Мысал 2.12.2. Қабырғалары AB = a болатын ABCD тіктөртбұрышы берілген; BC = b. ABCD тіктөртбұрышының сыртынан тағы тіктөртбұрыштар сызылған. Сол сызылған тіктөртбұрыштардың әрқайсысының бір қабырғасы ABCD тіктөртбұрышының бір төбесінен өтетіндей болсын. Сырттай сызылған тіктөртбұрыштың ауданы ең үлкен болатындай тіктөртбұрышты анықтап, осы ауданды табыңыз.
Шешуі. Берілген тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары a және b болсын (10-сурет), ал берілген тіктөртбұрышқа сырттай тағы бір тіктөртбұрыш сызылғанжәне сызылған тіктөртбұрыштардың сәйкес қабырғаларының арасындағы бұрышы болсын.
Сурет 10
Сонда сырттай сызылған тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары
ал оның ауданы
.
Мұндағы айнымалы болып тұрған көбейтіндісі. Осы көбейтіндінің максималды мәнін табуымыз керек.Тригонометрияның негізігі формуласы sin²a + cos²a = 1- екендігінен, шығады. Сонда
Шыққан теңсіздік теңдікке болғанда ғана айналады. та бар (өйткені, шартқа сәйкес, )
Демек, сырттай сызылған тіктөртбұрыштың ауданы ең үлкен болуы үшін, оның қабырғалары берілген тіктөртбұрыштың қабырғаларымен 45° бұрыш жасайды. Бұл тіктөртбұрыштың шаршы болатындығы көрініп тұр, ал оның ауданын табатын болсақ .
Жауабы: Ауданы болатын шаршы.
Мысал 2.12.3. Мынадай - үшбұрыштың қабырғалары үшін төмендегі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіздер
Шешуі. төмен қарайғы дөңес функцияны қарастырайық. Үшбұрыштың нүктелерін мынадай деп есептейікғ ал салмақтары мына түрде болсын: және Йенсен теңсіздігін қолданайық, және екендігі белгілі. Сонда
, осыдан
немесе
.
Мысал 2.12.4. қандай да бір көпбұрыштың қабырғалары, ал P - оның периметрі болсын.Мынадай теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңіздер:
