егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х0 нүкте максимум нүктесі болады;
егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х0 нүкте минимум нүктесі болады;
егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х0 нүкте экстремум нүктесі емес.
Жоғары кестеде қарастырылған функцияларды осы жеткілікті шарт бойынша зерттесек. х аргумент нүкте арқылы өткен кездегі таңбасын анықтасақ, мынадай толықтыру аламыз:
|
|
|
| |
Туынды таңбасы
| |
:“+” “-”
х0=0
|
: “+” “+”
х0=0
|
: “-” “+”
х0=0
|
: “+” “+”
х0=0
|
х0=0 - максимум нүктесі
|
Экстремум жоқ
|
х0=0 - минимум нүктесі
|
Экстремум жоқ
|
Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Сонымен қатар болса, онда
егер болса, онда х0 нүкте f(x) функциясының максимум нүктесі болады;
егер болса, онда х0 нүкте f(x) функциясының минимум нүктесі болады.
ФУНКЦИЯ ГРАФИГІНІҢ ДӨҢЕСТІГІ ЖӘНЕ ИІЛУ НҮКТЕЛЕРІ
Анықтама. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады.
3-суретте y=f(x) функциясының графигі аралығында дөңес болады да, ал аралығында ойыс болады.
Анықтама. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды. Суретте қисық бойында жатқан (x0, f(x0)) нүкте графиктің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұр, яғни ол функцияның иілу нүктесі болады.
(а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясын қарастырайық.
Функция дөңестігінің жеткілікті шарты. (а,в) интервалында y=f(x) функциясының екінші ретті туындысы теріс таңбалы болса, функция графигі осы аралықта дөңес, ал екінші туындысы оң таңбалы болса, функция графигі осы аралықта ойыс болады.
|
у
(x0, f(x0))
x0 x
3-сурет
|
Енді иілу нүктесін табуға мүмкіндік беретін қажетті және жеткілікті шарттарды қарастырайық.
Иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының (x0, f(x0)) нүктесі иілу нүктесі болса, онда .
Шынында да, (x0, f(x0)) иілу нүктесі болғандықтан х0 нүктесінің оң және сол жағында таңбасы түрліше болады. Екінші туындының үзіліссіздігіне байланысты болатындығы шығады.
Анықтама. Екінші туындысы нолге айналатын не болмайтын нүктелер функцияның ІІ-текті күдікті нүктелері деп аталады.
Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x0, f(x0)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады.
Мысал. (Гаусс қисығы) функциясының иілу нүктелері мен дөңестік аралықтарын тап.
Шешуі. 1) Функция бүкіл сан осінде анықталған, яғни D(y)=.
Достарыңызбен бөлісу: |
