Мысал 2.5.3. Сандарды салыстырыңыздар және 5!-3!-2!.
Шешуі: 1) 5!-3!-2!=112. (3)
2) .
Сонда Бернулли теңсіздігін пайдалана отырып мынадай теңсіздікті аламыз:
; (4)
Ал (3) пен (4) шығатыны, 5!-3!-2!.
Мысал 2.5.5.Сандарды салыстырыңыздар .
Шешуі: 1)
санын классикалық Бернулли теңсіздігін пайдалана отырып 2 санымен салыстырайық.
Мына теңдік + орындалатыны анық.
Сонда Бернулли теңсіздігін пайдалана отырып мынадай теңсіздікті аламыз:
+
яғни + ;
Сонымен, (6)
Ал (5) пен (6) шығатыны, .
Мысал 2.5.6. Сандарды салыстырыңыздар .
Шешуі: Бірінші бөлшекті A арқылы белгілеп алайық та, оның алымы мен бөлімін де 2 санына бөлейік. Сонан соң бөліміндегі әрбір бөлшекті, екіншіден бастап, алымы 1 болатын екі бөлшектің айырмасы ретінде көрсетейік.
А= = =2 (7)
санын Бернулли теңсіздігін пайдалану арқылы бағалайық.
Сонда, орындалады.
Сонда , мұндағы p .
Бернулли теңсіздігін ескере отырып:
1+200p =
Сондықтан 200p
Демек (8)
Ал (7) мен (8) шығатыны,
себебі бұл өзара кері екі санның қосындысы болады.
Сонымен, .
Мысал 2.5.7.Кез келген 13 санның ішінен
теңсіздігі орындалатындай 2 сан табылатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. – есептің шартында берілген сандар. болсын. аралығын теңдей 12 бөлікке бөлеміз. Онда 13 бұрыштың ішінен орындалатындай және сандары табылатынын көрсету жеткілікті. Бұдан . деп белгілеп
. Мұнда .
Мысал 2.5.8. Теңдеуді шешіңіздер:
Шешуі: Теңдеудегі айнымалысының қолайлы мәндерінің диапазоны ретінде анықталғандықтан, ал мәндері оның түбірлері емес, онда деп есептеуге болады. Осыған байланысты
теңдеудің сол жағын бағалау үшін Бернулли теңсіздігін пайдалануға болады:
.
Демек, теңсіздігі орындалады. Егер алынған теңсіздік берілген теңдеумен салыстырылса, онда Бернулли теңсіздігі теңдеуге айналғаны анық және бұл тек x = 0 болғанда ғана мүмкін. Теңдеуге ауыстыру арқылы х = 0 теңдеуінің түбір екеніне көз жеткіземіз. Жауабы: x = 0.
