f(x) және g(x) функциялары () жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады: . Бірнеше мысал қарастырайық. 1. .
2. .
3. . Бұл мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х2 бөлімнің бөліміне түсірдік.
4. . Айталық , онда
. Енді lnA=0 теңдеуін шешіп ізделінді шекті табамыз:
.
ТУЫНДЫНЫҢ ФУНКЦИЯНЫ ЗЕРТТЕУДЕГІ ҚОЛДАНЫСЫ
(а,в)интервалында анықталған y=f(x) қарастырайық. Осы функцияның аралықта өсуі мен кемуінің анықтамасымен таныссыздар. Енді функцияның аралықта өсуі мен кемуінің қажетті және жеткілікті шарттарымен танысайық.
Теорема (функция өсуі мен кемуінің жеткілікті шарты). Егер (а,в) интервалында дифференциалданатын y=f(x) функциясының туындысы оң болса, онда осы интервалда функция өспелі болады, ал туындысы теріс болса, функция кемімелі болады. 1-суреттегі y=f(x) функциясы және аралығында өседі, аралығында кемиді.
у
x
1-cурет
y
y=f(x)
a x1x2 x3x4 b x
2-сурет
Анықтама. х0 нүктесінің - маңайы табылып, (х0- х0+), осы маңайдағы барлық хх0үшін f(x)>f(х0) теңсіздігі орындалса, х0нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)0) теңсіздік орындалса, х0нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады. Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелері деп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдары дейді. 2-суретте y=f(x) функциясының максимум нүктелері x1 және x3, ал минимум нүктелері x2 және x4 . Суреттен x4 нүктедегі минимум x1 нүктедегі максимумнан үлкен. Бұл функцияның экстремум ұғымы х0нүктесінің - маңайында ғана анықталатындығымен түсіндіріледі. Сондықтан да, функция экстремуы дегеннің орнына көбіне функцияның локальді экстремумы дейді.
Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.
Ферма теоремасы. х0 нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі функция туындысы бар болса, онда =0. Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.
Анықтама. Туындысы нолге айналатын не туындысы болмайтын нүктелер функцияның күдікті нүктелері (кейде І-текті күдікті нүктелер) деп аталады. Кестеде төрт функцияның нүктедегі экстремумдары қарастырылған:
у
x
x
y
x
y
x
y
жоқ
жоқ
Экстремум бар
Экстремум жоқ
Экстремум бар
Экстремум жоқ
нүкте төрт функция үшін де күдікті нүкте болып табылады. Бірақ, күдікті нүктенің бәрінде экстремум бола бермейді екен (мысалы, , функциялар). Қандай күдікті нүктеде экстремум бар болатынын экстремумның жеткілікті шарттары анықтайды.
Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х0 нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,
