Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым



бет7/30
Дата17.06.2018
өлшемі2,51 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   30

Үшбұрыштың ішкі бұрышымен сыбайлас бұрышты үшбұрыштың сыртқы бұрышы дейді.




Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың болатыны туралы
Айталық, бізде АВС үшбұрышы және а сәулесі бар болсын (3, а-сурет). АВС үшбұрышын басқаша орналастырайық: оның А төбесі а сәулесінің бас нүктесімен беттессін, В төбесі а сәулесінде жатсын, ал С төбесі а сәулесі мен оның жалғасына қатысты берілген жарты жазықтықта жатсын. Орны өзгерген үшбұрыштың осы жаңа қалыптағы төбелерін А1, В1, С1 деп белгілейік (3, б-сурет).


А1В1С1 үшбұрышы АВС үшбұрышына тең.
АВС үшбұрышына тең және берілген а сәулесіне қатысты көрсетілген қалыпта орналасқан А1В1С1үшбұрышының бар болуын біз қарапайым фигуралардың негізгі қасиеттерінің қатарына жатқызамыз. Бұл қасиетті былай тұжырымдаймыз:
Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналақан оған тең үшбұрыш бар болады.


Теоремалар және дәлелдемелер
Қандай да бір геометриялық фигураның қасиеті туралы тұжырымның дұрыстығы пайымдау жолымен анықталады. Бұл пайымдау дәлелдеме деп аталады. Дәлелденетін пікірдің өзі теорема деп аталады. Мысал келтірейік.
Теорема 1. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (4-сурет). а түзуі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. А және В нүктелері әр түрлі жарты жазықтықтарда жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.

Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС

кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады (4, а-сурет).

Егер С нүктесі В нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС кесіндісі а түзуімен қиылысады, ал ВС кесіндісі қиылыспайды (4, б-сурет).

Екі жағдайда да а түзуі АС не ВС кесінділерінің тек біреуін ғана қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.


Теореманың тұжырымдамасы әдетте екі бөлімнен тұрады. Бір бөлімде

берілгендер туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың шарты деп аталады. Екінші бөлімде нені дәлелдеу керек екені туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың қорытындысы деп аталады. 1.теореманың шарты - түзу үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейді және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы - бұл түзу үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды.
Үшбұрыш аксиомасы

Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді екі-екіден қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны айтады.



Үшбұрыштар теңдігінің белгілері
Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі
Теорема 2 (екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі).

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС және А1В1С1 үшбұрыштарында А=А1, АВ = А1В1, АС = А1С1 болсын (5-сурет). Үшбұрыштар тең болатынын дәлелдейміз.

Айталық, А1В2С2 - АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, С2 төбесі С1 төбесімен бір жарты жазықтықта жатсын (6, а-сурет).



А1В1= А1В2 болатындықтан, В2 төбесі В1 төбесімен беттеседі (6, б-сурет).

В1А1С1 =В2А1С2 болғандықтан, А1С2 сәулесі А1С1 сәулесімен беттеседі

(6, в-сурет). А1С11С2 болғандықтан, С2 төбесі С1 төбесімен беттеседі

(6, г-сурет).

Сонымен, А1В1С1 үшбұрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.




Теоремаларды дәлелдеуде аксиомаларды пайдалану
Теоремаларды дәлелдегенде аксиомаларды және бұрын дәлелденген

теоремаларды пайдалануға болатынын білеміз. Әдетте дәлелдеу кезінде аксиоманың тізімдегі нөміріне емес, оның мазмұнына сүйенеміз. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісін дәлелдегенде біз дәл осылай жасадық (2-теорема). Осы дәлелдеуді, онда пайдаланылған аксиомаларды көрсете отырып, тағы талдап шығайық.

Дәлелдеу мынадай сөздермен басталады: «Айталық, А1В2С2 үшбұрышы АВС үшбұрышына тең болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, ал С2 төбесі С1 төбесімен А1В1 түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын».

Аксиома бойынша мұндай үшбұрыш бар екенін білеміз.

Әрі қарай А1В11В2 болғандықтан, В1 және В2 төбелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде кесінділерді өлшеп салу аксиомасы

пайдаланылады.



Одан кейін, В1А1С1 = В2А1С2 болгандықтан, А1С2 және А1С1 сәулелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде бұрыштарды өлшеп салу аксиомасы пайдаланылады.

Ақырында, А1С1 = А2С2 болғандықтан, С1 және С2 төбелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде тағы да аксиома пайдаланылады.



Теореманың бұл дәлелдемесі тек қана аксиомаларға сүйенетінін көріп отырмыз.

Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі
Теорема 3 (бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі).

Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары сәйкесінше екінші үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Айталық, АВС және А1В1С1 - екі үшбұрыш, оларда АВ = А1В1, А = А1 және В= В1 болсын (8-су-рет). Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдейік.

Айталық,А1В2С2 – АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, ал С2 төбесі С1 тебесімен А1В1 түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын.



А1В2 = А1В1 болғандықтан, В2 төбесі В1 төбесімен беттеседі. В1А1С2= В1А1С1 және А1В1С2= А1В1С1 болғандықтан,

А1С2 сәулесі А1С1 сәулесімен беттеседі, ал В1С2 сәулесі В1С1 сәулесімен беттеседі. Бұдан С2 төбесі С1 төбесімен беттесетіндігі шығады.

Сонымен, А1В1С1 үшбұрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек, АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.



Оқытудың жаңа технологиясын пайдалану - сапалы білім негізі
Тең бүйірлі үшбұрыш
Оқулық бойынша өз беттеріңше қалай дайындалуға болады.
Пифагор теоремасы
Теорема 30. бұрыштьң косинусы тек оның градустың өлшеуішіне ғана тәуелді болады.
Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерініц квадраттарының қосындысына тец.
Тік бұрышты үшбұрыштарды шешу
Математика сабағын компьютер арқылы

Каталог: uploads -> doc -> 0ae2
doc -> Ғарыш әлеміне саяхат
doc -> Сабақ тақырыбы: Шерхан Мұртаза «Ай мен Айша» романы Сабақ мақсаты: ҚР «Білім туралы»
doc -> Сабақтың тақырыбы Бала Мәншүк ( Мәриям Хакімжанова) Сілтеме
doc -> Ана тілі №2. Тақырыбы: Кел, балалар, оқылық Мақсаты
doc -> Сабақ жоспары «Сәулет және дизайн» кафедрасының арнаулы пән оқытушысы, ҚР «Еуразиялық Дизайнерлер Одағының» мүшесі: Досжанова Галия Есенгелдиевна Пәні: Сурет және сұңғат өнері
doc -> Сабақ Сабақтың тақырыбы : Кіріспе Сабақтың мақсаты : «Алаштану» курсының мектеп бағдарламасында алатын орны, Алаш қозғалысы мен Алашорда үкіметі тарихының тарихнамасы мен дерекнамасына қысқаша шолу
doc -> Тәрбие сағаттың тақырыбы: Желтоқсан жаңғырығы
doc -> Сабақтың тақырыбы : Әбунасыр Әл- фараби Сабақтың мақсаты
doc -> Сабақ жоспары Тақырыбы: Үкілі Ыбырай Мектеп:№21ом мерзімі
0ae2 -> Сабақ Тақырыбы: Дауыссыз л мен р әріптері. 163-167 жаттығу. Мұғалім Сабақтың тақырыбы: Дауыссыз л мен Р. 163-167 жаттығу


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   30


©engime.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет