Студенттерге өзіндік есептер

а) коэффицент С-ны табыңыз; б) f(х) функциясының графигін салыңыз.

2. Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген. Математикалық үміті М(х)=2 орташа квадраттың ауытқуы . Кездейсоқ шаманың [4,7] интервалдан мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

3. Дайындалған детальдардың стандартты детальдардан ауытқуы қалыпты үлестіріммен берілген. Детальдың стандартты ұзындығы (математикалық үміті) а=40см. Орташа квадраттың ауытқуы 0,4 см. Стандартты ұзындықтан ауытқуының абсолют шамасы 0,6 сантиметрден аспайтындығының ықтималдығын табыңыз.

4. Берілген партияда алманың салмағы кездейсоқ шама болып, ол қалыпты үлестірім арқылы берілген болсын және М(х)=140 г.

1) Осы партиядан алынған кез-келген алманың салмағы 124 граммнан 148 грамға дейін болатындығының ықтималдығы қандай?

2) Алынған алманың салмағы орташа салмақтан /а=140 гр/ ауытқуы + 8 граммнан аспайтындығының ықтималдығын табу керек.

5. Зауытта жасалған бөлшектің диаметрі қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Диаметрдің стандартты ұзындығы а=2,5 см, ал орташа квадраттың ауытқуы . Егер ақиқат оқиға ретінде ықтималдығы 0,9973-ке тең оқиғаны қарастырсақ, диаметрдің ұзындығы қандай аралықта жатуы керек?

6. Зауыт диаметрі d=5 мм шариктер даярлайды. Даярлау кезінде диаметрі берілген ұзындықтан ауытқуы кездейсоқ шама, ал қалыпты үлестіріммен берілген және орташа квадраттық ауытқуы . Бақылау кезінде диаметрі берілген ұзындықтан 0,1 мм ауытқыған шариктер қабылданбайды. Бақылау кезінде қанша пайыз шариктер қабылданбауының ықтималдығын табыңыз.

7. Кездейсоқ шама Х қалыпты үлестіріммен берілген математикалық үміті а, орташа квадраттың ауытқуы . Берілген интервалында осы қалыпты үлестірімді жуықтап бірқалыпты үлестіріммен ауыстыру керек. Бірақта кездейсоқ шаманың берілген сандық сипаттамалары өзгермей сақталатын болсын.

8. Кездейсоқ шама Х қалыпты үлестіріммен берілген. Математикалық үміті а, орташа квадраттық ауытқуы . f(х) функциясының графигінің иілу нүктелерінің координаталарын анықтаңыз.

9. Қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті а=0, ал (-а; а) аралықтан мән қабылдау ықтималдығы 0,5, орташа квадраттық ауытқуын тауып үлестірім тығыздығын жаз.

10. Мылтық оқтағанда оның ішіне салатын оқ-дәрінің мөлшері 2,3 г. болуы керек. Оқ-дәрі өлшеген кезде жіберілген қате қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Оның дисперсиясы =0,04. Егер оқ-дәрі мөлшерден артық салынса, онда атыс кезінде мылтық істен шығады. Егер ең көп салғанда 2,8 г. салуға болатын болса, онда бір атыста мылтықтың істен шығуының ықтималдығы қандай?

11. Мылтық атқанда оқтың ұшу қашықтығы қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Оның дисперсиясы 900. Нысанадан 20 метрден 50 метрге дейін асып түсетін оқтардың қанша пайыз болатынын табыңыз.

Нұсқау: Нысанаға дейінгі қашықтықты а=М(х) деп қабылдау керек.

12. Ұсталған балықтың салиағы қалыпты үлестірім заңына бағынады. Оның параметрлері а=400 г., =40. Сонда ұсталған бір балықтың салмағы; 1/300 граммнан 500 гр. Дейін болатындығының ықтималдығын табыңыз;

2/300 граммнан артық болатындығының ықтималдығын табыңыз;

3/450 граммнан артық болатындығының ықтималдығын табыңыз;

13. Подшипниктерге арналған шариктердің диаметрінің ұзындығы қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Математикалық үміті а=4,5 см, =0,05 см. Мүмкін мәндері 0,9545 ықтималдығымен қабылданатын интервалды анықтаңыз

14. Қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шаманың параметрлері а=16 см, =2 см. Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуы 3,92-ден артпауының ықтималдығын табыңыз.

15. Екі елді мекеннің арасын өлшеу қорытындысы қалыпты үлестірім заңымен берілген. Оның математикалық үміті а=16 км, ал орташа квадраттық =100 м. Осы екі елді мекеннің арақашықтығы: 1) 15,8 километрден кем болмауының ықтималдығын табыңыз; 2) 16,25 километрден артық болмауының ықтималдығын табыңыз; 3) 15,75 километрден 16,3 километрдің арасында болуының ықтималдығын табыңыз.

16. Ересек әйелдің бойының ұзындығы кездейсоқ шама. Ол қалыпты үлестіріммен сипаттамалады және оның параметрлері а=164 cм, =55 см. Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығын жазыңыз және Р(165

17. Ересек ер адамның бойының ұзындығы кездейсоқ шама. Оның параметрлері а=170 см, дисперсия =36. Кез келген 4 ер адамның ұзындығы [168,172] аралығында жататындығының ықтималдығын табыңыз.

Нұсқау: Әуелі Р(165

18. Зауытта шығарылатын бұйымның бақылауға алынған бір өлшемі қалыпты үлестіріммен сипатталады және оның параметрлері а=5 cм, =0,81.

1. 
   Кез келген бұйымның бақылауға алынған өлшемі [4;7] аралығында жататындығының ықтималдығын анықтаңыз.
   
2. 
   Бақылауға алынған өлшемнің математикалық үміттен ауытқуы 2 см аспайтындығының ықтималдығын табыңыз.
   

20. Х-кездейсоқ шамасы қалыпты үлестіріммен берілген және М(х)=25. Кездейсоқ шаманың (10; 15;) интервалынан мән қабылдау ықтималдығы 0,2-ге тең. Осы кездейсоқ шаманың [35; 40] интервалынан мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

21. 
    Аргументтің кейбір мәндерінде:
    

1. 
   үлестірім функциясы бірден үлкен болуы мүмкін бе?
   
2. 
   үлестірім тығыздығы бірден үлкен болуы мүмкін бе?
   
3. 
   үлестірім функциясы теріс болуы мүмкін бе?
   
4. 
   үлестірім тығыздығы теріс болуы мүмкін бе?
   

22. Кездейсоқ шамаға тұрақты а саны қосылды. Сонда математикалық сипаттамалар қалай өзгереді: 1) Математикалық үміт; 2) дисперсия; 3) орташа квадраттық ауытқуы; 4) екінші бастапқы момент.

23. Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген және а=0,=1. Сонда мына екі ықтималдықтардың қайсысы үлкен Р(-0,5) немесе Р(1)?

24. Кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген

Х 2 4 6 8

Р 0,4 0,3 0,2 0,1

25. Кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген

Табу керек:

26. 
    Кездейсоқ шама Релей үлестірімі арқылы берілген
    
27. 
    
    

26. 
    Кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген
    
27. 
    
    

Техникалық бақылау бөлімі шығарыдған бөлшектердің стандарттылығын тексереді. Негізгі тексерілетін параметрлер, олардың ұзындығы мен ені. Сонда Х-детальдің енінің стандарттан ауытқуы, У-ұзындығының стандарттан ауытқуы. Кездейсоқ шамалар кестемен берілген

3 0,12 0,17 0,11 0,3

Ру 0,33 0,24 0,43 1.00

1. 
   Х және У кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдарын жазыңыз;
   
2. 
   а) Х-тің У=у болғандағы шартты үлестірім заңын жазыңыз;
   

3. 
   Х пен У өзара тәуелсіз бе?
   
4. 
   Үлестірім функциясын F(х,у) табыңыз:
   

5. 
   Корреляциялық коэффицентті табыңыз.
   
6. 
   Шартты математикалық үміттерін табыңыз.
   

2 кесте 3 кесте

Х -2 3 У -1 0 1

Рх 0,7 0,3 Ру 0,33 0,24 0,43

Х -2 3

Р(Х/У=у)

б) У-тің Х=х болғандағы үлестірім заңын осылай есептесек:

5 кесте

У -1 0 1

Р(У/Х=х)

1. 
   Х және У тәуелсіз бе?
   

Егер ол заңдар бірдей кестелермен берілсе, онда олар тәуелсіз болғаны, ал егер ол кестелер бірдей болмаса, онда олар тәуелсіз болғаны, ал егер ол кестелер бірдей болмаса, онда олар тәуелді болғаны. Сондықтан біз N 2; N 4; және N 3; N 5 кестелерді өзара салыстырсақ, олардың бірдей еместігін байқаймыз, олай болса Х және У өзара тәуелді кездейсоқ шамалар болады.

2. 
   Үлестірім функциясын жазамыз
   

Енді F және F(у) функцияларын екінші кесте мен үшінші кестені пайдаланып табамыз:

F

F

3. 
   Корреляциялық коэффициентті
   

формуласын пайдаланып табалық.

Әуелі М(х) және М(у) – терді 2, 3 кестелерді пайдаланып табамыз:

М(х)=-2

r.

Осыдан екенін көреміз, яғни Х және У өзара тәуелді кездейсоқ шамалар болады.

4. 
   Айталық М(Х/У=у және М(У/Х=х табу керек болсын. Оларды табу үшін 4, 5 кестені пайдаланамыз. Сонда
   

М(У/Х=х