойынша, (11.1) таңдамасына қатынасатын x (ii =1,2,...n) - кездейсоқ шамалар. Бұл кездейсоқ шамалар тəуелсiз жəне олардың үлестiрiмi бiрдей, яғни тең үлестiрiмдi. Атап айтқанда, х-тiң əрқайсысының үлестiрiмi бас жиынға сай келетiн х кездейсоқ шамасының үлестiрiмiне тең болады.

Бас жиынның θ сипаттамасына баға деп таңдама мүшелерiнен жасалған θ = θ* (x ,x ,...x1 2 n ) функциясын айтады.

θ* бағасы (11.1) таңдамасы бойынша құрылғандықтан, таңдама көлемiне байланысты болады. Сондықтан, θ* параметрiнiң бағасы θ*n деп белгiлеймiз.

Бас жиынның θ параметрi үшiн нүктелiк деп аталатын бағалаудың мақсаты – бағалардың iшiндегi ең тəуiр θ* бағасын сайлап алу.

Анықтама. Егер бағаның математикалық үмiтi бағалайтын параметрге тең болса, яғни, M( *)θ = θ теңдiгi орындалса, онда бағаны ығыспайтын деп атайды.

Анықтама. θ параметрiнiң θ* бағасы үшiн кез келген оң саны ε берiлгенде

lim P(θ*n − θ < ε =) 1 n→∞

теңдiгi орындалса, онда θ* бағасын θ параметрiнiң тыңғылықты бағасы деп атайды.



Теорема. х кездейсоқ шаманың a математикалық үмiтi үшiн таңдама ортасы

1 n


xT xi

ығыспайтын жəне тыңғылықты баға болады, яғни 1) M(xT ) = a



2) lim P( xT − a < ε =) 1 (ε > 0) n→∞

Осындай бағалауды таңдаманың дисперсиясына да қолданатын болсақ,

М[DT ]≠ Dб екенiн көремiз, яғни таңдаманың дисперсиясы DT бас жиынның дисперсиясы Dб үшiн ығыспайтын баға болмайды. Бұл жағдайда мынадай формула қолданған қолайлы:

S2 = n −1Dб.

n

Сипаттама S2 - ты "түзетiлген" дисперсия деп атайды.



Теорема. х кездейсоқ шамасының σ2 = Dб дисперсиясы үшiн "түзетiлген" дисперсия

S2 = 1 n (x − x)2 n −1∑ i

i 1=

ығыспайтын жəне тыңғылықты баға болады.



Сонымен, баға ең тəуiр болу үшiн, ол ығыспайтын, тыңғылықты жəне эффектiлi болу керек.


Моменттер жəне таңдамалық моменттер. Кездейсоқ шаманың параметрлерiн бағалайтын моменттер əдiсi


Бiзге x-кездейсоқ шамасы берiлсiн жəне M(x) деп оның математикалық үмiтi белгiленген.



Анықтама. M(x )n шамасын n -шi реттi момент деп, ал M(x − M(x))n шамасын -n шi реттi центрлiк момент деп атайды.

Мəселен 1 реттi момент – математикалық үмiт, 2-шi реттi центрлiк момент - дисперсия болады. Моменттердi былай белгiлейдi

mn = M(x ),n μn = M(x − M(x))n (13.1)

Моменттер арқылы кездейсоқ шаманың түрлi сипаттамалары анықталады.



Анықтама. x кездейсоқ шаманың ассиметрия коэффициентi

as = μ33 σ

теңдiгiмен анықталады. Бұл жерде σ -x тың орта квадраттың ауытқуы. Анықтама. x кездейсоқ шаманың эксцессi деп

μ4

Es = 4 − 3 σ

теңдiгiмен анықталған шаманы айтады.



Эмпирикалық немесе таңдаманың моменттерi де (13.1) формулалар сияқты анықталады:

m S n x ;i ik S n (xi i − xT )k

Бұл жерде, m*k k - реттi бастапқы эмпирикалық момент, ал μ*k k - реттi центрлiк эмпирикалық момент белгiленген.

Ендi m ,k μk моменттердi (параметрлердi) бағалайтын моменттер əдiсiн келтiрейiк.

Егер бас жиынның параметрлерi θ12,...θS болса, онда теориялық моменттер мына формуламен анықталады

αm 12,...θS) = M(xm ) (m =1,2,...s)

Таңдауларды бақылау арқылы, таңдаманың моменттерiн табамыз

α*m = 1 n xim m =1,2,...,s .

Ендi бір-бiрiн теңестiру арқылы мынадай жүйеге келемiз

αm 12,...θS) = α*m (m =1,2,...s)

Осы жүйенi θ12,...θS белгiсiздер арқылы шығарып, ~θ1,~θ2,...~θS -тең болатын параметрлердiң бағаларын табамыз.



Статистикалық болжамдарды тексеру. Пирсонның χ2 -квадрат критерийi

Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестiрiмiнiң түрi немесе үлестiрiм параметрлерi туралы алдын ала жасалатын болжамды айтады.

Статистикалық болжам таңдаманың көмегiмен тексерiледi.

Алдымен нөлдiк болжам деп аталатын тексерiлуге тиiс H0 болжамы қарастырылады. Бұл болжамға қарсы болжамды альтернативтi деп атап H1 əрпiмен белгiлейдi. Мысалы үлестiрiмнiң белгiсiз параметрi θ тұралы нөлдiк болжам H0 :θ = θ0 болса, онда H :1 θ ≠ θ0 болады.

Статистикалық болжамды тексеру барысында екi түрлi қате жiберiлуi мүмкiн.

Бiрiншi тектi қате - H0 болжамы жоққа шығарылып, H1 болжамы қабылданады, бірақ негiзiнде H0 дұрыс.

Екiншi тектi қате – H0 болжамын қабылдаймыз, бірақ негiзiнде H1 болжамы дұрыс.

Бiрiншi тектi қате жiберу ықтималдығын маңыздылық деңгейi деймiз де, α əрпiмен белгiлеймiз.

Болжамды тексерудiң жалпы схемасы:


  1. Үлестiрiмi белгiлi статистикалық критерий деп аталатын F кездейсоқ шамасы енгiзiледi. Бұл шаманың əр түрлi еркiндiк дəрежелерi болып, ал үлестiрiмi: қалыпты, χ-квадрат, Стьюдент Фишер-Снедекор үлестiрiмдерiмен берiлуi мүмкiн.

  2. Таңдамалық (эмпирикалық) белгiлi деректерге сүйене отырып, критерийдiң бақыланатын мəнi Fбак анықталады.

  3. Берiлген α маңыздылық деңгейiнде F үлестiрiмiнiң сын нүктелерi кестесi арқылы, критерийдiң сындық мəнi - Fсын анықталады.

  4. Егер Fбак < Fсын болса, онда Н0 болжамын жоққа шығаруға негiз жоқ, ал егер Fбак > Fсынболса, онда Н0 болжамы қабылданбайды.

Егер үлестiрiм заңы белгiсiз болса, онда "бас жиын А заңы бойынша үлестiрiлген", - деген нөлдiк болжам келiсiмдiк критерийлерi арқылы тексерiледi. Олардың бiрнеше түрi бар: Пирсон, Колмогоров, Смирнов критерийлерi, т.т.

Н0 : "бас жиын қалыпты үлестiрiммен" берiлген деген болжамды тексеру үшiн Пирсонның келiсiмдiк χ2 критерийi қолданылады.



Теориялық жəне эмпирикалық жиiлiктердiң бiр-бiрiнен ауытқуы кездейсоқ па, бақылаулар саны аз ба, əлде "бас жиын қалыпты үлестiрiммен берiлген" деген нөлдiк болжам дұрыс емес пе? Осы сұрақтарға Пирсон критерийi жауап бередi. Оның тексеру схемасы:

  1. Статистикалық критерий ретiнде мына кездейсоқ шамасын аламыз:

Бұл шама – еркiндiк дəрежесi k = s −1− 2 болатын, χ-квадрат үлестiрiммен таралған кездейсоқ шама. Мұнда s - таңдамадағы топтар саны, r -үлестiрiм параметрлерiнiң саны.



  1. Берiлген деректерге сүйене отырып, критерийдiң бақыланатын мəнiн анықтаймыз

χ =бак2 ∑m (ni − 0ni0 )2

i 1= ni


  1. Берiлген α маңыздылық деңгейiнде, χ-квадрат үлестiрiмнiң сын нүктелерi кестесi арқылы χсын2 (α;k) критерийдiң сындық мəнiн табамыз.

  2. Егер χбак2 < χсын2 (α,k) - нөлдiк болжамды жоққа шығаруға негiз жоқ, ал егер χбак2 > χсын2 (α,k) - нөлдiк болжам қабылданады.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет