Математика пәні бойынша Республикалық оқушылар олимпиадасының аудандық кезеңі 2016-2017 оқу жылы

4. 
   Доказать, что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.
   

5. 
   Вычислите сумму
   

6. 
   Решите в натуральных числах уравнение .
   

4. 
   Әрқайсысы басқа дәл төртеуін суретке түсіре алатындай, алаңға алты суретке түсірушілерді орналастыруға болама? ( және суретке түсірушілері бір-бірін суретке түсіре алады, егер кесіндісінде басқа суретке түсіруші жоқ болса.)
   

5. 
   Үш сан , және жай сан болатындай барлық натурал санын табыңыз.
   

6. 
   Кез келген екі апельсиннің арасында кем дегенде екі алма болатындай, қатарға 4 апельсин мен 15 алманы қанша әртүрлі тәсілмен орналастыруға болады (барлық апельсиндер және алмалар бірдей)?
   

4. 
   Шеңберге іштей сызылған төртбұрышының қабырғасының ортасы болатын нүктесі қабырғасына жүргізілген орта перпендикулярда жатыр. нүктесі және доғаларының ортасынан бірдей қашықтықта екенін дәлелдеңіз.
   

4. 
   теңдеуін қанағаттандыратын барлық бүтін жұптарын табыңыз.
   

4. 
   Ірі аудармашылар конференциясында кейбірі бірнеше тіл біледі. Қазақ тілін 2016 аудармашы, орыс тілін — 2016 аудармашы, және ағылшын тілін 2016 аудармашы білетіні белгілі. -ның қандай мәндерінде, осы топтың ішінен әрқашанда дәл қазақша білетін, дәл орысша білетін және дәл ағылшынша білетін бірнеше аудармашыны таңдауға болады?
   

4. 
   Натурал санның квадратының бірлік цифрі 6 болса, онда осы квадраттың ондық цифрі тақ болатынын дәлелдеңіз, және кері тұжырымды дәлелдеңіз.
   

4. 
   Біржақты қаласында әрдайым жол жұмыстары жүріп жатады. Әр айдың бірінші күні жол басқару қызметі қаланың кейбір көшелерін таңдап, ол көшелердің екінші бөлігін жөндеп, біржақты қозғалыс енгізеді, ал айдың соңында осы жолдарды қайтадан ашады. Барлық амалдарды қаланың ішіндегі кез келген екі қиылыстың арасында жол болып қалатындай жасайды. Әр 10 жыл сайын қаланың жолдық төсемі толығымен жаңартылатыны белгілі. Кез келген екі қиылыстың арасында жол болып қалатындай, бір уақытта қаланың әр көшесінде біржақты қозғалыс енгізуге болатынын дәлелдеңіз.
   

4. 
   Бүкіл үшін
   

қатынасын қанағаттандыратын барлық функциясын табыңыз.