Жұмыс бағдарламасы «Математикалық логика және дискретті математика»

Бұл векторлар жиыны аргументтер жиыны болуы да мүмкін, мәндер жиыны болуы да мүмкін. Сондықтан функциялардың жаңа 3 түрі пайда болады.

1. - скаляр аргументті вектор-функциялар.

2. - вектор аргументті скаляр функциялар.

3. - вектор аргументті вектор-функциялар.

Бұл жағдайлардың әрқайсысында аргумент ретінде бір сан (бір вектор) емес, сандардың (немесе векторлардың) реттелген бумасы болуы мүмкін.

2-ші және 3-ші типтес функциялар келесі тарауда зерттеледі. Әзірше скаляр аргументті вектор-функцияларға назар аударайық. Бұл функцияларды геометриялық тұрғыдан зерттеу келбет ұғымына сүйенеді.

Бір немесе екі аргументті вектор-функциясының барлық мәндері болып келетін радиус-векторлар ұштарының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп аталады.

(1)

түрінде өрнектелсе, онда

(2)

Демек бір вектор фукцияның берілуі үш скаляр x,y,z функцияларының берілуіне мәндес. Бір скаляр аргумент жағдайында

(3)

t параметрінен құтылып (ол тек болуында мүмкін)

(4)

қатынастарын аламыз.

Мұнан бір аргументті вектор-функция годографы қисық (екі беттің қиылысу сызығы) болатыны шығады.

Екі аргумент үшін

(5)

айнымалыларынан құтылу.

(Ол (6) матрицасының рангі екіге тең болуында ғана мүмкін), екі аргументті вектор-функция келбетінің бет екенін көрсетеді, өйткені (5)

түрінде келеді.

Анализдің негізгі ұғымдарын скаляр аргументті вектор-функцияларға тарату қиын емес.

Ең алдымен айнымалы векторларының шегі деп

(8)

теңдігін қанағаттандыратын тұрақты векторын айтамыз. Осымен бірге вектордың шек ұғымы скаляр айнымалының шек ұғымына келтіріледі.

Сонымен

(9)

Шек теориясының негізгі теоремалары оп-оңай дәлелденеді. Олар қысқаша былай тұжырымдалады.

мұнан «қанатты» ережеге келеміз: қосынды (немесе көбейтінді) шегі шектер қосындысына. (немесе көбейтіндісіне) тең.

Енді функциясының мәніндегі үзіліссіздігін анықтаған оп-оңай. Ол

(11)

теңдігінің орындалғанын білдіреді.

Егер (11) барлық a<t<b үшін орындалса, функциясы (a,b) аралығында үзіліссіз делінеді.

(1), (2), (10) және (11)-ден функциясының үзіліссіздігінің x,y,z функцияларының үзіліссіздігімен эквиваленттілігі шығады.

(12)

шегіне ие болатын функциясын мәнінде дифференциалданатын функция ал осы шектің мәнін функциясының нүктесіндегі туындысы дейді. a<t<b аралығының барлық нүктелерінде дифференциалданатын функциясын осы интервалда дифференциалданатын функция делініп, ал функциясы осы интервалдың барлық нүктелерінде анықталған болып келеді.

Әрине векторлық және аралас көбейтіндідегі көбейткіштердің орнын ауыстыруға болмайды, өйткені .

Сол теоремалардың арқасында күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бұрынғыша сақталады

(14)

Сонда олардың ұштарын қосатын - векторы хордаға, ал оның шектік орналасуы жанамасына параллель. Сонымен туынды бағытының геометриялық мағынасы ашылды, ол нүктесінде келбеттің жанамасын анықтайды. Жанаманың теңдеуін (І тараудың (35) теңдеуімен салыстырыңыз)

(15)

түрінде жазуға болады. Мұнда -жанама айнымалы нүктесінің радиус-векторы, -параметр.

векторының ұзындығы t параметрінің алынуына тәуелді және оны ауыстырғанда өзгереді. Шынында

(16)

жаңа параметріне көшсек, функциясының

нүктесі аймағындағы мәндері өзгермейді, атап айтқанда қисық пен оның М₀, нүктесіндегі жанамасы сол беті (сол күйі) сақталады. Бірақ (14)-ке сәйкес

яғни, жалпы алғанда, . (16) бойынша параметрінің келіскен бір алынуында болады. Параметрдің мұндай алынуының қарапайым геометриялық мағынасы бар.

болғандықтан

және

Қисықтың доға ұзындығы

формуласы бойынша есептелетіндігі мәлім.

Демек

, (17)

Бірнеше аргументті вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен дифференциалдануы ұғымдары анализдегі скаляр функциялардың сәйкес ұғымдарына ұқсас енгізіледі. Мәселен, екі аргументті

(18)

функциясының дербес туындысы кәдімгі анализдегідей анықталады.

Олардың геометриялық мағынасын анықтау үшін шарты (18) функциясы келбетінде

қисығын бөліп алатынын байқаған жөн, туындысы осы қисықтың жанамасына параллель. Дәл осы сияқты векторы сызығының жанамасына параллель.

қос санының берілуі бет нүктесін анықтайтындықтан, u,v параметрлері бет нүктесінің қисықсызықты координаталары деп, ал u=const жєне v=const сызықтарын координаталық сызықтар атаған.

x,y,z функциялары үшін жазылған Тэйлор формулаларын және (1) жіктемесін пайдаланып, функциясының да Тэйлор қатарына жіктелетінін аламыз. Мәселен, бір айнымалыға тәуелді функция жағдайында

(20)

мұнда , ал мүшелері – x,y,z-ке жазылған Тэйлор қатарларындағы қалдық мүшелері. өрнегі шектеулі болғандықтан, (20) қатарындағы қалдық мүшесінің кішілік реті n санынан кем емес, оны былай жазатын боламыз

(21)

n=2 мєнінде (20)-дан алатынымыз

(22)

Оң жағындағы бірінші қосылғыш вектор-функция өсімшесінің басты сызықтық бөлігі болып табылады, ол вектор–функция дифференциалы деп аталып

(23)

арқылы белгіленеді. Екі айнымалы жағдайында

(24)

Екінші, үшінші жєне жоғары ретті дифференциалдардың формулалары анализдегідей. Кейде