Методика отбора и испсжшвания историко-научного материала в прсцессе обучения математике в школе
§ 4. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ КАК ОДНОГО ИЗ
жүктеу/скачать 212,88 Kb.
|
Документ Microsoft Word
§ 4. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ КАК ОДНОГО ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ Как уже отмечалось во введении нашего исследования элементы теории чисел богаты своей историей. В пункте 4.1 параграфа рассмот¬рел предмет данного раздела математики, а в пункте 4.2 - общие представления о развитии теории чисел как одного из разделов матема¬тики. Отобранный здесь историко-научный материал является тем идеаль¬ные средством обучения для формирования представлений о развитии ма¬тематики, в частности, о развитии теории чисел. 4.1 Как известно, первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счёта, возникающих в примитивной форме на сравни-тельно ранних ступенях развития человеческого общества в процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появляется как результат постепенного абстрагирования. Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной форме математиками давно ушедшх поколешй, занижает большое место в со¬временной математике, составляя основное содержание одного из её ве¬дущих разделов, который мы называем теорией чисел. «Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства целых чисел». [25, с. 3] . В теории чисел, естественно, выделяются и рассматриваются в первую очередь те проблемы, которые достаточно глубоко связаны с изучаемыми объектами и важны для построения математики в целом. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. Слово «арифметика» в переводе с греческого языка означа¬ет «числовое искусство» и происходит от греческого слова «аргО^юфу, означающего «число», и хреческого слова «Щ(угр>, означающего «искусство». В арифметике изучаются простейшие свойства чисел и пра¬вила вычислений. Более глубоко свойства чисел изучаются в теории чи¬сел [29, с.53] . В XVIII в. русские, немецкие и французкие математики рассматривали обычную арифметику как науку о числах и их применени¬ях. «Арифметика, есть такая наука, - писал Л.Эйлер, - которая пока¬зывает свойства чисел и притом подаёт некоторые правила, способные к исчислению или решению наиболее в общем житии встречающихся задач». Цит. но: [81, с.39]. В теорию чисел включают значительно более широкий круг вопро¬сов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. А.А.Бухштаб (1905-1990) [20] предлагает современную теорию чисел разбить на сле¬дующие разделы: 1) элементарная теория чисел (теория сравнений, теория форм, неопределённые уравнения). К этому разделу относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным развитием теории делимости, и во¬просы о представимости чисел в определенной форме. Более общей явля¬ется задача решения систем неопределенных уравнений. Этот раздел ус¬ловно называют «элементарная теория чисел», поскольку здесь часто применяют обычные арифметические и алгебраические методы исследова¬ния; 2) алгебраическая теория чисел. К этому разделу относят вопро¬сы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел; 3) Диофантовы приближения. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением приближения действительных чисел рациональными дробями. К диофантовым приближениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей вопросы изучения арифметической природа различных классов чисел; 4) аналитическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы теории чисел для изучения которых используются методы математическо¬го анализа. Далее А.А.Бухштаб говорит и о том, что «разделение теории чисел на такие разделы не является стандартным» [21, с. 9] . Иногда выделя¬ют как особую часть теории чисел геометрическую теорию чисел или из общего крута вопросов теории диофантовых приближений выделяют теорию трансцендентных чисел. Надо, кроме того, иметь в виду, что часто приходится иметь дело с исследованиями, которые нельзя ограничивать рамками одного определенного раздела [20] . В своем диссертационном исследовании мы в основном будем зани¬маться вопросами первого раздела теории чисел, а именно, вопросами элементарной теории чисел, так как элементы этого раздела изучаются в школе. Остановимся подробнее на истории развития теории чисел как од¬ного из разделов математики. 4.2 Как известно, в развитии математики выделяют четыре основ¬ных периода (акад. Колмогоров А.Н.): период накопления математиче¬ских сведений, период математики постоянных величин, период матема¬тики переменных величин и период современной математики. Первый период начался с древнейших времен и закончился в VII- VI вв. до н.э. Он связан с практическими вычислениями и измерениями, с формированием понятий числа и фигуры. Этот период включает в себя математику Древнего Египта и математику Древнего Вавилона. К этому периоду относятся и многие вопросы, составляющие пред¬мет одной из современных математических наук, - теории чисел (Приложение 1). 4.2.1 Математика древнего Египта Большинство математических текстов, сохранившихся в памятниках древнего Египта, написаны на папирусе. Папирус хрупок, поэтому со-хранились только те тексты, которые были положены в пирамиды. Важ-нейшими, из дошедших до нас математических текстов, являются так на-зываемые - папирус Ринда (Райнда) и Московский папирус. Анализ математических текстов этих двух папирусов позволяет ут-верждать, что в этот период всё внимание сосредоточено на вычислени¬ях с конкретными количествами; числа как таковые, равно как и методы решения, не становятся ещё предметом рассмотрения, задачи группиру¬ются поэтому не по методам решения, а по темам (задачи на припёк, задачи на ёмкость зернохранилищ, задачи на площадь поля и т.д.) . Ка¬ждая задача решается заново, без каких либо пояснений в числах [111]. Математика древнего Вавилона Источниками для изучения математики Древнего Вавилона являются математические клинописные тексты, обнаруженные при археологических раскопках. Известно примерно 150 математических задач с текстами и 200 с числовыми таблицами (таблицы умножения, таблицы обратных вели¬чин, служащие для замены деления умножением, таблицы квадратов, ку¬бов и др.) . Для истории математики математические клинописные тексты имеют большое значение; в них, впервые, встречаются позиционная сис¬тема счисления и квадратные уравнения. Анализ задач, решаемых в вавилонских клинописных текстах, пока-зывает, что, с одной стороны, они так же как и задачи в древнееги¬петских папирусах, являются чисто практическими вычислительными за¬дачами и так же изложены догматически, без каких-либо пояснений. От¬личие состоит в том, что, искусство счёта у вавилонян более совер¬шенное, а решаемые математические задачи значительно разнообразнее и сложнее. С другой стороны, в математике Древнего Вавилона мы можем наблюдать начавшееся разделение математики на арифметику и геомет¬рию, зачатки алгебры и теории чисел, а также появление первых «теоретических» задач, т.е. задач, не связанных непосредственно с практикой, а вызванных внутренними потребностями самой математики [77]. 4.2.2 Период математики постоянных величин Период развития математики с VI в. до н.э. по XVI в. н.э. при¬нято считать периодом математики постоянных величин. Он включает в себя математику Древней Греции, эллиннистических стран и Римской им¬перии, математику средневекового Китая, математику средневековой Ин¬дии, математику стран ислама, математику средневековой Европы и ма¬тематику эпохи Возрождения [72]. Математика Древней Греции, Эллинистических стран и Римской им¬перии Новое направление в развитии математики внесли учёные Древней Греции. Коренное преобразование математики по традиции единодушно приписывают Пифагору (VI в. до н.э.) . Вот, например, что об этом пи¬шет Прокл (V в. н.э.): «Пифагор преобразовал математику... рассмат¬ривая её принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с не¬материальной, интеллектуальной точки зрения...» [72, с. 11]. С именем Пифагора связывают учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах. В школе Пифагора (VI-V вв. до н.э.), была построена первая тео¬рия отношений, сделано очень важное для дальнейшего развития матема¬тики открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, разработана теория делимости, основана геометрическая алгебра, в ко¬торой задачи решаются построением с помощью циркуля и линейки. В результате персидских завоеваний Александра Македонского (IV в. до н.э.), весь Ближний восток оказался в руках греков. Началась эпоха эллинизма. Появились новые центры эллинистической математики - Сиракузы и Александрия. Сиракузы дали Архимеда (III в. до н.э.), который использовал метод неделимых и метод исчерпывания, предвосхи¬тившие дифференциальное и интегральное исчисление, а в Александрии работали Евклид (¡V в. до н.э.) и Эратосфен (III в. до н.э.). Евк¬лид систематизировал достижения греческих математиков в «Началах», где в частности мы уже встречаем ряд основных положений теории дели¬мости, а Эратосфен дал способ нахождения простых чисел (Приложения 1, 3). Со II в. до н.э. наступает спад в развитии греческой математи¬ки, вызванный началом разрушительных войн, приведших к созданию Рим¬ской империи. Только в начале нашей эры, греческая математика вновь стала оживать прежде всего благодаря математикам Александрийской школы. Уже в I в. н.э. в Александрии, центре культурной жизни того времени, работают такие математики как Никомах (I-II вв.)- автор труда «Введение в арифметику», который содержит обзор начал теории чисел; Герон (I в.); Диофант (III в.) - автор сочинения «Арифметика». Эта книга сыграла большую роль в дальнейшем развитии той части теории чисел, которая занимается решением уравнений в це¬лых числах (Приложения 1, 3). Математика средневекового Китая В течение нескольких столетий с «римским миром» сосуществовал «китайский мир». О состоянии математических знаний в Древнем Китае позволяет судить замечательный памятник - сочинение «Математика в девяти книгах», составленная по более ранним источникам II-I вв. до н.э. [146] . Период расцвета древнекитайской математики наступил в - X-XIII вв. Среди ведущих математиков этого периода - Цинь Цзюшао и Ян Хуэй [77, с. 18] . С именем Цинь Цзюшао связывают так называемую «китайскую теорему об остатках», так как среди его задач были зада¬чи, сводящиеся к нахождению чисел, дающих при делении на различные делители данные остатки. Ян Хуэй работал с десятичными дробями, ис¬пользуя запись похожую на современную. Исследование математики древ¬него и средневекового Китая показывает, что до XIV в. она развива¬лась преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов. Наиболее значительными из этих алгоритмов является метод «ФАН-ЧЭН» - решения системы линейных уравнений и метод «ТЯНЬ-ЮАНЬ» приближен¬ного решения алгебраических уравнений. Важнейшим достижением китай¬ской математики было также введение отрицательных чисел. Математика средневековой Индии О начальном периоде математической культуры в Индии достаточных данных не имеется. Простейшие дроби использовались в Индии задолго до нашей эры. Современная общепринятая десятичная система счисления индийского происхождения. Крупнейшие индийские математики V-XII вв. - Ариабхата (V-VI вв.), Брахмагупта (VII в.), Магавира (IX в.), Бха- скара (XII в.) (Приложения 1, 3). Индийские математики оперировали с целыми и дробными числами методами, близкими к современным. Решались многие задачи на пропор- иум, тройное правило и проводились процентные вычисления. Важнейшими достижениями индийской математики являются: создание арифметики на основе десятичной позиционной системы счисления, разработка тригоно-метрии, создание развитой алгебраической символики. Математика стран ислама В VII в. мир был поражен необыкновенно быстрым возвышением Арабской империи. Сторонники ислама менее чем за сто лет овладели колоссальной территорией. Образовались научные центры: Багдад - сто¬лица Халифата, Бухара и Хорезм в Средней Азии, Каир в Египте, Кор¬дова в Испании, Газна на территории Афганистана, Исфахан на тер¬ритории Пакистана, Марага в Азербайджане. Там работали, такие из¬вестные математики как: ал-Хорезми (787-ок.850), Омар-Хайям (1040— ок1123), Насир ад-Дин ат-Туси (1201-1274), ал-Каши (?-ок.1436) (Приложения 1, 3). Главное творение, достигнутое математиками стран ислама, - соз¬дание алгебры как науки об уравнениях и разработка тригонометрии как самостоятельного раздела математики, а также разработка теории па-раллельных. Но не менее важным было то, что арабские математики пе-реписывали, комментировали и совершенствовали результаты греческой математики, переняли от индийцев их десятичную позиционную систему счисления и все это послужило основой для последующего развития ма-тематики в Европе. Математика в средневековой Европе Время с У-У1 вв. до ХУ-ХУ1 вв. именуется средними веками. Для развития математики в средневековой Европе главную роль сыграли пе¬реводы на латинский язык сочинений арабских математиков. Благодаря работе переводчиков и переписчиков европейцы познакомились с сочине¬ниями Архимеда, Евклида, Диофанта и других греческих математиков. В Европе вплоть до XVII в. развитие теории чисел, как впрочем и всей математики, было очень медленным. В этот период в основном раз-вивалась практическая арифметика действий. Из работ этого времени наибольший след в дальнейшем развитии теории чисел оставили значи¬тельные для этой эпохи работы Леонардо Пизанского (ок. 1170-1250). Одна из важнейших его работ - «Книга абака». В ней автор излагает заимствованные из арабских источников приемы вычислений, однако им сделаны и существенные усовершенствования. Например, при сложении дробей используется наименьшее общее кратное знаменателей, а про¬верка действий производится не только, как это делали индийцы с помощью девятки, но и с использованием некоторых других модулей. Труд по тем временам был грандиозным [24, с.8]. Автор его известен в истории математики еще и под вторьм именем - Фибоначчи. Интерес, пробудившийся у математиков средневековья к творениям древних авторов, и вызванное им развитие самостоятельного творчества у европейских ученых особенно сильно проявилось в XV и XVI веках, когда под влиянием особых политических и экономических факторов Ев¬ропа вступила в исторический период, получивший наименование эпохи Возрождения наук и искусств. Математика эпохи Возрождения В Х^ХУТ вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции, Германии, а с конца XVI в. ив Голландии. Математика впер¬вые выходит за пределы знаний, полученных в наследство от древних греков и народов Востока. Именно в это время повсеместно вводится пришедшая в Европу от арабов индийская десятичная позиционная систе¬ма счисления, вводятся десятичные дроби, отрицательные, иррациональ¬ные и мнимые числа, создается развитая алгебраическая символика. То¬гда же были решены в радикалах алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней, разработаны плоская и сферическая тригонометрии, значи¬тельно усовершенствованы вычислительные методы. В разработку именно этих вопросов внесли свой вклад такие мате-матики как М.Штифель (ок. 1486-1567) - немецкий математик, С.Ферро (ок. 1465-1526) - итальянский математик, Н.Фонтане (ок. 1499-1557), вошедший в историю под именем Тарталья - итальянский математик, Д.Кардано (1501-1575) - итальянский математик, Л.Феррари (1522-1565) - итальянский математик, Р.Бомбелли (ок. 1530-1572) - итальянский ма¬тематик, Н.Шюке (ок.1445-ок.1500) - французский математик, С.Стенин (1548-1620) - голландский математик [72] . 4.2.3 Период математики переменных величин К XVII в. создаются как теоретические, так и практические пред-посылки для математического описания движений. Изучение движения, изучение переменных величин становится главной задачей математики. Начинается период математики переменных величин. Его принято условно разделять на математику XVII в. и математику XVIII в. Математика XVII века В этот период в математике на первый план выдвигается изучение движения. Его первым математическим описанием явилась аналитическая геометрия Р.Декарта (1596-1650) и П.Ферма (1601-1665). В работах И.Ньютона (1643-1727) и Г.Лейбница (1646-1716) созда¬ются основы дифференциального и интегрального исчисления. Остановимся более подробно на развитии теории чисел. В настоящем смысле теорию чисел как науку надо считать начиная с работ французского математика Пьера Ферма (1601-1655), которому принадлежит ряд выдавшихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Наибольшей известно¬стью пользуются следующие результаты [86]: 1. Малая теорема Ферма. Если р - простое число и а - любое на¬ Р туральное число, то разность а - а - делится на р. Например, если 5 а—8 и р=5, то получаем число 8 - 8=32760, делящееся на 5. 2. Всякое простое число вида 4п + 1, есть сумма двух квадра- 2 2 тов. Например, 13 = 3 + 2 а , 2 3. Общее решение уравнений х - а-у =1 в целых числах. п п Л 4. Великая теорема Ферма. При п > 2 - уравнение х + у =г , не имеет натуральных решений. т 5. Ошибочное утверждение Ферма. Выражение 2 +1, при Ш - любом натуральном числе, представляет всегда простое число. Например, 2+ +1=5, но 2 +1=4294967297=641- 6700417 - не является простым числом, что было установлено Л.Эйлером. К сожалению, почти все утверждения П.Ферма были оставлены без доказательства. Математика XVIII века Остановимся на развитии теории чисел в этот период. Продолжая исследования П.Ферма по теории делимости чисел, Российский ученый Леонард Эйлер (1707-1783), большая часть работ которого была написа¬на в Петербургской Академии наук, нашел доказательства теорем Ферма, 2т показал неверность утверждения Ферма о том, что выражение 2 + 1г где т=1,2,3... всегда дает простое число [46]. А знаменитую вели¬кую теорему Ферма доказал для п=3, п=4. Л.Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Он начал с теории степенных вычетов. Эта теория исследует ос¬татки (вычеты); которые получаются, если делить степени фиксирован¬ного натурального числа а на простое число р. Далее Эйлер занялся квадратичными вычетами, (а - называется квадратичным вычетом просто¬го числа р, если вычет а такой же как у некоторого квадрата) . Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений 2-й сте¬пени с двумя неизвестными. Очень большую роль в упорядочении элемен¬тарной теории чисел, сыграла и введенная Эйлером функция ф(п) , ко¬торая определяется следующим образом. При п=1, она равна 1, а для любого натурального числа п, большего 2, равна количеству натураль¬ных чисел, меньших п и взаимно простых с п. Например, пусть п=12. Взаимно простыми с числом 12 и меньшим его являются числа 1,5,7 и cLz d.rr i -i 11. Поэтому Ф (22) =4. Если п=р1-рг•... •рк, то ф(п) =п • (1- Д ) • (1- ~г )-...- (1- Например, 12=2¿-3, ф(22)=22 • (1- J ; - (1- ^ )=12-¡- 2 Часть работ Эйлера посвящена разложению чисел в суммы различно¬го вида (т.е. аддитивным задачам) . Эйлеру принадлежит инициатива соз¬дания и второй части теории чисел - аналитической теории чисел, в которой глубочайшие тайны целых чисел, например, распределение про¬стых чисел в ряду всех натуральных чисел, получаются из рассмотрения свойств некоторых аналитических функций. У Эйлера мы впервые встре¬чаемся с идеей применения методов математического анализа к задачам теории чисел. После работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и XIX вв., в той или иной степени занимаются вопросами теории чисел. В ча¬стности, существенный след в развитии теории чисел оставил француз¬ский математик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), развивший дальше мето¬ды Эйлера. Лагранж, занявший место Эйлера в Берлинской академии на¬ук, когда Эйлер уехал оттуда в Петербург, рассматривал вопрос о представлении чисел в виде бинарной квадратичной формы: ах +Ьху+су, где ar Ь, с - целые числа, доказал теорему о предста¬вимости чисел в виде суммы четьрех квадратов, решил общее уравнение 2-й степени и, в частности, уравнение Пелля, т.е. уравнение х - г -ау=1 и провел существенные исследования по теории непрерывных дро¬бей. V Большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел оказали и работы французского математика Андриена Мари Лежандра (1752-1833) по теории неопределенных уравнений высших степеней. Первый система¬тический курс теории чисел был опубликован А.М.Лежандром. В 1798 г. - I издание, в 1880 - II издание, в 1830 - III издание книги Лежанд¬ра «Теория чисел». В этой книге были изложены результаты Эйлера, Лагранжа и самого автора: первое неполное доказательство квадратич¬ного закона взаимности, асимптотические формулы для числа простых чисел в натуральном ряде и арифметических прогрессий, аналитическая запись решета Эратосфена. Лежандр также доказал великую теорему Ферма для п = 5. Большой вклад в развитие теории чисел внес великий немецкий ученый, которого при жизни называли королем математики, Карл Фрид¬рих Гаусс (1777 - 1855) . Работы этого математика имели особенно большое значение для всей теории чисел. Он в своем труде «Арифметические исследования» успешно применил теорию чисел 1с теоре¬тическому решению древней задачи о построении правильного 17- угольника с помощью циркуля и линейки. Гаусс ввел в теорию чисел по¬нятие сравнения (без этого названия и обозначения для целых чисел а а, Ь, т а = Ь (т) О (а - Ъ) ; т ; сравнения и некоторые их свойства были у Эйлера и Лагранжа) . Гаусс рассматривал сравнения первой и второй степеней, сравнения высших степеней и их свойства. Гаусс наряду с изучением обычных целых чисел начал рассматривать также и арифметику чисел, получивших название целых гауссовых чисел, а имен¬, <2 но чисел вида а + Ы, где а и Ь - обычные целые числа, а 1 = -1. Эти его исследования положили начало алгебраической теории чисел. 4.2.4 Период современной математики В этот период П.С. Александров [1] вьщеляет три основных собы¬тия, которые являются определяющими для развития математики. Первое событие - возникновение проективной геометрии и начавшаяся в связи с ней постепенная аксиоматизация геометрии. Второе крупное событие в развитии математики этого периода - переустройство математического анализа, связанное в первую очередь с именами О.Коши, К.Вейерштрасса, Ю.Дедекинда, Г.Кантора и Г.Римана (Приложение 1) . Наконец, третье направление, третье событие в математике, самое позднее - возникновение современной, так называемой, абстрактной ал¬гебры и все более возрастающее влияние алгебры на самые различные отделы математики. Математика XIX века После работ Гаусса, на которых мы уже останавливались выше, ис-следования по теории чисел приобретают все увеличивающийся размах. Стало развиваться новое направление теории чисел, изучающее арифме¬тику числовой прямой. Уже Л.Эйлер отмечал, что квадратные корни из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную математическую фор¬мулировку после работ французского ученого Жозефа Лиувилля (1809— 1882), который ввел понятие алгебраических и трансцендентных чисел; с помощью целых дробей доказал существование трансцендентных чисел и привел примеры. Теория алгебраических чисел была построена в работах Э.Куммера (1810-1893) и Л.Дирихле (1805-1859), развитая затем Л.Кронекером (1823-1891), Ю.Дедекиндом (1831-1916) и Е.И.Золотаревым (1847-1878) [72]. Совершенно неожиданный и более сильный результат получил выдаю¬щийся немецкий математик Георг Кантор (1845-1918). Исходя из резуль¬татов созданной им теории множеств, он доказал, что трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических. После работ Лиувилля математики направили свои усилия на поиски новых трансцендентных чисел. Первую брешь в этом направлении пробил французский математик Шарль Эрмит (1822-1901) . Он доказал трансцен-дентность числа е. Карл Линдеман (1852-1939) показал трансцендентность числа 71 Тем самым было доказано, что число 7С нельзя связать с рациональными чис¬лами никакими алгебраическими соотношениями. Отсюда немедленно сле¬довала неразрешимость древней задачи квадратуры вруга циркулем и ли¬нейкой. Затем немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815-1897) дока¬зал трансцендентность числа si.no; и СОБо( почти для всех алгебраиче¬ских а. Продолжается изучение свойств целых чисел. Особенно надо отме¬тить работы Л.Дирихле, П.Л.Чебыпева и Г.Римана по теории простых чи¬сел, явившиеся фундаментом всей аналитической теории чисел. Немецкий ученый Лежен Дирихле (1805-1859) впервые доказал существование бес¬конечного множества простых чисел в арифметических прогрессиях обще¬го вида и дал асимптотические оценки ряда важнейших числовых функ¬ций. Чрезвычайно важное значение имеют работы великого российского математика Пафнутия Львовича Чебышева (1821-1894). Чебышев первый дал оценку роста функции 7С (х), выражающей количество простых чисел не превосходящих х. Его работы по теории простых чисел являются ос¬новой для целого ряда последующих исследований в этой области. Не¬мецкий математик Г.Риман (1826-1866) дал основные идеи использования функций комплексного переменного в теории распределения простых чи¬сел, и эти идеи в работах французского математика Жака Ддамара (1865-1963) и бельгийского математика Шарля-Жана де Ла Валле-Пуссена (1866-1962), и ряда других математиков далеко цродвинули эту тео¬рия. В конце XIX - начале XX вв. теория чисел продолжала развиваться по многим направлениям, причем для решения отдельных задач создава¬лись общие методы, применимые к широкому 1фугу задач, иногда очень удаленных от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений [72]. Математика XX века В XX веке стали применяться так называемые тригонометрические суммы, простейшие из которых рассматривал еще К.Гаусс. Но глубоко разработал метод тригонометрических сумм и сумел с помощью этого ме¬тода решить ряд задач Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983). В самые последние годы большие успехи в аналитической теории чисел были достигнуты благодаря глубоким идеям, внесенным Юрием Вла¬димировичем Линником (1915-1972) . Эти идеи сближают некоторые разде¬лы аналитической теории чисел с теорией вероятностей [131] . Лев Генрихович Шнирельман (1905-1938) в начале 30-х гг. разра¬ботал общий метод изучения аддитивных свойств последовательностей натуральных чисел. Идеи, заложенные в работах Л.Г.Шнирельмана, не только принесли ему успех в решении ряда конкретных задач, но и вне¬сли в теорию чисел новую проблематику, связанную с аддитивными свой¬ствами множества натуральных чисел. Проблемы, возникшие на базе ра¬бот Л.Г.Шнирельмана, разрабатывались в исследованиях А.Я.Хинчина, Г.Мана, Н.П.Романова, П.Эрдеша и др. Большие успехи в XX в. были достигнуты и в алгебраической тео¬рии чисел, и в теории диофантовых приближений. Анализ конкретного историко-научного материала о развитии тео¬рии чисел, проведенный в параграфе, и составленная на его основе сводка основных событий в развитии теории чисел, выполняющая роль справочника (Приложение 1), могут быть использованы в практике рабо¬ты учителя при включении историко-научного материала на основе хро¬нологических таблиц для формирования представлений о развитии мате¬матики. вывода ПО ГЛАВЕ I В первой главе на основе анализа психолого-педагогической, на¬учно-методической и учебной литературы мы установили следующее: 1. Важнейшей стороной становления личности является воспитание мировоззрения, одним из аспектов которого - формирование представле¬ний о развитии математики. Решению поставленной задачи может помочь включение историко-научного материала с использованием хронологиче¬ских таблиц. 2. Целенаправленная работа по включению историко-научного мате¬риала с учетом хронологических данных по формированию представлений о развитии математики свидетельствует о необходимости разработки подходов к отбору и практическому использованию историко-научного материала, при изучении элементов теории чисел в 5-6 классах, что и было сделано в § 3. В качестве одного из средств использования исто¬рико-научного материала могут быть хронологические таблицы, так как хронология обладает большими возможностями по формированию представ¬лений о развитии математики. 3. Реализация второго вывода потребовала анализа конкретного историко-научного материала о развитии теории чисел, что и сделано в § 4. Выполненная в первой главе теоретическая работа позволила раз-работать методику использования историко-научного материала с учетом хронологии и реализовать ее на практике в ходе обучающего экспери¬мента, о чем и будет идти речь в главе II. ГЛАВА. II. ПОДХОДЫ К ПРАКТИЧЕСКОМУ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИСТОРИКО-НАУЧНОГО МАТЕРИАЛА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ жүктеу/скачать 212,88 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|