Математика пәні бойынша Республикалық оқушылар олимпиадасының аудандық кезеңі 2016-2017 оқу жылы

7. 
   Середина стороны вписанного четырехугольника лежит на серединном перпендикуляре к стороне . Докажите, что равноудалена от середин дуг и .
   

8. 
   Найдите все пары целых чисел , удовлетворяющих уравнению
   

9. 
   На крупной конференции переводчиков некоторые знают по несколько языков. Известно, что казахский знают 2016 переводчиков, русский — 2016 переводчиков, и английский знают тоже 2016 переводчиков. При каких натуральных значениях из этой группы всегда можно выбрать несколько переводчиков, чтобы среди них было ровно знающих казахский, ровно знающих русский и ровно знающих английский?
   

10. 
    Докажите, что цифра единиц квадрата натурального числа равна 6 тогда и только тогда, когда цифра десятков квадрата нечетна.
    

11. 
    В городе Одностороннем постоянно ведутся дорожные работы. Первого числа каждого месяца дорожное управление выбирает некоторые улицы города и вводит на них одностороннее движение, ремонтируя вторую половину дорожного полотна, а в конце месяца снова открывает эти дороги. Все операции проводятся так, что проезд между любыми двумя перекрестками в городе остается возможным. Известно, что каждые 10 лет дорожное покрытие города полностью обновляется. Докажите, что можно одновременно на каждой улице города ввести одностороннее движение так, что проезд между любыми двумя пунктами сохранится.
    

12. 
    Найдите все функции , удовлетворяющие соотношению
    

для всех .

4. 
   Известно, что числа , и являются рациональными. Обязательно ли, что тоже является рациональным числом?
   

4. 
   Треугольник вписан в окружность . Хорда этой окружности является биссектрисой треугольника и пересекает в точке . Хорда окружности перпендикулярна стороне и пересекает её в точке . Найдите , если .
   

4. 
   Найдите все функции , удовлетворяющие соотношению
   

для всех .