Мысал 2.10.1. кез келген нақты оң сандар үшін теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеңіз.
Дәлелдеу. келесі теңсіздіктер орындалады:
Мысал 2.10.2. кез келген нақты оң сандар үшін
теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеңіз.
Дәлелдеу
Мысал 2.10.3. Үшбұрыштың тік бұрышынан жүргізілген биссектрисасы сол төбеден жүргізілген медиана мен биіктік арасындағы бұрышты екіге бөлетінін дәлелдеңдер.
Дәлелдеу. ABC тікбұрышты үшбұрышын қарастырайық (8-суретті қараңыз).
Сурет 8. Тікбұрышты үшбұрыштағы байланыстар
Тік бұрыштың тік бұрышын құрайтын төбесінен жүргізілген осы үшбұрыштың биіктігін CH, биссектрисасын CL, ал медианасын CM арқылы бегілейік. Аталған элементтердің ұзындығы коэффициентті дәлдігі бойынша, -2, -1, 2 ретті үшбұрыштың катеттерінің орташа дәрежелі ұзындықтарының мәндерімен өрнектеледі. AC = b, BC = a деп есептесек, онда , .
Үшбұрыштың биссектрисасының қасиетіне байланысты қарама-қарсы қабырғасын көрші қабырғаларына пропорционал кесінділерге бөлетіндігін көрсету үшін мынадай қатынастың дұрыстығын тексеру жеткілікті.
(*)
HL және LM-ді a және b арқылы өрнектейміз. CH биіктігінің белгілі қасиетіне байланысты бізде
Сонымен қатар, қатынасынан екендігі шығады.
Демек,
Енді LM ұзындығын өрнектейтін болсақ:
Сонымен, (*) теңдігінің сол жағы келесі түрде өрнектеледі:
Енді теңдеудің оң жағын түрлендірейік:
қатынасы орнатылды, яғни есеп шығарылды.
Мысал 2.10.4.Теңсіздікті дәлелдеңдеу керек: (х,у>0)
Дәлелдеу. Екі жағын квадраттаймыз, сонда
Дәлелдеу керегі осы болатын.
Мысал 2.10.5. АВСД трапециясының диагоналдары О нүктесінде АО:ОС=3:1 қатынасында қиылысады және АОД үшбұрышының ауданы 36-ға тең. Трапецияныңауданын табыңыз.
