Шешуі: Мысал 2.3.11. Үш a, b, c санның квадраттық ортасының формуласын пайдаланып, мына 2, 11 және 5 сандардың квадраттық ортасын есептеңіздер
Шешуі : .
Арифметикалық және геометриялық орталарға байланысты теңсіздікті экстремум есептерін шешуде, яғни функциялардың ең үлкен және ең кіші мәндерін табуда да қолдануға болады.
Мысал 2.3.12. Егер a, b, p, q оң нақты сандар болсын және теңсіздіктері орындалса, онда мына теңсіздіктің дұрыс болатынын дәлелденіздер .
Шешуі: Арифметикалық және геометриялық орталар жайлы теңсіздікті пайдаланайық, сонда , . Енді екі теңсіздікті қосып жіберсек,
. Есептің шартындағы теңсіздіктерді ескерсек, дәлелдеу қажет теңсіздікті аламыз
Мысал 2.3.13. 10 санын екі санның көбейтіндісі ең үлкен мән қабылдайтыындай, екі санның қосындысы түрінде жазыңыз.
Шешуі :Айталық 10 = x + y болсын. Мынадай шарттар x>0 және y> 0 орындалсын. Жоғарыда қарастырылған (*) теңсіздігін пайдалана отырып, мынадай теңсіздікті аламыз: . Яғни ху ≤ 25. Демек, х = у = 5 болғанда, ху көбейтіндісінің ең үлкен мәні 25-ке тең болады.
Жауабы: 10 = 5 + 5.
Мысал 2.3.14. Берілген функцияның ең кіші мәнін х > 0 шарты үшін есептеңіздер.
Шешуі : функцияны мына түрде жазып алайық
.
Демек, функциясының х > 0 болғандағы ең кіші мәні 6-ға тең болып, ол мәнге , яғни х = 4 болғанда ғана алады.
Жауабы: функцияның ең кіші мәні 6-ға тең.
Мысал 2.3.15.функциясының ең кіші мәнін табыңыздар
Шешуі : Функциядағы бос мүшені 4 және 1 сандарының қосындысы ретінде алып, функцияны мына түрге келтірейік
Өзара кері екі сан үшін Коши теңсіздігін пайдалансақ, сонда:
Теңсіздіктердің екі жағына да 4-ке тең бос мүшені қоссақ, –функцияның тек бір ғана болғандағы мәні шығады. Демек,
Олимпиада есептерін шығаруда Коши теңсіздігін пайдалануды қарастырайық.
