Мысал 2.3.4. Теңдеуді шешіңіздер.
Шешуі. Берілген теңдеу х ≥ 0 үшін қарастырылады да, мүмкін мәндер жиынында теңдеудің сол жағы әрқашан оң болады. Теңдеудің сол жағын мынадай етіп түрлендірейік: . Коши теңсіздігін қолдану арқылы алатынымыз .
Мұнда теңдік тек болғанда орындалады.
Теңдеуді шешу арқылы олардың түбірлерін табайық, сонда х1 = 1, х2 = 4 болады. Табылған екі түбір де оң сандар болғандықтан, осы екеуі берілген теңдеудің ізделінді түбірлері болады.
Жауабы: х1 = 1, х2 = 4.
Мысал 2.3.5. Теңдеулер жүйесін шешіңіздер х ≥ 0, у ≥ 0 . Шешуі. Берілгені бойынша х ≥ 0, у ≥ 0 болғандықтан, бірінші теңдеудің сол жағына Коши теңсіздігін қолданайық. .
Осыдан, жүйенің бірінші теңдеуінен шығатыны, пайдаланылған теңсіздіктен теңсіздік теңдеуге айналды. Осыдан мынадай шарта орындалатындығы x3 = 27 y3 немесе x = 3y шығады. Осы шыққан теңдікті x = 3y жүйенің екінші теңдеуіне қоятын болсақ, 9y2 – 3y2 + y2 = 28 немесе y2 = 4 болатыны шығады. Ал у ≥ 0 және x = 3y ескерсек, онда y1 = 2 және x1 = 6 қорытындысы алынады.
Жауабы: y1 = 2 және x1 = 6.
Бұл жүйені басқа да әдіспен шығаруға болады, бірақ шығару жолы қиын және ұзақ болып кететіндіктен, шешімін табудың ең ыңғайлы әдісі –Коши теңсіздігін қолдану.
Мысал 2.3.6. Қосындысы 2-ге тең оң нақты х,у,z сандары үшін
теңсіздікті дәлелдеңдер:
Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтеміз, сонда
Теңсіздіктің оң жағының теріс екендігін дәлелдесек жеткілікті.
немесе
Теңсіздікті 2-ге көбейтіп, сол жағына Коши теңсіздігін
қолданамыз: ,
бұдан шығады:
жақшаларды ашайық, сонда
