Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым
жүктеу/скачать 2,51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналақан оған тең үшбұрыш бар болады
- Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
- Үшбұрыштар теңдігінің белгілері Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі
- Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
- Теоремаларды дәлелдеуде аксиомаларды пайдалану
- Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі
|
Үшбұрыштың ішкі бұрышымен сыбайлас бұрышты үшбұрыштың сыртқы бұрышы дейді. Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың болатыны туралы Айталық, бізде АВС үшбұрышы және а сәулесі бар болсын (3, а-сурет). АВС үшбұрышын басқаша орналастырайық: оның А төбесі а сәулесінің бас нүктесімен беттессін, В төбесі а сәулесінде жатсын, ал С төбесі а сәулесі мен оның жалғасына қатысты берілген жарты жазықтықта жатсын. Орны өзгерген үшбұрыштың осы жаңа қалыптағы төбелерін А1, В1, С1 деп белгілейік (3, б-сурет). 
А1В1С1 үшбұрышы АВС үшбұрышына тең. АВС үшбұрышына тең және берілген а сәулесіне қатысты көрсетілген қалыпта орналасқан А1В1С1үшбұрышының бар болуын біз қарапайым фигуралардың негізгі қасиеттерінің қатарына жатқызамыз. Бұл қасиетті былай тұжырымдаймыз: Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналақан оған тең үшбұрыш бар болады. Теоремалар және дәлелдемелер Қандай да бір геометриялық фигураның қасиеті туралы тұжырымның дұрыстығы пайымдау жолымен анықталады. Бұл пайымдау дәлелдеме деп аталады. Дәлелденетін пікірдің өзі теорема деп аталады. Мысал келтірейік. Теорема 1. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды. Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (4-сурет). а түзуі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. А және В нүктелері әр түрлі жарты жазықтықтарда жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады. Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады (4, а-сурет). Егер С нүктесі В нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС кесіндісі а түзуімен қиылысады, ал ВС кесіндісі қиылыспайды (4, б-сурет). Екі жағдайда да а түзуі АС не ВС кесінділерінің тек біреуін ғана қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Теореманың тұжырымдамасы әдетте екі бөлімнен тұрады. Бір бөлімде берілгендер туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың шарты деп аталады. Екінші бөлімде нені дәлелдеу керек екені туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың қорытындысы деп аталады. 1.теореманың шарты - түзу үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейді және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы - бұл түзу үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды.
Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді екі-екіден қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны айтады. Үшбұрыштар теңдігінің белгілері Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі Теорема 2 (екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі). Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады. Дәлелдеу. Айталық, АВС және А1В1С1 үшбұрыштарында  А=А1, АВ = А1В1, АС = А1С1 болсын (5-сурет). Үшбұрыштар тең болатынын дәлелдейміз.
Айталық, А1В2С2 - АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, С2 төбесі С1 төбесімен бір жарты жазықтықта жатсын (6, а-сурет). А1В1= А1В2 болатындықтан, В2 төбесі В1 төбесімен беттеседі (6, б-сурет). В1А1С1 =В2А1С2 болғандықтан, А1С2 сәулесі А1С1 сәулесімен беттеседі
(6, в-сурет). А1С1=А1С2 болғандықтан, С2 төбесі С1 төбесімен беттеседі (6, г-сурет).
Сонымен, А1В1С1 үшбұрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді. Теоремаларды дәлелдеуде аксиомаларды пайдалану Теоремаларды дәлелдегенде аксиомаларды және бұрын дәлелденген теоремаларды пайдалануға болатынын білеміз. Әдетте дәлелдеу кезінде аксиоманың тізімдегі нөміріне емес, оның мазмұнына сүйенеміз. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісін дәлелдегенде біз дәл осылай жасадық (2-теорема). Осы дәлелдеуді, онда пайдаланылған аксиомаларды көрсете отырып, тағы талдап шығайық. Дәлелдеу мынадай сөздермен басталады: «Айталық, А1В2С2 үшбұрышы АВС үшбұрышына тең болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, ал С2 төбесі С1 төбесімен А1В1 түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын». Аксиома бойынша мұндай үшбұрыш бар екенін білеміз. Әрі қарай А1В1=А1В2 болғандықтан, В1 және В2 төбелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде кесінділерді өлшеп салу аксиомасы пайдаланылады. Одан кейін, В1А1С1 = В2А1С2 болгандықтан, А1С2 және А1С1 сәулелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде бұрыштарды өлшеп салу аксиомасы пайдаланылады.
Ақырында, А1С1 = А2С2 болғандықтан, С1 және С2 төбелерінің беттесетіндігі тұжырымдалады. Бұл жерде тағы да аксиома пайдаланылады. Теореманың бұл дәлелдемесі тек қана аксиомаларға сүйенетінін көріп отырмыз. Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі Теорема 3 (бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша үшбұрыштардың теңдік белгісі). Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары сәйкесінше екінші үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады. Дәлелдеу. Айталық, АВС және А1В1С1 - екі үшбұрыш, оларда АВ = А1В1, А = А1 және В= В1 болсын (8-су-рет). Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдейік.
Айталық,А1В2С2 – АВС үшбұрышына тең үшбұрыш болсын, оның В2 төбесі А1В1 сәулесінде жатсын, ал С2 төбесі С1 тебесімен А1В1 түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жатсын. А1В2 = А1В1 болғандықтан, В2 төбесі В1 төбесімен беттеседі. В1А1С2= В1А1С1 және А1В1С2= А1В1С1 болғандықтан,
А1С2 сәулесі А1С1 сәулесімен беттеседі, ал В1С2 сәулесі В1С1 сәулесімен беттеседі. Бұдан С2 төбесі С1 төбесімен беттесетіндігі шығады. Сонымен, А1В1С1 үшбұрышы А1В2С2 үшбұрышымен беттеседі, демек, АВС үшбұрышына тең болады. Теорема дәлелденді.
жүктеу/скачать 2,51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
