Жұмыс бағдарламасы «Математикалық логика және дискретті математика»
жүктеу/скачать 1,48 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3. Жанасушы жазықтық.
| Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7] Лекция тақырыбы. Сызықпен байланысқан негізгі дифференциоалды-геометриялық ұғымдар. 1.Параметірленген қисық. Егер қисық берілсе, оның бойымен уақыт арасында ағымды М нүктесі қозғалады деп есептеуімізге болады. Уақыттың әр бір t сәтінде бұл нүкте қисықтта белгілі орын алады,атап аәтқанда ағымды М нүктесінің радиус-векторы t параметрін
параметірі түрінде жазылған фукциясы болады. Керісінше, егер ағымды М нүктесінің радиус-векторы қандай да t скаляр параметрінің функциясы ретінде берілсе, оның ұшы қисық сызық сызады. Басқаша айтқанда қисық Анықтама. Егер қисықтың ағымды М нүктесінің радиус-векторы қандай-да (a,b) аралығында өзгеретін t скаляр параметрінің үзіліс функциясы ретінде анықталған болса, қисық параметрленген ал 
оның векторлық теңдеуі делінеді. " Қисықты", "сызық " немесе "қисық сызық" деп те айта береді. Егер t параметірін оның параметіріне түрлендірсе, сол қисықтың жаңа  (мұндағы  )
теңдеуі алынады. Сонымен бірден-бір қисық түрлі теңдеулермен анықталуы мүмкін. Мәселен 
және
теңдеулері бірен-бір жарты шеңберді анықтайды. Бұл жағдайда және параметрлері  қатынасымен байланысады.
2. Жанама. Сызықпен байланысқан қарапайым дифференциал-геометриялық ұғымға бізге таныс жанама жатады. Анықтама. Сызықтың берілген М нүктесіндегі жанамасы деп, сол М нүктесі және оған шексіз жақын орналасқан сызық нүктесі арқылы өтетін қисықтың шектік орналасуын айтамыз. Теорема. Сызықтың ағымды нүктесін  радиус-векторының оның параметрі бойынша алынған  туындысы t параметрін жағына сәйкес жанама бойынша бағытталған вектор болып табылады. Сонымен туындысы бар болып және ол 0-ден өзгеше болса
 (1)
онда  туындысы сәйкес жанаманы анықтайды. Әрі қарай әрдайым осы шарт орындалатынын ұйғарамыз.
Ескерту. Қисық бойында көршілес алынған  және  нүктелерін қосатын осімше векторын Тейлор формуласы бойынша n=1 болуында жіктейік, сонда
мұнан ығысу векторы жанамада орналасқан  және қосалқы  векторларына жіктелетінін көреміз. Жанама вектор өсімшесімен кішілік реті бірдей, қосалқы векторының кішілік реті жоғары. Демек бірінші жазықтықта сызық, жанасу нүктесінің мейілінше кіші аймағында өз жанамасымен тұтасады.
3. Жанасушы жазықтық. Сызықпен берілген М нүктесіндегі жанасушы жазықтығы деп, М нүктесіндегі сызық жанамасы және М-ге шексіз жақын орналасқан сызық нүктесі арқылы өтетін
жазықтықтың шексіз орналасуын айтамыз. Жанасушы жазықтықтың анықтамасынан сызықтың жанасушы жазықтықтығы әрдайым сол сызық орналасқан жазықтықпен беттесетіні туындайды. Теорема. Сызықтың ағымды нүктесі  радиус-векторынынң бірінші және екінші ретті  туындылары сәйкес жанасушы жазықтығында орналасады.
Дәлелдеме.  сызығын қарастырайық. Р жазықтығын сызықтың М нүктесіндегі жанамасы және көрші  нүктесі арқылы жүргізейік.
(1-сурет). Бұл Р жазықтығында  және векторлары жатады. n=2 болуында Тейлор формуласынан алатынымыз
мұнан 
Сонымен,  векторы Р жазықтығына тиісті және векторлары бойынша жіктеледі, демек өзі де Р жазықтығына тиіс. t ұмтылуында Р жазықтығы жанасушы жазықтығына ұмтылады. Ендеше Р жазықтығында орналасқан және векторлары жанасушы жазықтығында орналасқан өздерінін шеттері  және  векторларына айналады. Теорема дәлелденді.
Сонымен ағымды нүкте  (2)
шартында, сәйкес жанасушы жазықтықты анықтайды. Төменде әрдайым (2) орындалатынын ұйғарамыз. жүктеу/скачать 1,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
радиус-векторының 1-ші және 2-ші ретті 
, 
туындылары, олар коллинеар болмауында, атап айтқанда