Анықтама: Арифметикалық орта дегеніміз – көрсетілген барлық сандардың қосындысын олардың санына бөлу.
Алдымен арифметикалық ортаны
екі сан үшін табайық: (мұндағы a, b екі түрлі теріс емес сандар); үш сан үшін: ; төрт сан үшін: ; n сан үшін: .
Анықтама: Берілгена1, а2, ....., аn n оң сан үшін геометриялықорта деп мынадай а оң санды айтады, ол үшін болатындай және оны мына түрде белгілейді: .
Анықтама:Ал a және b сандары үшін гармониялық орта деп мынадай с саны айтылады, ол үшін мынадай теңдік орындалатындай , мұндағы с = .
Анықтама: Берілгена және b сандарының квадраттық ортасы деп мынадай санды атайдыс = .
Жоғарыда аталған орталардың нақты геометриялық түсіндірмесін беруге болады. Төменгі табаны AD = a және жоғарғы табаны ВС = b болатын ABCD трапециясы берілсін (1-сурет).
Сурет 1. Трапецияның орта мәндері
Сонда MN - трапецияның орта сызығы; KF – трапеция диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін және табандарына параллель кесінді; LE – трапецияны екі ұқсас трапецияға бөлетін кесінді; TQ – трапецияны ауданы бірдей екі трапецияға бөлетін түзу кесінді.
- арифметикалық ортасы;
- гармоникалық ортасы;
- квадраттық ортасы;
- геометриялық ортасы.
Суреттен көрініп тұрғанындай, кесінділердің тізбегі үшін мынадай теңсіздіктер реті дұрыс болады:
Мысал 2.2.1. Айталық a және b теріс емес сандар болсын. Мынадай теңсіздіктің орындалатынын (*) дәлелдейік.
Дәлелдеу. Теңсіздіктің оң және сол жақтарының айырмаларын табайық:
.
Нәтижесінде теріс емес сан шыққандықтан, теңсіздігі орындалады. Теңсіздіктің оң және сол жақтарының тең болатын, тек қана a = b болғанда, ал егер a≠ b болса, онда болады.
Екінші тәсіл бойынша дәлелденуі
Кез келген теріс емес а және b сандары үшін Мынадай теңсіздіктің орындалатынын дәлелдейік.
