Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым
Үшбұрыштың биіктігі, биссектрисасы және медианасы
жүктеу/скачать 2,51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Тең бүйірлі үшбүрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да, биіктігі де болып табылады.
- Үшбұрыштар теңгінің үшінші белгісі
Үшбұрыштың биіктігі, биссектрисасы және медианасы. Үшбұрыштың берілген төбесінен түсірілген биіктігі деп осы төбеден үшбүрыштық қарсы жатқан қабырғасын қамтитын түзуге жүргізілген перпендикулярды айтады. 12-суреттен сендер екі үшбұрышты көріп отырсыңдар, 
олардың В және В1 төбелерінен биіктіктер жүргізілген. 12, а-суретте биіктіктің табаны үшбұрыштың қабырғасында жатыр, ал 12, б-суретте үшбұрыш қабырғасының созындысында жатыр. Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы. деп үшбұрыш бұрышының биссектрисасының осы төбені қарсы жатқан қабырғадағы нүктемен қосатын кесіндісін айтады (13, а-сурет). Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесіндіні айтады (13, б-сурет). Тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының катеті Теорема 6 (тең бүйірлі үшбұрыштың мединасының қасиеті). Тең бүйірлі үшбүрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да, биіктігі де болып табылады. Дәлелдеу. АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш, ал СD - оның табанына жүргізілген медианасы болсын (14-сурет). Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша САD және СВD үшбұрыштары тең. (Оларда АС=ВС, өйткені АВС үшбұрышы тең бүйірлі. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштар болғандықтан,  САD=CВD, АD және ВD қабырғалары тең, өйткені D нүктесі - АВ кесіндісінің ортасы).
Үшбұрыштардың теңдігінен келесі бұрыштардың теңдігі шығады: АСD= ВСD, АDС= ВDС. АСD және ВСD бұрыштары тең болғандықтан, СD биссектриса болады. АDС және ВDС бұрыштары сыбайлас және тең болғандықтан, олар - тік бұрыштар, сондықтан СD үшбұрыштың биіктігі болады. Теорема дәлелденді.
Есеп 2. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына қарсы жатқан төбесінен жүргізілген биссектрисасы оның медианасы да, биіктігі де болып табылатынын дәлелдеу керек. Шешуі. АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбүрыш, ал СD - оның биссектрисасы болсын (15-сурет). АСD және BСD үшбұрыштары бірінші белгі бойынша тең. Олардың СD қабырғасы ортақ, АС = ВС, өйткені олар тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғалары, ал С төбесіндегі бұрыштары тең, өйткені СD - биссектриса. Үшбұрыштардың теңдігінен АВ=ВD екені шығады. Демек, СВ - АВС үшбұрышының медианасы. Ал тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиеті бойынша СD биіктік те болып табылады. Үшбұрыштар теңгінің үшінші белгісі Теорема 7. (үшбұрыштардың үш қабырғасы бойынша теңдік белгісі). Егер бір үшбұрыштың үш қабыргасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабыргасына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады. Дәлелдеу. Айталың, ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында АВ = А1В1, АС = А1С1, BC = B1C1 болсын (16-сурет). Үшбұрыштар тең екенін дәлелдеу керек. Үшбұрыштар тең емес деп жориық. Сонда A A1 , ВВ1 , СС1, болсын. Әйтпесе, олар бірінші белгі бойынша тең болар еді.
Айталық, А1В1С1 - ABC үшбұрышына тең үшбұрыш болсын: оның C2 төбесі С1 төбесімен А1В1 түзуіне қатысты бір жарты жазықтықта жатсын (16-суретті қараңдар) . 
D нүктесі - С1С2 кесіндісінің ортасы болсын. Сонда А1С1С2 және В1С1С2- үшбұрыштары тең бүйірлі, ал С1С2 бұларға ортақ табан болады. Сондықтан бұлардың A1D және B1D медианалары биіктіктер де болып табылады. Демек, A1D және B1D түзулері С1С2 түзуіне перпендикуляр болады. A1D және B1D түзулері беттеспейді, өйткені А1, В1, D нүктелері бір түзуде жатпайды. Ал С1С2 түзуінің D нүктесі арқылы оған тек қана бір перпендикуляр түзу жүргізуге болады. Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді. 
Есеп 3. ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында АВ = А1В1, AC = A1С1 С=C1 = 90°.  АВС = А1В1С1 екенін дәлелдеу керек.
Шешуі. ABC және А1В1С1 - берілген үшбұрыштар болсын (17-сурет). СВА үшбұрышына тең CBD үшбұрышын, С1A1B1 үшбұрышына тең C1D1B1 үшбүрышын салайық. АВD жәнеА1В1D1 үшбұрыштары үшінші белгі бойынша тең. Есептің шарты бойыншаАВ=А1В1, AD =A1D1, өйткені АС=А1С1; BD=B1D1, өйткені BD=AB, B1D1 = А1В1. ABD жәнеА1В1D1 үшбұрыштарының теңдігінен A=A1 екендігі шығады. Шарт бойынша АВ=А1В1, AC = А1С1 ал дәлелдегеніміз бойынша A= A1. Олай болса, бірінші белгі бойынша АВС=А1В1С1.
жүктеу/скачать 2,51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|