Шешуі. Сандардың квадраты теріс емес сан болатындықтан, болады. Осыдан . Теңсіздіктің екі жағына да өрнегін қосу арқылы оған тең күштес болатын мынадай теңсіздікті аламыз , сонан соң теңсіздіктің екі жағын да санына көбейтіп, қорытындысында аламыз. Ал теңдік тек қана , яғни а=b болғанда ғана оындалады.
Осылайша, екі теріс емес санныңарифметикалық ортасы сол екі санның геометриялық ортасынан кем болмайды.Бұл теңсіздік француз математигіОггустин Луи Кошидің құрметіне Коши теңсіздігі деп аталғанын жоғарыда да атап өткенбіз.
Ал енді (*) теңсіздігін бірнеше қосынды үшін қарастырайық.
Коши теңсіздігі төрт сан үшін мына түрде болады: .(**)
Дәлелдеу: .
Ал енді (**) теңдікке мынадай теңдік a = b, c = dорындалғанда ғана айналатын болады, яғни a = b = c = d.
Үш сан үшін Коши теңсіздігі мына түрге келеді : .
Дәлелдеу: , осыдан a + b + c ≥ . Теңдігі тек a = b =c болғанда ғана орындалады.
Жоғарыда көрсетілген Коши теңсіздігінен мынадай салдарлар шығады:
Кез келген а оң саны үшін мынадай теңсіздік орындалады (***). Егер а = 1 болса, онда теңсіздік теңдікке айналады. Демек, екі өзара кері сандардың қосындысы екіден кем болмайды, ал олардың теңдігі тек екі сан да бірге тең болған жағдайда орындалады.
Айталық, а1, а2, …, аnтеріс емес сандар болсын, сонда мынадай теңсіздік орындалады :
.
Коши теңсіздігін мына түрге келтіруге болады:
, a2 + b2 ≥ 2ab, a2 + b2 + c2 ≥ 3 . 4. Коши теңсіздігін мынадай сан жұптары үшін жазайық. Яғни Осы теңсіздіктерді қосып, нәтижесінде алатынымыз: Арифметикалық және геометриялық орталар жайлы теоремадан келесі теңсіздікті алуға болады Ал соңғы теңсіздікті ескере отырып, теңсіздікті мына түрде жаза аламыз
Коши теңсіздігінің геометриялық мағынасын көрсетейік. Бізге тік бұрышты үшбұрыш берілсін, ал тік бұрышынан түскен h биіктігі, гипотенузаны a және b кесінділеріне бөледі. Геометрияда мынадай теңдік дәлелденген h = . Ал енді нені білдіреді? Бұл гипотенузаның ұзындығының жартысын береді. Геометриядан бізге тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан түсірілген медианасы гипотенузаның жартысына тең екендігі белгілі. Сонымен, Коши теңсіздігін геометриялық талдауы - гипотенузаға түсірілген медиананың ұзындығы гипотенузаға түсірілген биіктіктен кем болмайды.
Берілген n, яғни а1, а2, ....., аn оң сандарының геометриялық ортасы деп мынадай аn = а1 а2… аn теңдікті қанағаттандыратын а оң саны айтылады да оны мына түрде белгілейді: .
