Жұмыс бағдарламасы «Математикалық логика және дискретті математика»
жүктеу/скачать 1,48 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Менье
- Негізгі єдебиеттер:[1-5] Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Мұнда R = X, Y , Z - ағымдағы координаталардың радиус векторы. векторлары  бетінің жанама жазықтығына тиіс. Жанасу нүктесінде жанама жазықтыққа перпендикуляр түзуді беттің нормалі (тіктеуіші) дейді.
 ( 10 )
векторы  бет нормальінің бірлік векторы делінеді.
Жоғарыдағы беттің түрлі берілуіне сәйкес оның нормалінің теңдеулері:
Бетте қисықсызықты координаталары  (12)
Теңдеулерімен анықталатын нүктелердің геометриялық орнын қарастырайық. Мұнда - тәуелсіз айнымалы, ал  
түрінде жазуымызға болады. Сонымен бір айнымалыға тәуелді функцияға айналады және өзінің өзгеру облысында мәндерді қабылдағанда өзінің ұшымен тұтасымен  бетіне тиіс қандайда бір қисық сызады. Демек,  теңдеулері бетінде орналасқан қисықты анықтайды. теңдеулерінде параметрі ретінде қисықсызықты координаталардың бірі мәселен  болуы мүмкін. Сонда беттегі сызықта анықтайтын қос теңдеу жалғыз
 теңдеуіне келтіріледі.
бетінде орналасқан 
қатынасымен анықталады, мұндағы  
бетіндегі доға ұзындығы дифференциалының квадраты, атап айтқанда
өрнегі беттің 1-ші негізгі квадраттық формуласы немесе 1-ші негізгі дифференциалдық инварианты делінеді.  және 
болуынан (беттің ерекше емес нүктесінде) (4) бетіндегі (du;dv) және (δu;δv) сызықтары арасындағы бұрыш сол сызықтардың қиылысу нүктесіндегі олардың d=du+dv,δ=δu+δv
жанамалары арасындағы бұрыш ретінде есептелетіндіктен cosφ=cos(d^,)= Бет қарапайым бөлігінің ауданы δ═∫∫  dudv (17)
екі еселі интегралымен есептеледі. Мұнда D облысы “u”, ”v”, ”u+du”, ”v+dv” сызықтарымен шектелген. Беттің екінші квадраттық формасы ІІ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2 (18) түрінде кескінделеді. Мұндағы L,M,N коэффициенттері L=(,uu), M=(,), N=(,) Скаляр көбейтінділері түрінде, немесе (10)-ды ескере L=g-1( (мұндағы g=I аралас көбейтінділері арқылы есептеледі. Беттің М нүктесіндегі бойындағы нормалі арқылы өтетін кейбір жазықтықпен қимасын беттің нормаль қимасы деп атайды. М нүктесіндегі осы сызық қисықтығының абсолют шамасын нормаль қисықтық дейді, бұл сан М нүктесіндегі қима, векторы жағына ойыс болуында оң, және сәйкесінше, дөңес болуында теріс болады. (du,du)бағыттындағы нормаль қиманың нормаль қисықтығы kn= формуласымен есептеледі. М нүктесіндегі нормаль қиманың Ки қисықтығы нөлге тең болса, оның жанамасының бағыты М нүктесіндегі асимптоталық бағыт делінеді. kn нормаль қисықтығының формуласынан, беттегі асимптоталық сызықтардың дифференциалдық теңдеуі Ldu2+2Mdudv+Gdv2=0 түрінде жазылатыны шығады. Менье теоремасы. Егер беттің М нүктесіндегі асимптоталық бағытта болмайтын жанамасы арқылы (бірі нормаль, ал екіншісі көлбеу) беттің қос қимасын жүргізсе, нормаль қиманың қисықтық центрінің көлбеу жазықтығына түскен проекциясы - көлбеу қиманың қисықтық центрі болып табылады. Менье теоремасынан тікелей R=Rncos формуласы туындайды. Мұндағы R–беттегі кез келген Г сызығының қисықтық радиусы, Rn-нормаль қима қисықтығы, - Г сызығының жанасушы жазықтығымен нормаль қима жазықтығы арасындағы бұрыш. Ал, олай болса, оларға кері шама болып келетін қисықтықтар үшін k есептеу формуласы орынды. І және ІІ квадраттық формалардың  және  матрицаларын сәйкес Р және Q арқылы белгілейік. Беттің әрбір нүктесінде олар симметриялы, сандық матрицалар, онымен бірге Р ерекше емес,оң анықталған. Сызықтық алгебрадан Р матрицасы бірлік, ал Q –диагоналды матрица болатындай базис табылатыны белгілі. Бұл базис элементтері беттің М нүктесіндегі бас векторлар, ал олар анықтайтын бағыттар - бас
бағыттар делінеді. Бас базистегі Q матрицасының k1 және k2 элементтерін М нүктесіндегі беттің бас қисықтықтары дейді. Бас қисықтықтар 
теңдеуінен табылады. Осы теңдеуден (Виет теоремасы бойынша) бас қисықтардың қосындысы мен көбейтіндісін тапқан оп-оңай: k1k2= беттің берілген нүктесіндегі бас қисықтықтарының көбейтіндісін беттің толық немесе Гаусстық қисықтығы деп К арқылы белгілейді. Беттің бас қисықтары қосындысының жартысын беттің орташа қисықтығы деп Н әрпімен белгілейді. Берілген М нүктесі арқылы өтетін кейбір нормаль қиманы қарастырайық. - М нүктесінде нормаль қимаға бірлік жанама вектор болсын. kn= k1cos2φ + k2sin2φ түрінде өрнектеледі. Бұл формуланы Эйлер формуласы дейді. Егер k1k2 болса, онда Эйлер формуласынан бас қисықтықтардың бірі нормаль қима қисықтығының мүмкін болатын ең кіші мәні, ал екіншісі ең үлкен мәні болып табылатыны шығады. k1= k2 болуында kn= const. Басқа сөзбен, берілген нүкте арқылы өтетін кез келген бағыттағы нормаль қиманың қисықтығының мәні өзгермейді. Мұндай нүкте дөңгеленген нүкте делінеді. Беттің М нүктесі маңайында орналасуынан мағлұмат алу үшін келесі үш жағдайды қарастырайық: 1. .М нүктесінде К Гаусс қисықтығы оң шама. Мұндайда Мысал нүктесі Эллипстік делінеді. К атап айтқанда k1, k2>0 болуынан k1 мен k2 таңбалас. Егер k1>0, k2>0 болса, онда барлық нормаль қималар үшін kn-де оң. Бет өзінің барлық бағытында m нормаль векторы жағына иіліп, жанама жазықтығының бір жағында ғана орналасады. Эллипстік нүктеде асимптоталық бағыттар болмайды. k1<0, k2<0 жағдайының алдыңғыдан (қималардың бәрі - m векторы жағына иілгенін есептемегенде), маңызды өзгешелігі жоқ. М нүктесінде К толық қисықтығы теріс. Мұндай нүкте гиперболалық делінеді. К толық қисықтығы, атап айтқанда k1k2 көбейтіндісі теріс болуынан k1 мен k2 түрлі таңбалы. Анықтылық үшін k1<0, k2>0 , болсын. Демек бас қималардың бірі - m жағына, екіншісі m жағына иіледі. М нүктесінен айналған нормаль қима жанамасы бас бағыттардың бірінен екіншісіне көшеді, демек тік бұрышқа бұрылады. Ал оның kn қисықтығы k1<0 мәнінен k2>0 мәніне дейін бірсарынды өседі. Демек нөлдік мәннен өтеді. Нормаль қисықтың нөлдік мәніне 
бұрыштары бойынша бағытталған нормаль қималар сәйкес. Бұл қималар бас бағыттарға қатысты симметриялы орналасады және берілген нүктеде асимптоталық бағыттарға ие болады. Асимптоталық бағыттармен жасалған екі пар вертикаль бұрыштардың бірі теріс қисықтығы бар нормаль қималарды қамтитын болса, екіншісі оң қисықтығы бар нормаль қималарды қамтиды. Осыған сәйкес біріншісінде бет – m векторы жағына иілсе, екіншісінде m жағына иіледі. Нәтижесінде, гиперболалық нүкте маңайында бет ертоқым пішіндес болады. 3. М нүктесінде К=0 болсын. Осы шартты қанағаттандыратын бет нүктелері паробалалық делінеді. Мұндай нүктеде К=k1k2=0 болуынан k1k2 қисықтарының біреуі немесе екеуі де нөлге айналады. Бірінші жағдайда беттегі М нүкте аймағы паробалалық цилиндр пішіндес болады. Екінші жағдайда М жазықталу нүктесі делінеді. Мұндай нүкте аймағында бет құрылымы аса
күрделі болуы мүмкін және оны зерттеу үшінші және одан да жоғары ретті туындыларды қарастыруға келтіріледі. Негізгі єдебиеттер:[1-5] Қосымша єдебиеттер:[6-7] жүктеу/скачать 1,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
үзіліссіз дифференциалдамалы функциялар. Беттің параметрлік кескінделуін пайдаланып кез келген мұндай нүкте радиус векторын 
) беттің 1- квадраттың формуласы оң анықталған.
(16)
), M=g-1(
), N=g-1(
) (19)
I=
(20)
; k1+k2= 
- өзара ортогональ бірлік бас векторлар.φ арқылы 1 векторынан - ға дейінгі оң бағытта айналу бұрышын белгілейік (1 - ден 2 - ге айналу бағытын оң деп санаймыз). Алынған нормаль қиманың kn қисықтығы k1 және k2 бас қисықтықтары арқылы