Методика отбора и испсжшвания историко-научного материала в прсцессе обучения математике в школе
§ б. описание и результаты эксшриментальной работы
жүктеу/скачать 212,88 Kb.
|
Документ Microsoft Word
§ б. описание и результаты эксшриментальной работы Экспериментальная работа, цель которой состояла в подтверждении выдвинутой гипотезы о том, что если в процесс обучения математике в школе включить историко-научный материал с использованием хронологи-ческих таблиц, то это будет способствовать усвоению математических понятий и формированию представлений о развитии математики, включала три этапа. Опишем каждый из них. 6.1 Описание и результаты констатирующего эксперимента Первый этап экспериментальной работы (1994-1995 учебный год) носил констатирующий характер. На этом этапе были выявлены трудно¬сти, которые учителя чаще всего испытывают при реализации принципа историзма в школьной практике. Во введении они были сформулированы. Цель работы на данном этапе состояла в следующем: 1) установить, проводится ли в девятилетней школе целенаправ¬ленная работа по систематическому использованию историко-научного материала для формирования представлений о развитии математики; 2) установить, какие средства используют учителя при включении историко-научного материала в рассматриваемые темы; 3) определить уровень овладения учащимися такими понятиями,, как: единицы измерения исторического времени, хронологическая после-довательность, движение времени, являющиеся основой любой хронологи-ческой таблицы. Кратко опишем работу по каждому направлению. 6.1.1 Для достижения цели, а именно: установить, проводится ли в девятилетней школе целенаправленная работа по систематическому ис-пользованию историко-научного материала для формирования представле¬ний о развитии математики, нами проводились наблюдения уроков мате¬матики в 5 - 9 классах школ №№ 72, 163, 404 г. Санкт-Петербурга. Наблюдая уроки в школе, мы обращали внимание на следующее: - используется ли историко-научный материал на уроках математи¬ки учителями на разных этапах урока (актуализация знаний, изучение нового материала, закрепление изученного); - каково содержание историко-научного материала, используемое учителями на уроках математики. Результаты проведенных на 69 уроках наблюдений позволили нам констатировать: 1. На уроке математики историко-научный материал используется редко. Учитель, как правило, дает краткую историческую справку на самом первом уроке по данному предмету или ограничивается лишь упо¬минаниями фамилий ученых при введении новых математических понятий и идей. 2. Целенаправленного включения историко-научного материала с целью формирования представлений о развитии математики в 5-6 классах не проводится. 6.1.2 Следукхций вопрос, на который требовалось ответить в ходе констатирующего эксперимента - какими средствами обучения пользуются учителя при включении историко-научного материала на уроке при суще-ствующей системе обучения. Как было отмечено в главе I, средства обучения по составу объ¬ектов разделяются на материальные и идеальные. При включении историко-научного материала на уроке материальны¬ми средствами могут быть: учебники, учебные пособия, плакаты с вы-сказываниями великих математиков, портреты, таблицы, стенная печать и т.д. Идеальные средства обучения это: речь, письмо, условные обозна-чения, задачи и т.д. Вообще, обучение представляет собой коммуникацию, в ходе кото¬рой происходит обмен информацией между участниками учебного процес¬са, протекающий в виде беседа, сообщения, доклада, лекции. Поэтому, при включении историко-научного материала идеальными средствами обу¬чения могут быть: сообщение учителя, сообщение ученика, задает с ис¬торическим содержанием и другие. Наблюдения уроков математики в 5 - 9 классах, беседы с учителя¬ми математики Ленинградской области и г. Санкт-Петербурга позволили нам установить, какими из основных средств обучения пользуются учи¬теля математики при включении историко-научного материала на уроках математики и во внеклассной работе. Для этого была предложена учителям математики анкета: 1. Используете ли Вы историко-научные сведения: - на уроках; - на факультативных занятиях; - на кружках? 2. Если Вы используете историко-научные сведения на уроках, то это происходит: - при введении нового материала; - по ходу изучения данной темы школьного курса математики; - при повторении. 3. Какие средства обучения Вы используете при ознакомлении уча-щихся с историко-научньм материалом: - сообщение учителя; - сообщение учащихся; - стенная печать; - хронологические таблицы; - портреты математиков; - что-то другое? Анализ ответов учителей на предложенные в анкете вопросы, бесе¬ды с учителями и наблюдения уроков показали, что включение историко- научного материала имеет место, но не систематическое; на уроке, в основном, используются краткие сообщения учителя. Полученные выводы позволили нам утверждать, что несмотря на большое число опубликованных работ по проблеме исследования, акту¬альными остаются проблемы отбора содержания учебного материала с ис¬торическим содержанием, методика включения его в учебный процесс. В школьной практике при изучении математики, еще слабо исгаэдьзуются хронологические таблицы, несмотря на большие возможности хронологии для формирования у учашихся представлений о развитии математхцеи. 6.1.3 Следующий вопрос - определить уровень овладения учащимися такими понятиями как: единицы измерения исторического времеци, хро-нологическая последовательность, движение времени, являющееся осно¬вой любой хронологической таблицы. Для ответа на этот вопрос нами была проведена в конце учебного года в 6 классах письменная работа, в которую были включены следую¬щее вопросы: 1. К какому веку принадлежит 213 год до н.э.? 2. К какому веку принадлежит 800-й год? 3. Когда начнется XXI век? 4. Годы жизни Архимеда - 287-212 до н.э. Сколько лет прошло по¬сле рождения Архимеда? 5. Укажите верное высказывание: а) Пифагор был знаком с Евклидом; б) Эратосфен и Пифагор переписывались; в) Архимед читал труды Рене Декарта; г) Леонард Эйлер жил в Санкт-Петербурге. Данную работу выполняли 114 учашихся. Для заданий 1-4, нами определялось количество правильных от-ветов. Для задания 5 - оцределялось количество положительных отве¬тов на каждый вопрос. Результаты анализа выполнения работы учащимися приведены ниже в таблицах 11, 12. Таблица 11 Номер задания 1 2 3 4 Количество правильных от-ветов на во-прос, в % 42 36 17 64 Номер задания 5 Вопрос а б в г Количество положительных ответов на вопрос, в % 18 37 22 23 Как видно из таблиц, уровень владения учащимися понятиями, яв-ляющимися основой хронологии (перечень каких-либо событий в порядке последовательности во времени), - низкий. Так, например, результаты выполнения заданий 1 и 2 показывают, > ™ что учащиеся испытывают трудности при определении века погоду, а при -г' выполнении задания 3, большинство учащихся посчитали, что XXI век начнется 1 января 2000 года. Это неверно. Дело в том, что 2000 год принадлежит XX веку (ведь нулевого года в первом веке не было), по¬этому правильный ответ таков: XXI век начнется - 1 января 2001 года. Вывод по данному «положению» не изменяется и после проверки его в старших классах. Анализ ответов учащихся 7-9 классов на те же во¬просы показал, что учащиеся плохо владеют понятиями: единицы измере¬ния исторического времени, хронологическая последователь¬ность , движение времени. Таким образом, полученные в ходе констатирующего эксперимента результаты дали нам основание присоединиться к выводам, данным ранее в нашей исследовательской работе: 1. Существующая в настоящее время организация использования ис- торико-научного материала при обучении математике не способствует формированию у школьников представлений о развитии математики. 2. Возможности включения элементов хронологии в историко- научный материал (т.е. в любой факт имеющий непосредственное отноше¬ние к истории математики) на уроке математики не реализуются. 3. Сообщаемый учащемся историко-научный материал недостаточен для формирования представлений о развитии математики. 4. Следует проводить специальную целенаправленную работу по формированию у школьников представлений о развитии математики, сис-тематически включая историко-научный материал с элементами хроноло¬гии. 6.2 Поисковый эксперимент проводился в 1995 - 1996 гг. в сред¬ней школе № 404 г. Санкт-Петербурга. После того, как нами были сформулированы специфические особен¬ности отбора историко-научного материала для включения в содержание обучения с целью формирования представлений о развитии математики, был отобран экспериментальный учебный материал (Приложения 1, 3) . Затем перед нами встала задача выбора таких средств обучения, которые отвечали бы общедидактическим требованиям и способствовали бы повышению эффективности использования историко-научного материала в курсе математики 5-6 классов, формированию представлений о разви¬тии математики. Одним из таких средств являются хронологические таблицы. Нами был подобран исторический материал, который включался на основе хро-нологических таблиц при изучении элементов теории чисел в 5-6 клас¬сах. Его апробация проходила на этом этапе. На данном этапе теоретические положения конкретизировались в разработанных экспериментальных уроках и внеклассных занятиях: про¬ходила апробация рабочих материалов в различных моделях урока; опре¬делялись основные организационные формы включения хронологических таблиц в традиционную систему обучения. Так, например, в 5 классе при изучении темы «Натуральные числа и число нуль» учащиеся познакомились с римской нумерацией. В одних классах к знакомству с римскими цифрами мы приступали после демонстрации слайда с изображением памятника Петру I, знамени¬того «Медного всадника». Приведем рассказ учителя: «Вы видите памятник первому россий¬скому императору Петру I. К началу его правления Россия безнадежно отставала от передовых стран Европы, но он преобразовал почти всю жизнь страны. При нем создавались металлургические и горные заводы, верфи, пристани, каналы. Он руководил постройкой флота, созданием регулярной армии. Организовал Академию наук. Основал на берегу Бал¬тийского моря новую столицу - Петербург. Скульптор Фальконе воплотил в этом монументе самую суть дея-тельности Петра, что прекрасно выразил А.С.Пушкин, как бы обращаясь к Петру у подножия «Медного всадника»: «О мощный властелин судьбы! Не так ли ты над самой бездной, На высоте уздой железной Россию поднял на дыбы!»... Посмотрите внимательно на памятник, ребята, и попытайтесь рас-шифровать надпись на его гранитном постаменте: PETRO PRIMO CATHARINA SEKUNDA MDCCLXXXI I Смысл первых двух строк учитель сообщает ребятам сразу. Они оз-начают: «Петру Первому - Екатерина Вторая». А что же означает по¬следняя строчка? С этого вопроса начнется наш урок математики. Непосредственно на уроке математики ребята узнают о римских цифрах и рассматривают таблицу их значений: Таблица 13 I V X L С D М 1 5 10 50 100 500 1000 На этом же уроке учащиеся устанавливают, что на памятнике запи¬сано число - 1782 (год открытия монумента) . В других классах знакомство с римскими цифрами происходило на уроке или на кружке при «путешествии» по линии времени (Приложение 3). Проведенный этап эксперимента убедил нас в том, что включение исторического материала с элементами хронологии в курс математики 5- б классов при изучении элементов теории чисел, оказывает существен¬ное положительное влияние на формирование представлений о развитии математики. 6.3.1 При проверке в школе разработанной нами методики исполь-зования исторического материала с учетом хронологии мы отчетливо представляли трудности, стоящие на пути исследователя. Основная трудность - в оценке влияния обучения на мировоззрение учащихся, в частности, на формирование представлений о развитии математики, на устойчивость и прочность формирующегося миропонимания ( в этом, как раз, и состоит главная ценность исторического подхода к изучению важнейших математических понятий, идей, теорий) . Весьма трудно оценить влияние историко-научного материала (т.е. материала, имеющего непосредственное отношение к истории математики) на качество знаний учашихся, так как здесь играют роль ряд факторов, которые с трудом поддаются учету - педагогическое мастерство учите¬ля, его отношение к использованию историко-научного материала на уроке, знание истории математики, его взаимоотношение с классом и т.д. Поэтому мы отказались от постановки педагогического эксперимен¬та в его развернутом виде. Вряд ли целесообразно было сравнивать ме¬жду собой результаты обучения в классах, где курс математики насыщен историческим материалом и, где исторический материал практически от¬сутствует. Нами было организовано экспериментальное преподавание те¬мы «Делимость натуральных чисел» курса математики 5-х классов. Мы проводили его на протяжении трех учебных лет (1995-1996, 1996-1997, 1997-1998) в пятых классах школы № 404 г. Санкт-Петербурга. В процессе экспериментального преподавания мы хотели выяснить: 1.Чем руководствоваться при отборе содержания историко-научного материала: по существу, по уровню сложности, по доступности. 2. Возможность сообщения историко-научного материала в учебное время, отведенное для изучения раздела или темы школьного курса ма¬тематики. 3. Влияние знаний исторических сведений на усвоение учащимися основных математических понятий, идей, теорий. 4.Использование учащимися сообщаемого на уроках историко- научного материала для раскрытия основных положений курса математи¬ки. Учет данных положений проводился нами на основе: - тщательного планирования отдельных разделов и тем курса мате-матики с учетом того, чтобы включение исторического материала не привело к увеличению времени, отведенного программой на их изучение и соответствовало бы изучаемой теме или разделу; - тщательной отработки планов уроков, продумывания методических приемов, которые наилучшим образом способствовали бы активизации по-знавательной деятельности учащихся на уроке и отражали специфику ис- торико-научного материала; - проверки усвоения учащимися изученных вопросов математики обычными формами учета. При закреплении материала на уроках, а также в самостоятельные и контрольные работы нами включались и отдельные вопросы, ответы на которые позволили сделать выводы о влиянии исто- рико-научного материала на знания учащихся. 6.3.2 Рассмотрим методику включения историко-научного материала на уроках «Простые и составные числа» из темы «Делимость натуральных чисел» 5-го класса по учебнику И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой. Как уже отмечалось, делимость натуральных чисел является той базой, без которой невозможно усвоение понятия натурального числа, фундаментального понятия, при помощи которого строятся все числовые системы. Кроме того, эта тема обладает значительными возможностями для развития логического мышления учащихся на доступном числовом ма¬териале. Делимость натуральных чисел позволяет также увидеть взаимо¬связь истории и современности (учение о множестве натуральных чи¬сел) . В более старших классах элементы теории делимости представлены в разделах: деление на многочлен, сокращение алгебраических дробей, решение алгебраических уравнений и т.д. Итак, эта тема имеет большое значение не только как самостоятельный набор понятий и фактов, но и как сведения, необходи¬мые для изучения последующего теоретического материала. В результате изучения раздела «Простые и составные числа», учащиеся должны знать, какие натуральные числа называют простыми, какие составными, каким свойством обладает единица. Должны уметь проводить примеры простых и составных чисел, определять, простым или составным будет данное число, используя признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и таблицу простых чисел, которую следует подробно рассмотреть с учащимися. Полезно ее вывесить в классе и использовать при изучении данной и следующих тем. Изучение простых и составных чисел проводилось с рассмотрением истории их развития. Приведем фрагменты уроков, в которых содержится историко- научный материал. Также, приведем хронологическую таблицу, которую учитель использовал при включении историко-научного материала в дан¬ные уроки. Хронологическая таблица была заранее написана на прозрач¬ной пленке и показывалась учащимся через кодоскоп. Таблица 14 Век Место Ученый Годы жизни Что сделано VI в. до н.э. Древняя Греция Пифагор 580-500 Введение понятия «простых чисел» IV в. до н.э. Древняя Греция Евклид 365-300 Доказал, что про¬стых чисел беско¬нечно много Ш-11 вв. до н.э. Древняя Греция Эратосфен 276-194 «Решето Эратосфе- на» - способ для отыскания простых чисел XIX в. Россия П.Л.Чебыпев 1821-1894 Формула для под¬счета количества простых чисел на отрезке натураль¬ного ряда [1; п] XX в. Россия И.М.Виноград ов 1891-1983 Достаточно боль¬шое нечетное чис¬ло можно предста¬вить в виде суммы, 3-х простых чисегй I ,,..|ХмЬ-иЧ ФРАГМЕНТЫ УРОКОВ Тема: Простые и составные числа ( 2 урока) . Урок 1. ' Цели: - ввести понятие простого и составного числа; - ознакомить учащихся с историей простых чисел. 1. При подготовке учащихся к изучению нового материала учитель задает вопросы. - Какое число называют делителем данного числа? (Натуральное число, на которое делится без остатка данное натуральное число, на¬зывают делителем данного числа) - Какое натуральное число будет делителем для каждого натураль¬ного числа? (1 - делитель любого натурального числа) - Установите, какие и сколько различных делителей имеет каждое из чисел 10, 15, 12, 81, 7, 11, 1, записанных на доске? На доске изображена таблица. Учитель слушает ответы учеников и заполняет ее. При необходимости можно повторить формулировки призна¬ков делимости на 2, 5, 3 и 9. Таблица 15 Натуральное число Делители Количество делителей 10 1, 2, 5, 10 . 4 15 1, 3, 5, 15 4 12 1, 2, 3, 4, б, 12 б 81 1, 3, 9, 27, 81 5 7 1, 7 2 И 1, 11 2 1 1 1 2. При изучении нового материала учитель предлагает учащимся посмотреть на таблицу и ответить на вопросы. - Какие числа имеют только два различных делителя? (7, 11) - Назовите числа из таблицы, которые имеют более двух различных делителей? (10, 12, 15, 81) Натуральные числа, имеющие только два различных делителя назвали простыми числами, а числа имеющие более двух различных дели¬телей - составными числами. - Какое число из таблицы нельзя отнести ни к простым, ни к со-ставным числам? (1, т.к. имеет только один делитель) Далее учитель предлагает учащимся сформулировать ответы на во¬просы. - Какие" числа называются простыми? Приведите примеры. (Натуральные числа, которые имеют только два различных делителя: единицу и само себя, называют простыми) При ответе на вопрос ученики приводят примеры: 2, 3, 5, 7, 11... - простые числа. Какие числа называют составными? Приведите примеры. (Натуральные числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными) При ответе на вопрос ученики приводят примеры: 4, 8, 9, 10, 12... - составные числа. 3. На этом уроке учитель сообщает исторические сведения. Всякое составное число, является произведением некоторых про¬стых чисел. Например: 15 = 3*5; 12 = 2-2-3; 26 = 2*13 и т.д. Выхо¬дит, что простые числа - это своеобразные кирпичики, из которых складываются составные числа. Введение понятия цростых чисел связы¬вают с именем древнегреческого ученого Пифагора (580-500 гг. до н.э.), который всегда интересовался свойствами чисел. Другой древнегреческий ученый Евклид (365-ок.300 гг. до н.э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысячелетий основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простим числом - есть еще большее простое число. Примерно через 100 лет после Евклида, древнегреческий ученый Эратосфен (276-194 гг. до н.э.) придумал способ, которым можно из чисел натурального ряда выделить простые числа. Этот способ называют - «решетом Эратосфена». Это кажущееся странным название получено по той простой причине, что Эратосфен прокалывал нанесенные на восковое покрытие составные числа иглой и таблица в конце вычислений напоми¬нала решето. Давайте найдем этим способом все простые числа от 1 до 30. На¬пишите в тетради эти число по 10 в ряд: 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Зачеркиваем единицу, которая не является ни простым, ни состав¬ным числом, затем, подчеркиваем число 2 и зачеркиваем все числа, кратные 2, т.е. все числа таблицы «через одно», начиная с 2. - Какие числа зачеркиваем? (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30) Далее, подчеркиваем следующее за числом 2 не зачеркнутое число - 3 и зачеркиваем все числа, кратные 3. - Какие числа зачеркиваем? (9, 15, 21, 27) Подчеркиваем следукщее за числом 3 не зачеркнутое число - 5 и зачеркиваем все числа, кратные 5. - Какие это числа? (25) - Есть ли составные, среди не зачеркнутых чисел? ( Больше со¬ставных чисел нет) В результате этих действий получаем: Ж23Ж5 ^7/8- 11 >^13 >4" ^ )Ж' 17 19 X У 23 X ^ X X 29^ - Какие числа у нас остались? (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) - Какие они простые или составные? (Эти числа - простые) - Сколько простых чисел находится между 1 и 30? (Между 1 и 30 - десять простых чисел) Дома составьте таблицу простых чисел этим методом от 1 до 100. Сосчитайте сколько простых чисел получится, установите с какого чис¬ла начинается «следуоцее зачеркивание». Урок 2. Цели: - закрепишь понятия простого и составного числа; - продолжить ознакомление учащихся с историей простых чисел. 1. При проверке домашнего задания учашиеся отвечают на следую¬щие вопросы. - Какие числа называются простыми? (Натуральные числа, которые имеют только два различных делителя: 1 и само себя, называются про¬стыми числами) - Какие числа называют составными? (Натуральные числа, которые имеют более двух различных делителей, называются составными числами) - Число 811 - простое. Можно ли утверждать, не производя деле¬ния, что оно не делится на 27? (Можно, так как 811 простое число, то оно делится только на 1 и -811) - Есть ли четные простые числа? Сколько их может быть? Почему? (Число 2 - единственное четное простое число. Других простых четных чисел не может быть, так как они будут иметь хотя бы три делителя: 1, 2, и само себя) - Можно ли, еще найти натуральное число, имеющее только один делитель (кроме единицы) ? (Нет, все остальные натуральные числа име¬ют хотя бы два делителя: 1 и само себя) - Есть ли простые числа, оканчивающиеся цифрой 5? Сколько их может быть? (Единственное простое число 5. Все остальные числа, оканчивающиеся цифрой 5 - составные, они имеют, по крайней мере, три делителя: 1, 5, и самих себя) 2. На этом уроке учитель сообщает исторические сведения. На прошлом уроке мы познакомились с именами: Пифагора, Евклида, Эратосфена - древнегреческих математиков, связанных с развитием по¬нятия простых чисел. Во все последующе времена после Пифагора, Евк¬лида и Эратосфена, ученых увлекала идея более глубокого исследования природы простых чисел. В развитие теории простых чисел внесли свой вклад многие уче¬ные. Среди них - П.Ферма, М.Мерсенн, Л.Эйлер, К.Гольдбах и др., с достижениями которых мы познакомимся на следующих уроках. Сегодня на уроке мы рассмотрим выдающиеся результаты, которые достигли наши отечественные математики - П.Л.Чебышев (1821-1894) и И.М.Виноградов (1892-1985) в теории простых чисел. Если мы посмотрим на таблицу простых чисел, то сможем убедить¬ся, что в промежутке от 1 до 10 имеем 4 простых числа; в промежутке от 10 до 20 имеем 4 простых числа; от 20 до 30 - 2 простых числа; от 30 до 40 - 2 простых числа; от 40 до 50 - 3 простых числа и т.д. Расположение простых чисел в натуральном ряду не отличается законо¬мерностью. Пафнутий Львович Чебышев, российский математик и механик, ака¬демик Петербургской Академии наук, средствами высшей математики от¬крыл формулу, позволяющую приближенно подсчитать количество простых чисел на любом участке натурального ряда. В связи с этой формулой, он в 1850 г. доказал, что между любым натуральным числом, большим 1 и числом вдвое большим данного (например: 2 и 4, 3 и б, 10 и 20 и т.д.), всегда имеется хотя бы одно простое число. Проверьте справедливость этого положения для небольших нату¬ральных чисел. (Например, между б и 12 находятся простые числа 7 и 11. Между 3 и б находится простое число 5) Иван Матвеевич Виноградов установил, что любое достаточно боль¬шое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чи¬сел. Для небольших чисел это можно проверить, например: 31 = 7 + + 11 + 13; 9 = 3 + 3 + 3. В общем виде утверждение до-казывается лишь для больших чисел. Но другое утверждение, что любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел (например: 28 = 11 + 17; 56 = 19 + 37; 924 = 311 + 613 и т.д.) до сих пор не доказано. 3. Далее учитель предлагает учащимся решить задачи. - Среди двузначных простых чисел есть 9 таких, которые остаются простыми после перестановки цифр, например, простое число 13, после перестановки цифр, обращается в простое число 31. Найдите остальные такие числа. (11, 17, 37, 71, 73, 79, 97) - Запишите число, меньшее 50: а) имеющее только два простых делителя; б) имеющее только три простых делителя; в) не имеющее ни одного простого делителя. - Простыми или составными, являются числа - «близнецы». (Числа близнецы - простые, т.к. числами - «близнецами» называются два про¬стых числа, разность которых равна 2) 4. В конце урока учитель предлагает учащимся тест. Тест был разработан с учетом требований, предъявляемых к со-ставлению тестов по математике. Основными из них являются: - задания теста составляются на основе содержания базовой про-граммы и требований к ее усвоению; - простота, краткость условия заданий и однозначность ответа на них в тесте; - обязательное наличие одноуровневых по сложности заданий, дуб-лирующих смысл проверяемого материала; - обязательное присутствие правильного ответа, при случайном характере его расположения в тестах с выбором ответа; - одинаковое количество ответов для выбора в одном и том же тесте [3]. Приведем содержание теста, предложенного учащимся 5-х классов по теме «Простые и составные числа» и удовлетворяющего выше указан¬ным требованиям. ТЕСТ 1. Есть ли четные простые числа? 1) Таких чисел нет. 2) Много. 3) Одно число - 2. 2. Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое число? 1) 0; 5. 2) 2; 4; б; 8. 3) 2; 4; б; 8; 5; 0. 3. Какими цифрами может оканчиваться многозначное простое чис- ло?
1) Любыми. 2) 1; 3; 5; 7; 9. 3) 1; 3; 7; 9.
11?
6. Простым или составным будет число - 10 028 345? 1) Составным. 2) Простым. 7. Кто открыл формулу, позволяющую приближенно подсчитать коли¬чество простых чисел на любом отрезке натурального ряда чисел? 1) Евклид. 2) Эратосфен. 3) П.Л.Чебышев. 8. Какими могут быть числа - «близнецы»? 1) Оба простые. 2) Оба составные. 3) Одно простое и одно со¬ставное . 9. Есть ли между числами 150 -300 простое число? (к таблице простых чисел не обращаться). 1) Да. 2) Нет. 3) Не знаю.- 10. Сколько натуральных делителей имеет число 1? 1) 1 делитель. 2) 2 делителя. 3) Много. Приведенное содержание теста позволяет выяснить степень усвое¬ния учащимися вопросов математики, при изучении которых был исполь¬зован историко-научный материал с учетом хронологии. Для определения показателя усвоения материала подсчитывалось общее число полученных правильных ответов и находилось их отношение: число правильных ответов возможное число правильных ответов В зависимости от значения показателя усвоения материала, выде¬ляют три уровня усвоения текстовой информации (Ю.К.Бабанский, В.П.Беспалько, Б.Н.Порус и др.) : - высокий, если Р > 0,85 - средний, если 0,70 < Р < 0,85 - низкий, если Р < 0,70. Тест, содержание которого приведено выше, был предложен в двух классах (5 «в», 5 «г» школы № 404), в которых проводилось экспери-ментальное преподавание. Анализ результатов проведенного теста пока¬зал, что коэффициент усвоения материала составил 0,85. Расчет велся, с использованием данных таблицы, в которой приведено количество пра¬вильно выполненных заданий теста учащимися. Таблица 16 Число выполнен¬ных заданий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Количество уча-щихся, справив-шихся с данным числом заданий - - - - 3 5 4 16 19 15 Анализ полученных результатов тестирования позволяет утвер¬ждать, что предлагаемое нами содержание историко-научного материала и методика его изложения доступна для учащихся. Однако, метод тестирования обладает рядом недостатков: большая вероятность выбора ответа наугад; проверка лишь конечных результатов действий; невозможность проследить логику рассуждений учащихся; ка-тегоричность оценки выполнения задания - задание выполнено правильно и полностью и задание не выполнено. Поэтому, мы приводим ниже текст контрольной работы по теме «Делимость натуральных чисел» и результа¬ты ее выполнения. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Какие из чисел - 4164, 8563, 5031, 3870 - кратны: а) 2; б) 9? 2. Разложите на простые множители число 195. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел 186 и 456. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел 42 и 105. 5. Покажите, что числа 260 и 117 не являются взаимно простыми. 6. Напишите имена величайших математиков, внесших вклад в раз¬витие теории простых и составных чисел. 7. Не выполняя сложения, определите - простым или составным бу¬дет следующая сумма: 2*3*5'7 + 2. Данная работа была предложена учащимся экспериментальных клас¬сов (5 «в», 5 «г» школы № 404, 62 учащимися) и контрольным классам (5 «а», 5 «б» .школы № 404, 60 учащимися) . Большинство учащихся экспериментальных классов при выполнении третьего и пятого заданий, использовали алгоритм Евклида, с которым они познакомились на одном из уроков при изучении темы «Делимость натуральных чисел». При выполнении шестого задания учащиеся контрольных классов на-зывали Эратосфена. Результаты выполнения учащимися заданий контрольной работы ( в %), приведены в таблицах 17, 18. Таблица 17 Классы Номер задания 1 2 3 4 5 7 ЭК 93 94 87 88 81 70 КК 89 87 71 70 68 52 Таблица 18 Номер за-дания Клас сы Количество названных имен математиков: 0 1 2 3 4 Больше 4 6 ЭК 0 0 12,9 33,9 30,6 22,6 КК 20 70 10 0 0 0 Таким образом, учащиеся экспериментальных классов показали бо¬лее высокие результаты, чем учащиеся контрольных классов. Данные ре¬зультаты дают основания говорить о положительном влиянии сообщаемых учащимся исторических сведений на усвоение учащимися основных мате¬матических понятий, идей, теорий. Также следует отметить, что выпол¬нение контрольной работы учащимися экспериментальных классов показа¬ло умение многих из них использовать сообщаемый на уроках историко- научный материал для решения предложенных заданий. Этим же группам учащихся в конце б-го класса был предложен текст «Из истории чисел», в котором учашимся сообщался историко- научный материал, отобранный с помощью выделенных в нашем исследова¬нии требований. Учащиеся должны были, прочитав текст с историко- математическим содержанием, проанализировать процесс становления на¬учного знания и составить хронологическую таблицу. Текст и результа¬ты выполнения задания, приведены ниже. ТЕКСТ «ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЕЛ» Для выяснения истории формирования понятия числа, используют косвенные данные -данные этнографии и живых языков (грамматические особенности числительных) . Прежде всего выяснилось, что многие племена не могли вести счет и не имели наименований для чисел. Они заменяли счет описанием свойств отдельных предметов. Так, эскимосы не могли сосчитать своих детей (если их было больше 3) . Однако, они замечали отсутствие кого-либо из них, могли также назвать каждого, отмечая их отличительные особенности. Постепенно люди начали использовать для счета камешки, палочки, части собственного тела, в частности, пальцы рук и ног. Так возникли нумерации, основанные на счете пятерками, десятками, двадцатками. Вышесказанное позволяет сделать вывод, что числовой ряд возник не сразу, не целиком. История его формирования длительна и запас употребительных чисел увеличивается лишь постепенно. Долгое время люди даже не задумывались о неограниченности числового ряда. Только в сформировавшихся и прогрессивных цивилизациях стали появляться идеи неограниченности множества целых чисел. Это можно найти в сказаниях о Гильгамеше - герое легенд Двуречья; в рассказах о Будде и пр. Позднее, в Древней Греции идея была развита Архимедом (287-212 гг. до н.э.) . В своем произведении «Псаммит», раздумывая над исчислением песчинок, Архимед предложил прием, который позволил строить и словесно обозначать какие угодно большие числа. Евклид (365-300 гг. до н.э.) доказал бесконечность множества простых чисел; Эратосфен (276-194 гг. до н.э.) указал алгоритм выде¬ления простых чисел («решето Эратосфена»): сначала вычеркнем числа, кратные 2, затем - 3, - 5 и т.д. 1, 2, 3, X 5, Ж, 7, X 11'К 13, у(, ув, 17, 19, Ж Ж 23/ В выше изложенном тексте показана часть пути развития числа. Кроме натуральных чисел, практика заставила ввести и другие числа. Величину при измерении не всегда можно выразить натуральным числом. Для обозначения частей меры появились дроби. Дробные числа были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Десятичные дроби ввел в начале XV в. самаркандский математик ал-Каши. Дальнейшее расширение понятия числа происходит, главным обра¬зом, в связи с потребностями самой математики. Отрицательные числа появились в Древнем Китае в V в. и содержатся в трактате «Математика в 9 книгах». Правда, Диофант ими свободно оперировал еще в III в. С XVII в. отрицательные числа признали европейские математики и стали их широко использовать. Далее, появились мнимые и комплексные числа. Этот процесс никогда не завершится, так как для развития науки и практики нужны новые математические образования и понятия. Учащееся должны были составить хронологическую таблицу, в кото¬рой были бы показаны этапа процесса формирования понятия числа. Результаты, выполнения учащимися данного задания, представлены в Таблице 19. Результаты, приведенные в таблице, позволяют нам сделать вывод, что учащиеся экспериментальных классов лучше умеют систематизировать знания из истории математики, что , в свою очередь, свидетельствует о формировании у учащихся представлений о развитии математики. Таблица 19 Сравнивав- ■ мые классы Число выделенных этапов в хронологической таблице 1 2 3 4 5 6 больше 6 Количество учащихся, выделивших данное число этапов в хронологической таблице ЭК 0 1 3 8 28 14 8 КК 0 8 *9 15 17 8 3 Обобщив результаты, полученные в ходе проведения эксперимен¬тальной работы, можно сделать следующие выводы: 1. Предлагаемая методика доступна и может быть использована при обучении математике. 2. В ходе эксперимента доказана возможность сообщения историко- научного материала в период времени, отведенного программой для изу¬чения раздела или темы школьного курса математики. 3. Отобранный с помощью выделенных в нашем Исследовании требо¬ваний, историко-научный материал способствует формированию у учащих¬ся представлений о развитии математики. 4. Использование разработанной методики, направленной на вклю¬чение историко-научного материала с элементами хронологии, привело к положительным изменениям в уровне усвоения школьниками учебного ма-териала . Таким образом, в ходе экспериментальной работы была подтвержде¬на выдвинутая гипотеза. вывода ПО ГЛАВЕ II В Главе II сформулированы основные положения предлагаемой ме¬тодики и приведена методическая система использования историко- научного материала (на примере изучения элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов). Проведенный эксперимент, описание и результаты которого изложе¬ны в § 6, подтвердили выдвинутую гипотезу. Эксперимент показал, что использование разработанной методики включения историко-научного ма-териала, отобранного с помощью выделенных в исследовании требований, способствует формированию у учащихся представлений о развитии мате¬матики, а также приводит к положительным изменениям в уровне усвое¬ния учебного материала школьниками. заключение В настоящее время идея приоритета развивающей функции обучения по отношению к его чисто информативной функции требует переориента¬ции методической системы обучения математики, т.к. в нашем исследо¬вании математика рассматривается как одна из основ формирования лич¬ности. Особую роль в становлении личности играет формирование науч¬ного мировоззрения, в частности, формирование у учащихся представ¬лений о развитии математики. Этот вопрос может быть частично решен при использовании историко-научного материала с учетом хронологии, т.к. существенной характеристикой развития математики является вре¬мя. Хронология обладает большими возможностями, помогающими формиро¬вать представления о процессе развития науки. В связи с предлагаемым включением историко-научного материала с использованием хронологических таблиц в школьную математику, на ос¬нове проведенного теоретического и экспериментального исследования были получены следуЕстие результаты: 1. Изучено и проанализировано состояние проблемы использования историко-научного материала в теории и црактике обучения математике в средней школе. 2. Рассмотрены основные этапы развития теории чисел на фоне развития математики. 3. Обоснован выбор соответствующего периода обучения математике для данного исследования. 4. Обоснованы требования отбора историко-научного материала для учебного процесса по математике. 5. На основе выделенных требований отбора разработан и экспери-ментально проверен конкретный учебный историко-научный материал для использования при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов. 6. Осуществлено расширение существующей системы включения исто-, рико-научного материала, направленное на реализацию принципа исто¬ризма в учебном процессе, на формирование у учащихся представлений о развитии математики. 7. Проведена экспериментальная проверка разработанной методики использования историко-научного материала с учетом хронологии, при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов. Показаны возможность и эффективность использования историко-научного материала с учетом хронологии. До результатам, полученным в нашем диссертационном исследова- ши, могут быть сделашг следующие вьшодш 1. Использование историко-научного материала в обучении матема¬тике позволяет решить целый круг образовательных и воспитательных задач процесса обучения, в частности, формирование представлений о развитии математики, что способствует становлению личности учащихся. 2. В настоящее время является актуальной необходимость разра¬ботки методики включения историко-научного материала с учетом хроно¬логии, создания методических пособий для учителей и дидактического материала с исторические содержанием. Возникает необходимость в до¬полнении содержания учебников историческими сведениями. 3. В учебном процессе, для ознакомления учащихся с воцросами развития математики, целесообразно использовать хронологические таб¬лицы. библиография: 1. Александров П.С. О некоторых направлениях в развитии матема¬тики и их значение для преподавания//На путях обновления школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1978. - С. 7-13 2. Алексашина Л.Н. Дидактические аспекты преподавания истории //Педагогика. - 1993. - №3. - С. 11-16 3. Алешина Т.В. Тесты в школьном курсе математики//Математи¬ка. Приложение к газете «Первое сентября». - 1993. - №2. - С.; 2 4. Андреевская Н.В., Вернадский В.Н. Методика преподавания ис¬тории в семилетней школе. - М.: Учпедгиз, 1947. - 216 с. 5. Арнхейм Р. Новые очерки по психологии искусства: Пер. с англ. - М.: Прометей, 1994. - 352 с. 6. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика. Учебник для 5 класса средних общеобразовательных учреждений /Под редакцией Н.М. Матвеева - СПб.: «Специальная Литература», 1997. - 296 с. 7. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика. Учебник для 6 класса средних общеобразовательных учреждений/Под редакцией Н.М. Матвеева - СПб.: «Специальная Литература», 1997 - 280 с. 8. Барсуков А.Н. Исторические элементы в курсе математики V - VII//Математика в школе. - 1956. - №1.'- С. 28-37 9. Беседа с министром образования РФ Е.В.Ткаченко//Педагоги - ка. - 1993. - №3. - С. 34-37 10. Бе скин Н.М. О некоторых основных принципах преподавания ма-тематики//Математика в школе. - 1985. - №1. - С. 59-61 11. Блонский П.П. Избранные психологические произведения. - М.: Просвещение, 1964. - 547 с. 12. Бобынин В.В. Цели, формы и средства введения исторических элементов в курс математики средней школы//Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. - СПб.: Тип. «Север», Невский пр., 140-2, 1913. - С. 129-149 13. Боев Г-П. Беседы по истории математики. - Саратов: ОГИЗ, 1947. - 104 с. 14. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. - М.: Просвещение , 1968. - 464 с. 15. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. - Мы. : Высш. Школа, 1979. - 368 с. 16. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов P.C. К вопросу о перестройке общего математического образования//Понышение эффектив¬ности обучения математике в школе; Кн. Для учителя: Из опыта рабо- ты/Сост. Г.Д.Глейзер. - М.: Просвещение, 1989. - 240 с. 17. Боро В., Цагир Д. И др. Живые числа. - М.: Мир, 1985.¬128 с. 18. Боровик О.Г., Гусаков В.А., Юнеева О.Д. Об изучении темы «Сведения из истории»//Математика в школе. - 1991. - №4.- С. 53-57 19. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней шко-ле/Под редакцией А.И. Маркушевича. - М.: Учпедгиз, 1949. - 504 с. 20. Бухштаб A.A. Теория чисел/Учеб, пособие для физ.-мат. Фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с. 21. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса матема¬тики и их исторические аспекты//Математика в школе. - 1988.- №4.- С. 7-13 22. Виленкин Н.Я., Чесноков А.Л., Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика/Учебник для 5 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1990. - 304 с. 23. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С,, Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика /Учебник для 6 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1991. - 256 с. 24.. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. - М.: Просвеще¬ние, 1996. - 320 с. 25. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972» - 198 с. 26. Вопросы конструирования содержания общего среднего; образо-вания. - М.: НИИОП, 1980. - 213 с. 27. Выготский JI.C. Инструментальный метод в психологии //Собрание сочинений: В б-ти Т. - М.: Педагогика. 1982. - Т. 1.- С. 103-108 28. Выготский JI.C. Исторический смысл психологического кризи-са//Собрание сочинений: В б-ти Т. - М.: Педагогика, 1982. - Т. 3. - С. 291-436 29. Выготский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1976. - 336 с. 30. Габай Т.В. Учебная деятельность и ее средства. - М.: Изд-во МГУ,1988. - 254 с. 31. Газман О.С. От авторитарного образования к педагогике сво-боды//Новые ценности образования: содержание гуманистического обра-зования. - 1995. - №2. - С. 16-46 32. Гальперин П.Я. Развитие Исследований по формированию умст-венных действий//Психологическая наука в СССР. - М: Просвещение, 1969. - Т. 1. - С. 231-483 33. Гальперин П.Я. Введение в психологию. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 150 с. 34. Гельман З.Е. История науки и культуры в общеобразовательной школе//Педагогика. - 1993. - №5. - С. 25-28 35. Гиттис Й.В. Методика начального обучения истории. - М.: Уч-педгиз, 1945. - 116 с. 36. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV - VI кл. Посо¬бие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с. 37. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII - VIII кл. По-собие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 240 с. 38. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX - X кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с. 39. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в со-временном мире. - М.: Просвещение, 1982. - 144 с. 40. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в со-временном мире. - М.: Просвещение, 1985. - 192 с. 41. Гнеденко Б.В. Знание истории науки - преподавателю шко¬лы/ /Математика в школе. - 1993. - №3. - С. 30-32 42. Гузеев В.В. Гуманитарная составляющая обучения математике //Математика в школе. - 1989. - №6. - С. 33-35 • 43. Гуманитарные основы гимназического образования/Под. ред. док. пед. наук O.E. Лебедева - СПб.: ЦПИ, 1995. - 228 с. 44. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. - М.: Педаго¬гика, 1986. - 239 с. > 45. Делоне Б.Н. Леонард Эйлер//Квант. - 1974. - №5.-С. 26 -35 46. Депман И.Я. Исторические элементы в преподавании математики в средней школе //Идейное воспитание учащихся в процессе обучения. Труды научно-педагогической конференции учителей. - Л., тип. им. Во¬лодарского, 1948. - С. 360-369 47. Депман И.Я. История арифметики. - М. : Учпедгиз, 1965. - 434 с. 48. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математи¬ки: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. - М.: Просвещение, 1989. - 287 с. 49. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного мате-матического образования//Математика в школе. - 1990. - №6. - С. 2-5 50. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс - основа учебного предмета//Математика в школе. - 1997. - №4. - С. 59-66 51. Дорофеева A.B. Гуманитарные аспекты преподавания математи-ки//Математика в школе. - 1990. - №6. - С. 12-13 52. Драгунова Т. В. Психологические особенности подрост¬ка/ /Возрастная и педагогическая психология. - М.:Просвещение,1979. - С. 101-146 53. Загвязинский В.И. О современной трактовке дидактических принципов//Советская педагогика. - 1978. - №10. - С. 66-72 54. Зорина Л,Я. Системность - качество знания. - М.: : Знание, 1976. - 64 с. 55. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1980. - 79 с. 56. История математики с древнейших времён до начала XIX столе-тия/Под ред. А.П.Юшкевича - М.: Наука, 1970-1972. - В 3-х т. : 57. Карцов В.Г. Методика преподавания истории СССР. - М.: Уч-педгиз, 1951. - 216 с. 58. Кедров Б.М. О повторяемости в процессе развития. - М.: Гос-политиздат, 1961. - 147 с. 59. Кедров Б.М. Наука и учебный предмет.//Советская педагогика. - 1965. - №7. - С. 7-8 60. Клайн М. Математика. Утрата определённости: Пер. с англ./Под ред., с предисл. и примеч. И.М.Яглома - М.: Мир, 1984 - 434 с. 61. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./Под ред., с предисл. В.И.Аршинова, Ю.В.Саккова - М.: Мир, 1988. - 295 с. 62. Кожабаев К.Г. Использование сведений из истории математики в IV - VIII классах//Математика в школе. - 1982. - №2.- С. 43-47 63. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в сред¬ней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с. 64. Круглов B.C. Роль ценностных ориентации в формировании лич-ности школьника//Психологические особенности формирования личности школьника. - М.:АПН СССР, 1983. - С. 4 - 10 65. Круликовский Н.Н. Сообщение сведений из истории математике в средней школе //Воспитание учащихся при обучении математики./Сост. Л.Ф. Пичурин. - М.: Просвещение, 1987. - С. 28 - 31 66. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Про-свещение, 1970. - 128 с. 67. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения: В 2-х Т. - М.: Педагогика, 1983. - Т.2. - 320 с. 68. Лернер И. Я. Развитие мьшшения учащихся в процессе обучения истории. - М.: Просвещение, 1982. - 200 с. 69. Лященко Е.И., Мазаник A.A. Методика обучения математике в IV - V классах. - Мн.: Нар. асвета, 1976. - 222 с. 70. Малыгин К.А. Элементы истории в преподавании математики в средней школе. - М.: Учпедгиз, 1963. - 224 с. j 71. Мантуров О.В. и др. Толковый словарь математический терми¬нов: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1965. - 539 с.1 72. Марков С.Н. Курс истории математики. - Иркутск: Изд-во Ир-кутского университета, 1995. - 248 с. 73. Маркова А.К. Психология обучения подростка. - М.: i Знание, 1975. - 64 с. 74. Маркушевич А.И. О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе//Математика в школе.! - 1950. - №1. - С. 1-4 75. Математика - 5 /Учебник для 5 класса общеобразовательных уч-реждений под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыпина. - М.: Просвеще¬ние, 1994. - 272 с. - 76. Математика -6/Учебник для общеобразовательных учебных заве-дений под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыпина. - М.: Дрофа, 1995. - 416 с. 77. Математика: Школьная энциклопедия/Гл. Ред. С.М.Никольский. - М.: Научное изд-во «Большая российская энциклопедия», 1996.-527 с. 78. Методические рекомендации по курсу математики 5-го класса (Учеб. И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой): Пособие для учите-лей/И.В.Баранова, З.Г.Борчугова, Р.Е.Сокуренко, Н.Л.Стефанова. СПб. : «Специальная Литература» 1997. - 160 с. 79. Методические рекомендации по курсу математики 6-го' класса (Учеб. И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой) : Пособие для учителей/ И.В.Баранова, З.Г.Борчугова, Р.Е.Сокуренко, Н.Л.Стефанова. - СПб.: «Специальная Литература», 1997. - 144 с. 80. Молодший В.H. Элементы истории математики в школеv - M.: Учпедгиз, 1953. - 36 с. 81. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII веке. - М. : Учпедгиз, 1953. - 180 с. 82. Мощанский В.Н. Принцип историзма в методических исследова-ниях//Советская педагогика. - 1967. - №12. - С. 30-38 83. Мощанский В.Н. Гуманитарный аспект при изучении физики в средней школе. - Псков, ПОИУИ, 1994. - 68 с. 84. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика/Учебник для 5 класса средней школы. - М. : Просвещение, 1990. - 304 с. 85. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика/Учебник для 6 класса средней школы. - М. : Просвещение, 1991. - 224 с. 86. Ожигов Е.П. Что такое теория чисел. - М. : Знание, 1970. - 94 с. 87. Ope О. Приглашение в теорию чисел (Библиотечка «Квант». Вып. 3). - М.: Наука, 1980 - 128 с. 88. Педагогика. Учебное пособие для студентов педагохмческих вузов и педагогических колледжей. Под ред. П.И.Пидкасистого. - М. : Роспедагенство, 1996. - 602 с. 89. Петровский A.B. Вопросы истории и теории психологии. - М. : Педагогика, 1984. - 271 с. 90. Пичурин Л.Ф. За. страницами учебника алгебры: Кн. для уча¬щихся 7-9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с. 91. Плоцки А. Стохастика в школе как математика в стадии сози¬дания и как новый элемент математического и общего образования: Ав- тореф. дис. на соиск. ст. док. пед. наук (13.00.02.) - СПб.: 1992. - 52 с. 92. Подашев А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. - М.: Учпедгиз, 1962. - 192 с. 93. Пономарев С.А. О коммунистическом воспитании на уроках ма-тематики//Математика в школе. - 1951. - №3. - С. 8-18 94. Попов Г.Н. Очерки по истории математики. - М.: Петроград, Изд. Л.Ф.Френкель, 1923. -166 с. 95. Примерные программы по математике. Выпуск 1 - М.: ГИЗ. 1920. - 8 с. 96. Примерные программы по математике.-Калуга, ГИЗ, 1920.- 6 с. 97. Проблемы Гильберта/Сборник. Под общ. ред. П.С.Александрова - М.: Наука, 1969. - 239 с. 98. Программы средней школы. Математика. Физика, Черчение. - Свердловск, Уралгиз, 1934. - 33 с. 99. Программы восьмилетней школы. Математика. - М.: Учпедгиз, 1961. - 34 с. 100. Программы средней школы. Математика VIII - X классы. - М.: Учпедгиз, 1962. - 30 с. 101. Программы средней общеобразовательной школы: Математика, - М.: Просвещение, 1991. - 127 с. 102. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. - М.: Просвещение, 1994. - 240 с. 103. Рабинович В. Уроки истории для современной шко- лы//Литературная газета. - 1997. - 20 августа 104. Равкин З.И. Историзм как методологический принцип педаго-гики//Советская педагогика. -1985. -№10. - С. 47-54 105. Резник H.A. Визуальные уроки. Комл. дидакт. матер, к шк. урокам. - СПб.: Свет, 1996. - 80 с. 106. Рихтерман Т.Д. Формулирование представлений о времени у детей. - М.: Просвещение, 1991. - 47 с. 107. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание - М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 328 с. 108. Рыбников К.А. Об историко-матодологических основах матема-тического образования учителей//Математика в школе. - 1982. - №3. - С. 48-49 109. Рыбников К.А. Геометрия: наука и учебная дисципли- на//Математика в школе. - 1983. - №6. - С. 56-62 110. Рыбников К.А. Тригонометрия в школе и в системе на¬ук/ /Математика в школе. - 1984. - №6. - С. 50-56 111. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М. { Изд-во МГУ, 1994. - 496 с. 112. Рыжик В.И. 25 ООО уроков математики: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1993. - 238 с. 113. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 288 с. 114. Самойлов И. Исторический элемент в математике средней шко¬лы/ /Математика в школе. - 1936. - №5. - С. 14-16 115. Селешников С.И. История календаря и хронология. - М.: Нау¬ка, 1977. - 224 с. 116. Скаткин М.Н. Наука и учебный предмет//Советская педагоги¬ка. - 1965. - № 7. - С. 22-25 117. Скаткин М.Н. Совершенствование процесса обучения. Проблемы и суждения. - М.: Педагогика, 1971. - 208 с. 118. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М. : Наука, 1978. - 336 с. 119. Сухомлинский В.А. Рождение гражданина. - М.: «Молодая гвардия», 1971. - 336 с. 120. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и мате-матическом образовании//Математика в школе. -1993. -№4. - С. 3-9 121. Умаров А.П. Педагогические основы использования принципа историзма на уроках математики в средней школе: Автореф. дис.... канд. пед. наук (13.00.02.). - Ташкент, 1989. - 27 с. 122. Фельдштейн Д.И. Формирование личности ребенка в подростко¬вом возрасте. - Душанбе, «Дониш», 1973. - 138 с. 123. Фолта Я., Новы Л. История естествознания в датах: Хронол. обзор: Пер. со словац./Предислов. и общ. ред. А.Н.Шамина. - М.: Про-гресс, 1987. - 495 с. 124. Фоминых Ю.Ф. Формирование коммунистического мировоззрения при изучении математики. - Пермь, ПГПИ, 1987. - 62 с. 125. Фридман JI.M. Психолого-neдагогические основы обучения ма-тематике в школе. - М. : Просвещение, 1983. - 158 с. 126. Фридман Л.М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. - М. : Просвещение, 1991. - 227 с. 127. Хрестоматия по истории математики/Под ред. А.П.Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976 - 1977. - в 2-х т. 128. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние ве¬ка. - М.-Л.: ГОНТИ, 1938 - 204 с. 129. Чебышев П.Л. Черчение географических карт. - Полн. собр. соч. М. - Л.: Изд-во АН СССР. 1951. - Т. 5. - С. 150 - 157 130. Черкасов P.C. История отечественного школьного математиче-ского образования//Математика в школе. - 1997. - №4. - С. 89-92 131. Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. - Минск, Изд-во М-ва высш., сред. спец. и проф. образования БССР, 1963. - 346 с. 132. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. - Минск, Нар. асвета, 1969. - 110 с. 133. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Матема-тика/Учебник - собеседник для 5 класса средней школы. - М. : Просве-щение, 1992. - 319 с. 134. Шеврин Л.Н. Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математи-ка/Учебник - собеседник для 6 класса средней школы. - М. : Просвеще¬ние, 1992. - 224 с. 135. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. - М. : Уч-педгиз, 1940. - 180 с. 136. Шерматова У. Из опыта включения в школьный курс элементов истории математики в средней Азии//Математика в школе. - 1978. -№6. - С. 39-41 137. Щербаков Р.Н. Социокультурные функции истории науки в про-цессе обучения//Вопросы психологии. - 1992. - №1 - 2.- С.67 -73 138. Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагоги¬ке. - М. : Педагогика, 1971. - 348 с. 139. Щукина Г.И. Формирование познавательных интересов учащихся - важный фактор совершенствования современного обучения//Актуальные вопросы формирования интереса в обучении. -М.: Просвещение, 1984. - С. 42 - 85 140. Элементы истории на занятиях по математике в семилетней школе. Методическое письмо. - Воронеж, 1952. - 9 с. 141. Эльконин Д.В., Давыдов В.В. Некоторые психологические во¬просы построения учебных программ. Тез. докл. Второй съезд общества психологов. -М.: Изд. АПН РСФСР, 1963. - 252 с. 142.Эльконин Д.Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте//Вопросы психологии. - 1971.- №4. - С.6-20 143. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352 с. 144. Эрдниев П.М. Математика 5-6/Учебное пособие. - М.: Просве-щение, 1993. - 383 с. 145. Юдин Э.П. Развитие//БСЭ. - 3-е изд. - М.: 1978. - Т. 21. - С. 409 -410 146. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Физ- матгиз, 1961. - 448 с. 147. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Сост. А.П.Савин, В,В,Сташо, А.Ю.Котова; Под, Общ, Ред. 0,Г,}5инн, - М,: ACT, 1996. - 480 с. 148. Ярошевский М.Г., Зорина Л.Я. История науки и школьное обу-чение. - М.: Знание, 1978. - 48 с. хюнолошческий обзор разбития теории чисел Ниже в хронологической последовательности перечислены наиболее важные события в развитии одного из разделов математики (теории чи¬сел) от его зарождения до наших дней. Сводка основных событий в раз¬витии теории чисел, выполняющая роль справочника, может быть исполь¬зована в практике работы учителя при включении историко-научного ма¬ териала в школьный курс математики. Века до н.э. События СЬ - Ь К временам древнего каменного века восходят первые ступени образования понятия числа. Ъ - XXX Развитие пальцевого и узлового счета. Создание пяте¬ричной, десятичной и двадцатеричной системы счисле¬ния. XXX - XVII 1) Вавилонская математика. Шестидесятеричная - первая позиционная система счисления. Клинописные таблички. Таблицы для деления и умножения. Задачи, сводящиеся к решению линейных и квадратных уравнений. 2) Египетская математика. Папирусы «Ахмеса» и «Московский» (около 2000 до н.э.). VI Пифагор Самосский (580-500 до н.э.) основал философ- ско-научную школу, где изучали делимость чисел; раз¬работали теорию пропорций; нашли различные виды сред¬них: арифметическое, геометрическое, и гармоническое; рассматривали числа четные и нечетные, простые и со-ставные, многоугольные и пирамидальные, дружественные и совершенные и т.д. В^школе Пифагора было дано реше¬ние уравнения: х + у — г (Пифагоровы числа) и от¬крыта несоизмеримость отрезков (иррациональные чис¬ла) . IV Евклид Александрийский (365-300 до н.э.). В его глав¬ном труде «Начала», состоящем из тринадцати книг, теоретико-числовые исследования занимают небольшое место. В «Началах» мы встречаем ряд основных положе¬ний теории делимости, доказательство бесконечности множества простых чисел, способ нахождения НОД 2-х чисел. III 1) Архимед из Сиракуз (ок. 287-212) обсуждает пробле¬му бесконечности натурального ряда и построение на¬званий для сколь угодно больших чисел в книге «Об ис- числении песчинок» («Псаммит») . 2) Эратосфен Киренский (276-194 до н.э.) создал спо¬соб нахождения простых чисел (так называемое «решето Эратосфена»). Века н.э. I - II Никомах из Герасы (1-2 вв.) - автор труда «Введение в арифметику», пользовавшегося широкой известностью в Древней Греции. Этот труд содержит обзор начал теории чисел (учение о простых, составных, взаимно простых и других числах, о пропорциях) . III Диофант (вероятно - 3 век) . Теория чисел как особая область математики рассматривается только начиная с работ Диофанта. Большую часть его математического трактата «Арифметика» составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Автор использует не геометрический подход, как это было принято у древних греков - решения Диофанта предвосхищают алгебраиче¬ские и теоретико-числовые методы. Большинство решений задач приводит к неопределенным уравнениям (так назы¬ваемым диофантовым уравнениям) . V 1) Начало расцвета математики в Индии. Возникновение позиционной системы счисления. 2) Ариабхата (476-ок.500) - решение неопределенных уравнений 1-й степени. VI - VIII 1) Брахмагупта (ок. 598-660) - операции с иррацио-нальными и отрицательными числами. Неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени. 2) Разработка современных правил арифметических дей¬ствий с целыми и дробными числами математиками Индии. Тройное правило. Проверка с помощью девятки. IX Начало расцвета математики в странах Ближнего и Сред¬него Востока. Арифметика ал - Хорезми (787-ок. 850) - распространение индийской десятичной позиционной ну-мерации. XII 1) Бхаскара (1114-ок.1178) - автор труда «Венец уче¬ния» («Сиддханта - сиромани»), где он дает правила умножения и деления отрицательных чисел. 2) Начало распространения десятичной позиционной сис¬темы в Европе. 3) Борьба между абацистами и алгоритмиками. XIII Леонардо Пизанский (или Фибоначчи) (1180-1240) . Один из основных трудов Леонардо - «Книга абака» первое в Европе полное изложение арифметики (индийские цифры, числа Фибоначчи) и алгебры. В этой же книге, он пер¬вым опубликовал метод определения простых чисел. XVII Пьер Ферма (1601-1665) . Теория чисел как наука начи¬нается с работ французского математика Ферма. С его именем связаны две знаменитые теоремы: велика я теоре¬ма Ферма и малая теорема Ферма. П.Ферма сумел выде¬лить основные направления в теории чисел и определить перспективы ее развития. XVIII Леонард Эйлер (1707-1783) - заложил основы аналитиче¬ской теории чисел. Он первый стал применять метод ма-тематического анализа в теории чисел. Л.Эйлер создал теорию степенных вычетов. В теории чисел с именем Эй¬лера связаны: многочлен Эйлера, функция Эйлера, три знаменитые проблемы Эйлера, поставленные им в пере¬писке с Христианом Гольдбахом (1690-1764), две оста¬лись до сих пор нерешенными. XVIII - XIX 1) Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) - разработал теорию цепных дробей, доказал теорему о представимости чисел в виде суммы четьрех квадратов, нашел общее решение неопределенного уравнения 2-й степени. 2) Андриен Мари Лежандр (1752-1833) - дал первое по-следовательное и полное изложение современной ему теории чисел, а также вывел асимптотические формулы для числа простых чисел в натуральном ряде и арифме¬тических прогрессиях. 3) В формировании теории чисел, в смысле строгой ее систематизации, оказали существенное влияние работы выдающегося математика Карла Фридриха Гаусса (1777¬1855) : КЕМ была построена теория сравнений, заложены основы современной теории форм, введены в рассмотре¬ние тригонометрические суммы. XIX 1) Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859) - изучал закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем, ввел функциональные ряды особого вида. 2) Эрнст Эдуард Куммер (1810-1893) - создал теорию алгебраических чисел, методы которой оказали огром¬ное влияние на последующее развитие теории чисел. 3) Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) - получил ряд первоклассных результатов о простых числах, например, П.Л.Чебышев открыл формулу, позволяющую приближенно подсчитать количество простых чисел на любом участке натурального ряда. Также им были получены важные ре-зультаты в теории приближения чисел рациональными дробями. 4) Шарль Эрмит (1822-1901) - доказал трансцендент¬ность числа «е». 5) Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) - указал связь распределения простых чисел со свойствами дзета - функции. 6) Иван Михеевич Первушин (1827-1900) - составил таб¬лицу простых чисел до 10000000. Он посвятил этому труду более сорока лет. Это были первые (мощные) таб¬лицы простых чисел в России. Петербургская Академия наук нашла невозможным опубликовать таблицы Первушина из-за их большого объема (на 750 листах, заполненных мелким бисерным почерком), и рукопись была передана на хранение в архив Академии наук. Отметим, что составлением таблиц простых чисел зани¬мались и до И.М.Первушина (Катальди, Шутен, Я.Ф.Кулик) и, после И.М.Первушина, (К.Л.Бейкер, Ф.Ю.Грунберг, Дарфи и др.) . 7) Егор Ивановаич Золотарёв (1847-1878) - разработал теорию делимости целых алгебраических чисел. XX 1) Карл Луис Линдеман (1852-1939) - доказал трансцен-дентность числа « % » и, тем самым, неразрешимость задачи квадратуры круга. 2) Герман Минковский (1864-1909) - разработал геомет¬рию чисел, в которой используются геометрические ме¬тоды решения вопросов теории чисел. 3) Лев Генрихович Шнирельман (1905-1938) - создал но¬вый метод в теории чисел, а именно, доказал, что вся¬кое натуральное число, большее единицы, есть сумма не более С простых чисел. Правда, он указал довольно большое значение для числа слагаемых : С = 800000. В дальнейшем, усилиями математиков постоянная С - по¬степенно уменьшалась: в 1936 г. она была доведена до 67, а в 1950 г. - до 20. 4) Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983) - создал один из самых сильных и общих методов аналитической теории чисел - метод тригонометрических сумм. Следст¬вием найденного метода было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Эйлера: всякое нечетное число N есть сумма трех простых чисел. 5) Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959) - перенес методы метрической теории функций в теорию чисел и теорию вероятностей. 6) В настоящее время ЭВМ дают возможность эксперимен-тировать с очень большими числами. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ, РЕКСМЕНДУЕШЕ ДЛЯ ВКЛЮЧЕНИЯ В РАЗДЕЛЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ Предлагаемый материал составлен в соответствии с действующей программой. В нем указано в каком классе и при изучении какой темы могут быть привлечены те или иные исторические сведения. Для того, чтобы дополнить и развить предлагаемый материал учитель может вос¬пользоваться литературой, указанной в этом приложении. V КЛАСС Натуральные числа и число нуль О происхождении арифметики. Счет и десятичная система счисле¬ния. О происхождении и развитии письменной нумерации. Цифры разных народов. История нуля. «Арифметика» Л.Ф.Магницкого. Современная за¬пись больших чисел. Литература : [36], [47], [70], [134], [147]. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел и числа нуль Разнообразные таблицы для облегчения работы вычислителя в древ¬нем Египте, древнем Вавилоне, древней Греции. Первые счетные прибо¬ры. История появления современных арифметических действий. О проис¬хождении математических терминов. Арифметические знаки и обозначе¬ния. Литература : [36], [77], [111], [127], [143]. Делимость натуральных чисел Вклад великих математиков древности, средневековья, российских математиков в теорию простых чисел, О происхождении признаков дели¬мости. Таблицы простых чисел. Алгоритм Евклида. Нерешенные' задачи теории чисел. Литература : [36], [71], [87], [92], [143]. ' Дроби. Преобразование дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей О происхождении дробей. Дроби в древнем Египте, в древнем Риме, в древней Греции. Дроби на Руси. История записи дробей. Литература : [36], [48], [56], [77], [147]. VI класс Десятичные дроби. Сложение, вычитание, умножение и деление десяшичных дробей История метрических мер. Происхождение десятичных дробей. Обо-значение десятичных дробей. Распространение десятичных дробей. Литература : [36], [56], [70], [77], [131], [147]. Цроценшы. Пропорции. Пропорции в древней Греции. Как записывались пропорции в про¬шлом. Задачи на пропорциональное деление из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого. История возникновения процентов. Литература : [36], [118], [127], [131], [134]. Положительные и оарицашельньвэ числа Возникновение отрицательных чисел. Отрицательные числа в трудах математиков разных времен. Литература : [36], [56], [77], [127], [131]. ИСТОРИКО-НАУЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ РАССКАЗА УЧИТЕЛЯ НА УРОКАХ или на внеклассных занятиях На основе рассмотренных в исследовании требований отбора по ис¬тории математики в данном цриложении определено содержание историко- научного материала для формирования представлений о развитии матема¬тики при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов. Данный историко-научный материал легко организовать в хро¬нологические таблицы. История устной и письменной нумерации В настоящее время человечество говорит более чем на 2000 языках и, чтобы читать книги другого народа, надо знать его язык. Язык же математики один для всех людей. Почти все люди на земле записывают числа одними и теми же цифрами. Кто же изобрел эти десять цифр? Ка¬ким путем люди подошли к такой простой записи чисел? Чтобы узнать об этом, нам придется совершить путешествие во времени. Это позволит сделать - лента времени. 1000000 лет назад. Древнейшие люди живут под открытым небом. Они не умеют говорить - лишь отдельными звуками выражают гнев, страх, радость и т.д. Конечно, ни о каком счете они не думали - древние люди не умели считать. Прошли сотни тысяч лет. Какие же изменения произошли за это время? 100000 лет назад. Люди научились добывать огонь и делать про¬стейшие орудия охоты из камня: наконечники копий, ножи, гарпуны. Лю¬ди переселились в пещеры, отвоеванные у диких зверей. Охота и рыбо¬ловство остались их главными занятиями.. Они давали и пищу и одежду. Но и в это время они были разобщены, жили небольшими ¡группами, кото¬рые легко распадались и меняли свой состав. Можно предположить, что в этот период они ужу умели считать до двух. Два - это наиболее наглядное число: у человека столько рук, сколько крыльев у птицы, сколько глаз у волка и т.д. Но если пере¬считываемых предметов было больше двух, то люди говорили просто «много». «Много» было звезд на небе, но и пальцев на руке было тоже «много». 30000 лет назад. Как . жил человек? Ответить на этот вопрос нам помогают археологи. Они установили, что в это время люди живут общи¬нами. Произошло первое распределение обязанностей: охотой и изготов¬лением орудий труда занимаются наиболее сильные. Распределением до¬бычи руководят старейшины - самые опытные члены рода. Более сложные взаимоотношения в общине .привели ж к совершенствованию приемов сче¬та. Так, старейшинам надо было знать; сколько звериных шкур есть у них, хватит ли всем орудий охоты для следующего сезона.. В это время появляется пальцевый счет: предметы при счете стали сопоставляться с пальцами рук и ног. Ученые предполагают, что в это далекое от нас время люди считали так, как считали в XIX веке остро-витяне Новой Гвинеи. Об этом очень интересно пишет русский ученый- путешественник Н.Н.Миклухо-Маклай: «Папуас загибает один за другим .пальцы рук* причем .издает определенный .звук* например, «бе, бе, бе...». Досчитав до пяти, он говорит - «ибо-бе» (рука) , Затем он за-гибает пальцы другой руки, снова говорит «бе, бе...», пока не дохо¬дит до - «ибон-али» (две руки) . Затем он дальше, приговаривает «бе, бе...», пока не доходит до - «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-либо другого». 10000 лет назад. Несколько родов, живущих в одной местности, объединились в племена. Появились первые поселения. Хозяйство стало более сложным и обширным. Человек приручил диких животных. Зароди¬лось земледелие, научились вьращивать из зерен новые растения, обра¬батывать землю. Возникли более сложные взаимоотношения между сосед¬ними племенами. Появляется возможность обмена запасами пищи, орудия¬ми труда и охоты. Счет при помогли пальцев - не мог удовлетворять возросшие по-требности людей. Люди стали чаще пользоваться предметами - камешка¬ми, ракушками, зарубками на дереве. Более того, при счете большого числа предметов они стали объединять предметы в группы: по два, пять, десять, двенадцать, т.е. подошли к счету парами, пятерками, десятками, дюжинами. Для «записи» (запоминания) результатов они ста¬ли использовать зарубки на кости, на палочках, узелки на разноцвет¬ных шнурках. Наметился переход к записи чисел условными знаками - так начала зарождаться письменная нумерация. Египетская нумерация 9000 лет назад.. Мы оказались на берегу Нила в северной части Африки. В течение тысячелетий, упорный труд людей превратил долину Нила в густонаселенную земледельческую страну. Египтянин-земледелец не может обойтись без подсчетов: сколько зерна он собрал, сколько зерна уйдет на посев, а сколько можно отложить на еду. Как же решили проблему счета древние египтяне? Здесь, на бере¬гах могучего Нила мы впервые знакомимся с очень наглядной нумераци¬ей. Для записи чисел, древние египтяне употребляли иероглифы (знаки - рисунки), означающие: единицу, десять, сто, тысячу, миллион. В изображении иероглифов можно увидеть цветок лотоса (1000), измери¬тельную веревку (100), поднятый к верху палец жреца (10000), челове¬ка, поднявшего руки от удивления перед таким большим числом (1000000). Все остальные числа составлены из основных, с помощью сложения. Познакомиться с древней египетской системой счисления нам поможет таблица. Узловые числа древней египетской нумерации 1
<р 100 1000 г 10000 100000 1000000 Примеры
11 1998 I (0(0@@@ЛПЛП Г п п Вавилонская нумерация 6000 лет назад. Мы на берегу реки Евфрат, в том месте, где она сближается с рекой Тигр, - в могущественном Вавилонском государстве. Роскошные дворцы, величественные храмы, мощные оборонительные стены, башни, которые возвели древние вавилоняне. Строительство дворцов, земледелие, сооружение оросительных каналов и плотин приводят к дальнейшему развитию математических знаний. В развалинах древних городов археологи нашли множество глиняных табличек, исписанных очень мелкими клинообразными знаками. Установлено, что вавилонские математики для записи чисел ис-пользовали всего два знака: вертикальный клин - \~7 г обозначающий единицу, и угловой знак - , обозначающий десять. Считали они не десятками, а шестидесятками. Поэтому вавилонская система счисления не десятичная, а шестидесятеричная. Ниже, в таблице показана запись чисел первой сотни. Основание системы счисления - число 60 - вавило¬няне обозначали тем же знаком, что и единицу. Запись чисел вавилонян V ! УУ 2 V V У 3 УУУ ^ V УУ- V V? ■V V УУ у УУ7 УУУУ у ууу® УУУУ ууэ <3 10 <3 У и <1 ^з ^УУ ^УУ14 УУУ <3 УУ15 <3<320 V 31 <]<]у51 V 60 V <] 70 Прочитаем число: 33 • 60
1998 + 45, поэтому записываем: <1v пропус V ^ Vv (между разрядными слагаемыми лскаем место) Римская нумерация 3000 лет назад. Мы попадаем в могущественное Римское государст¬во. В это время под властью римлян находятся народа Италии, некото¬рые страны Азии и Западной Европы. Чтобы показать всему миру мощь и богатство своей империи, завоеватели возводят грандиозные и пышные постройки: арки, амфитеатры, многоэтажные дома. В математике Древ¬ний Рим сделал намного меньше других народов, но и у него был свой способ записи чисел, показанный в таблице. Узловые числа римской нумерации I - 1 V - 5 X - 1 с - 100 Ъ - 50 Б - 500 м - 1000 Происхождение римских цифр окончательно не установлено, (до историки полагают, что знак для единицы - это иероглиф, изображающий один палец; знак V - это раскрытая ладонь; знак X - две раскрытые ладони. Имеются специальные знаки и для некоторых других узловых чисел - 50, 100, 500, 1000. Остальные числа записываются при помощи этих знаков с применением сложения и вычитания. Для этого важно знать следующие два правила: 1. Если меньшая цифра стоит правее большей, то ее значение при-бавляется к значению большей, при этом, меньшую цифру можно писать трижды. 2. Если меньшая цифра стоит левее большей, то она вычитается из нее, повторение меньшей цифры в этом случае не допускается. С помощью этих правил можно записать- любые числа до четырех ты-сяч. А как записать числа еще большие? Для их записи в римской нуме¬рации имеется особый знак - после записи числа тысяч ставят латин¬скую букву «т». Например, ЪУтССУИ . Римские цифры и сейчас еще на¬ходят применение. Где вы их встречаете? Славянская нумерация 2000 лет назад. Мы находимся в начале I тысячелетия нашей эры в Средней и Восточной Европе. Здесь живут славяне, наши древние пред¬ки. Славяне имели- свой алфавит. Этот алфавит использовался и для за¬писи чисел, как показано в таблице. Славянская нумерация 1 „ К 2 , з/ > 4 , 7Г к 7 , У 8 9 , 3 г /1 'Д 10 ^ ^ 9П ^ 30 с 40 ^ 50 70 , ъ 80 90. Г К И 1 у 200 > С 300 > 400 500 _ , у 700 , 800 7 У У и? С I _ •
с*"^ Чтобы отличить (не путать) число от буквы, над буквой ставится специальный знак / - «титло». Число записывали так же, как и называли (не составляли исключения и числа второго десятка) . Как записать числа, больше 1000? Числа: 1000, 2000,...9000 славяне записывали теми же буквами, что и 1, 2, ...9, только снизу ставили знак Ж^Г —' ^ , Например: /JyZ 1000/ ^Ь ~ 2000{f^ 2222' Для обозначения чисел, больших - 9000, славяне обводили букву кружком. ^ ^ Например: (/>J ~ Ю000 (тьма), ~ 100000 (легион) Славянская нумерация употреблялась в России до XVIII века, по¬сле этого - только в церковных книгах. Десять индусских цифр К началу нашего летоисчисления индусы, населяющие Индию, имели уже богатые математические знания. Но эти знания долгое время не бы¬ли известны другим народам, так как пути в Индию проходили через вы¬сокие горы, или тысячи километров морских просторов. Первым чужим народом, которому посчастливилось поучиться у ин-дийских математиков, были их соседи - арабы. Арабские купцы с досто-инством оценили индийскую математику и, в частности, индусскую нуме¬рацию - 10 цифр. Они привезли эту удобную систему чисел к себе, а от них с индусской нумерацией познакомились и другие страны. Сейчас индусская позиционная система - вытеснила все другие за¬писи чисел и стала международным языком математиков. Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 - называются арабскими, хотя арабы лишь передали в Европу способ записи чисел, разработанный ин¬дусами. История развития натуральных чисел Натуральные числа - от латинского слова «natura» -природа. CL - L вв. до н.э. Понятие натурального числа, вызванное по¬требностями счета предметов, возникло во времена древнего каменного века (палеолита). На этом этапе развития народов, число воспринима¬ется не само по себе, а наряду с другими свойствами, характеризующи¬ми качественные особенности каждого из предметов, подлежащих пере¬числению. Слово «три», в контекстах: «три человека», «три озера», переда-валось различно, так как в сознании первобытного человека еще не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода. .Ь - XXX вв. до н.э. В этот период, число становится отвлечен¬ным, не зависящим от качества считаемых объектов. Источником возник¬новения понятия отвлеченного числа является появление эталонов сче¬та. У большинства народов, первым эталоном счета были пальцы Зарож¬дается пальцевый счет. XX" - XIX вв. до н.э. Счет предметов с помощью эталонов вызывает возникновение числовых обозначений. Наметился переход к записи чисел условными знаками. Начала зарождаться письменная нумерация (о кото¬рой речь шла выше) . История появления дробей Исторически, первым расширением понятия «числа» является при-соединение к натуральным числам дробных чисел. Введение в употребле¬ние дробных чисел связано с практической деятельностью людей. По¬требности более точного измерения явились причиной того, что единицы мер стали раздроблять на 2, на 3 и более частей. Отдел математики о дробях долгое время был одним из самых запутанных. Недаром, у немцев сохранилась поговорка: «попасть в дроби», что значит - «стать в ту¬пик». Так, например, в XVIII в. в европейских гимназиях даже не «добирались» до действий с дробями. XIX в. до н.э. В Древнем Египте были известны дробные числа. Египтяне использовали лишь дроби с единицей в числителе (исключение составляли только 2/3 и 3/4) . Записывали их следующим образом: свер¬ху рисовали овал - С^^) , а под ним знаменатель. Например: 1/5 = Для некоторых дробей использовались особые обозначения: 1/2 = , 2/3 = С^Р ' 1/3 3/4 = ' 1/4 i== Х Остальные дробные числа записывались как сумма простейших дробей. При такой системе записи чисел, производить арифметические действия было очень сложно. XVII в. до н.э. В Древнем Вавилоне в основу нумерации было по¬ложено число 60, поэтому и дроби были шестидесятеричные, т.е. рас¬сматривались 60-е, 3600-е и т.д. доли. Этой системе подчинялась и созданная там система мер и весов, в которой каждая последующая мера - больше цредыдущей в 60 раз. Отсюда ведет начало наше деление мер времени: часа, минуты, секунды - на 60 частей; круга - на 360. IV - III вв. до н.э. Интересная система дробей сложилась в Древнем Риме. Она основывалась на делении единицы веса на 12 долей, которая называлась «асс». 1/12 асса - называлась унцией. А время, путь и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Напри¬мер, римлянин мог сказать, что он прошел 7 унций пути ( т.е. 7/12 пути), или съел 5 унций пирога (т.е. 5/12 пирога). Для сложения и умножения дробей были составлены таблицы. Происхождение и развитие десятичных дробей III в. Китайские математики, с введением десятичной системы мер, начинают использовать десятичные дроби, но при записи они не пользуются десятичной нумерацией. Многие математики разных стран часто,, независимо .друг от друга, приходили к мысли об удобстве введения дробей со знаменателем, пред-ставляющим степень 10. XV в. Довольно полно г рассмотрел теорию десятичных дробей са-маркандский математик и астроном, создатель большой обсерватории - ал-Кашх .( • ? - 145 6.) . Он дал подробные правила действия .над десятич¬ными дробями, но в записи этих дробей у него не было запятой, разде¬ляющей целую часть от дробной части, ал - Каши отделял целую часть от дробной части разными способами: вводил вертикальную черту, писал название, разрядов, употреблял чернила разного цвета, заключал часом числа в прямоугольники. Труды ал - Каши долгое время не были извест¬ны европейским ученым. С.Стевин не был знаком с труда- XVI в. Десятичные дроби были открыты в Европе фламандским инже¬нером Симоном Стевином (1548 - 1620) . Его сочинение «О десятой», содержащее всего 7 страниц и изданное в 1585 г., излагает правила действий с десятичными дробями. Для записи десятичных дробей, он пользуется нумерацией разрядов. Например: 0,4915 он писал - (41) ми ал - Каши и действительно открыл десятичные дроби. Но, он открыл открытое. XVII в. В 1617 г. шотландский математик Джон Непер (1550-1617) ввел запятую, для отделения целой части от дробной. История появления отрицательных чисел II в. до н.э. У китайских математиков встречаются первые сведе¬ния об отрицательных числах. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные - как долг, недостача. Но, ни египтя¬не, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. VII - XII вв.' н.э. Лишь в VII в., индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с неко¬торым недоверием. Ицдийский математик Брамагупта (598-660) сформули¬ровал правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чи¬сел. Правила умножения и деления встречаем у Бхаскара (1114-1178), тоже индийского математики. XII - XVI вв. В Европе отрицательными числами начали пользо¬ваться с XII - XIII вв., до XVI в., как и в древности, они понима¬лись как долги. Большинство ученых считали их «ложными», в отличие от положительных чисел - «истинных». XVII в. Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика Рене Декарта (1596-1650) . Он предложил гео-метрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввел координатную прямую (1637 г.). Числа и цроблемы, связанные с понятием делимости и теорией делимости чисел Совершенные числа 1) Пифагор (580-500 до н.э.) и его ученики изучали вопрос дели¬мости чисел. Число равное сумме всех его делителей (без самого чис¬ла) , они называли совершенным числом. Например, числа: б (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) - совершенные. Пифа-горейцы знали только первые три совершенных числа - б, 28, 496. Совершенные числа весьма почитались в древнем мире. Например, египетская мера длины - «локоть» содержала 28 «пальцев»; самым по¬четным местом на пирах у римлян - было шестое; во многих обществах число членов равнялось - 28. Даже сейчас, следуя древней традиции, некоторые академии по уставу состоят из 28 действительных членов. 2) Евклид. (365-300) нашел правило, облегчавшее поиск совершен- в к-л. ных чисел. В «Началах» оно формулируется так: (2 - 1) -2 является совершенным числом, если число 2 - 1 простое. Легко заме¬тить, что все эти числа - четные. 3) Никомах из Герасы (II в. н.э.) писал в своем труде «Введение в изучение арифметики»: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые веши редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются подавляющее большин¬ство чисел, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц (однозначных чисел) их только одно - 6, среди десятков (двузначных), сотен (трехзначных) и тысяч (четырехзначных) - их .тоже .по одному: 2-8 у 496т -812.8 •• Характерно для них, что они попеременно оканчиваются на 6 и 8». Утверждение Никомаха о том, что совершенные числа попере¬менно оканчиваются цифрами б и 8 - оказалось неверным, как видно из приведенной ниже строки совершенных чисел: б, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, ... У Никомаха мы встречаем разделение четных чисел на совершенные, недосуга точные и .избыточные. Числа, сумма делителей которых (без са¬мих чисел) больше или меньше самого числа, явлж)тся соответственно - избыточными и недостаточными. Так, например, число 12 - избыточное, а число 8 - недостаточное: сумма делителей числа 12 (без 12) больше самого числа: 1+2+3 + 4 + 6 = 16, сумма делителей 8 (без 8) меньше его: 1+2+4=7. 4) Французский монах Марен Мерсенн (1588-1648) сыграл в истории науки большую и своеобразную роль ученого организатора. Его основная заслуга состояла в том, что он вел обширную переписку с большинством крупных ученых мира (у него было несколько сот корреспондентов) . Мерсенн умело концентрировал информацию и сообщал ее заинтересован¬ным ученым. Эта деятельность требовала своеобразного дарования: уме¬ние быстро понимать новое, хорошо ставить задачи.. Обладающий высоки¬ми нравственными качествами, Мерсенн пользовался доверием корреспон¬дентов . Как мы уже говорили, еще древнегреческий ученый Евклид заметил, что четные совершенные числа можно получить из формулы - /?-1 19 И1 2 -(2 - 1), при условии, что 2 - 1 - простые числа. Числа такого ви¬г? да изучал Мерсенн. Числа вида 2-1, так и называются с тех пор чис- У) лами Мерсенна. Он же установил, что числа вида 2-1 являются цро- стьми, если к - простое число. Например: 28 = 4 • 7 = 2 * (2 - 1), к = 3. Можно предложить учащимся показать это свойство на числе 496 : 436 = 2 * (2 - 1) . Где к = 5. 5) Французский философ и математик Реке Декарт /1596-1650) вы¬сказал мысль, что верно и обратное утверждение - утверждению Евкяи- гт-* я да: всякое четное совершенное число имеет вид - 2 -(2 - 1), где 2 - -1 - простое число. Оно облегчило поиск совершенных чисел. 6) Один из крупнейших математиков, швейцарец по происхождению, но большую часть своей жизни проживший в России, Леонард Эйлер (1707-1783) доказал это утверждение, используя функцию с (л), являющуюся суммой всех делителей натурального числа п. Дружественные числа Древнегреческими учеными открыты дружественные числа. Так они называли два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа (не считая самого числа) . Первая пара различных дружественных чисел: 220 =1+2+4+71= 142 и 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 +.55 + 110 - была известна древнегреческому ученому Пифагору (VI в. до н.э.), от¬крытие второй пары ( 17296, 18416 ) сначала приписывалось француз¬скому ученому П.Ферма (1601-1665), однако оказалось, что она была известна за три с половиной столетия до него. Большой вклад в отыскание дружественных чисел внес российский ученый Л.Эйлер (1707-1783), который в 1747-1750 гг. указал сразу 59 пар дружественных чисел. После Л.Эйлера пару дружественных чисел указали - французский ученый А.Лежандр (1752-1833) и российский уче¬ный П.Л.Чебышев (1821-1894). Первые 12 пар дружественных чисел: 220 и 284; 12285 и 14595 1114 и 1210; 17296 и 18416 2620 и 2924; 63020 и 76084 5020 и 5564; 66928 и 66992 6232 и 6368; 67095 и 71142 10744 и 10856; 69615 и 87633 Интересно, что следуЕсщей за первой парой по величине, была от¬крыта восьмая, а вторую (1114, 1210) нашел в 1866 году 16-ти летний итальянец Б.Паганини - однофамилец великого скрипача. Ее не заметили математики, открывшие к тому времени более 60 пар дружественных чи¬сел. В настоящее время благодаря применению ЭВМ, найдено около 11000 пар дружественных чисел, причем до 1000000 - всего 42. И по настоя¬щий день находят новые пары дружественных чисел. Так, в 1972 г. нидерландский математик Херман те Риле открыл пару, состоя¬щую из 152-значных чисел, одно из которых имеет 800, а другое - 3200 различных делителей. Но до сих пор неизвестно, конечно или нет множество пар друже-ственных чисел. В каждой известной паре либо оба числа четные, либо оба нечетные. Неизвестно, существуют ли пары дружественных чисел разной четности, или пары из взаимно простых чисел. Проблема Гольдбаха В 1742 году уроженец Кенигсберга, Христиан Гольдбах (1690-1764) - член Петербургской Академии наук в письме к другу, члену той же Академии, одному из величайших ученых - Леонарду Эйлеру (1707-1783), высказал предположение, что каждое целое число больше шести - может быть представлено в виде суммы не более, чем трех простых чисел. На¬пример: 8=3 + 5; 77 = 53 + 17 + 7. Многочисленные попытки доказать это предложение систематически заканчивались неудачами. Прошел XVIII в., а за ним XIX в., а задача Гольдбаха оставалась все такой же таинственной и недоступной: к ее решению приступали многие, но успеха не имели. На протяжении 200 лет над доказательством предложения Гольдбаха тщетно трудились многие крупные ученые, в том числе создатель теории множеств - немецкий математик Георг Кантор (1845-1918), проверивший предложение Гольдбаха для всех натуральных чисел до 1000. Казалось, что «проблема Гольдбаха превосходит силы современной математики». Цит. по [39]. Эти слова были сказаны в 1912 г. на Международном ма¬тематическом конгрессе в Кембридже, одним из лучших знатоков теории чисел начала нашего века, Эдмунтом Ландау (1877-1938) . Первый крупный успех в проблеме Гольдбаха был достигнут в 1930 г. молодым русским математиком Львом Генриховичем Шнирельманом (1905-1938) . С помощью особо созданного им приема, удалось показать, что всякое целое число п {п> 1) может быть представлено в виде суммы не более чем, примерно 800 000 слагаемых, которые являются либо про¬стыми числами, либо нулями. Принципиальный шаг был сделан, осталось улучшать найденный метод и уменьшать полученную оценку. На э$от путь и встали многие математики. Н.П.Романов, воспитанник Московского университета, в 1935 г. показал, что число необходимых слагаемых не превосходит 2208, Э.Ландау, улучшив оценку Шнирельмана, уменьшил верхнюю границу для числа необходимых слагаемых до 71. Итальянский математик Ричи в 1937 г. уменьшил это число еще на 4, доведя его до 67. Понятно, что такое понижение верхней границы для числа слагае¬мых могло бы продолжаться и дальше, так как едва ли исчерпаны все возможности улучшения метода Шнирельмана. Но вступили в действие но¬вые обстоятельства: русскому математику Ивану Матвеевичу Виноградову (1891-1983) - питомцу Петербургской математической школы, основанной Чебыпевым, в том же 1937 г. удалось совершенно новым методом, путем рассмотрения тригонометрических сумм показать, что всякое нечетное число, больше некоторого числа М, является суммой не более чем трех простых чисел. Метод, который был разработан И.М.Виноградовым и ре¬шение им проблемы Гольдбаха, являются выдающимися достижениями мате¬матической мысли нашего века, так как задача Гольдбаха считалась од¬ной из труднейших задач в математике. Надо заметить, " что число Ш было оценено в 1939 г. К.Г.Бороздкиньм, который показал, что оно не больше чем е В Приложении использовалась литература: [16], [18], [26], [36], [48], [56], [70], [77], [92], [131], [141], [147]. ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ чисел. простые числа» для 10 - 11 классов Фундаментом всей математической подготовки учащихся является изучение чисел, которое представляет широкие и разнообразные возмож¬ности для развития учащихся. При изучении чисел у учащихся формиру¬ются и вырабатываются вычислительные навыки. На примере расширения понятия числа иллюстрируется процесс познания, от незнания - к не¬полному знанию, от неполного знания - к более полному. С простьми числами мы встречались в элементарной арифметике, но они играют важную роль и в других разделах математики. В курсе мате-матики средней школы представление о простом числе дается скудное. В основном дается определение простого числа, разложение натуральных чисел на простые множители. В связи с желанием расширить знания по теории чисел, были разработаны содержание и методика факультативных занятий по теме «Элементы теории чисел. Простые числа» для 10-11 классов. В данном приложении приводится только перечень тем занятий этого факультативного курса. Курс состоит из двух разделов: 1. Простые числа (8 занятий). 2. Числа Пифагора (3 занятия) . № занятия Тема занятия 1 Простые и составные числа. 2 Теорема Евклида. 3 Решето Эратосфена. 4 Поиски формулы простого числа. Распределение простых чисел в натуральном ряду. 5 Основная теорема арифметики. Сумма делителей нату¬рального числа. Число делителей натурального числа. б Дружественные числа. 7, 8 Совершенные числа. 9, 10, 11 Числа Пифагора. Первый раздел посвящен простому числу, его свойствам. Цель: дать более полное представление и более глубокие шания о простом числе, тем самым не только восполнить пробел, но и сделать шаг вперед с возможностью дальнейшего изучения. Второй раздел посвящен числам Пифагора. Цель: познакомить учащихся с интересньм видом чисел. Научить решать задачи, связанные с нахождением пифагоровых троек (х, у, г) . Занятие № 1. Простые и составные числа Цель: установить, что знают учащиеся о простом числе. На приме¬ре развития теории чисел проиллюстрировать процесс развития матема¬тики. План 1. Установление уровня знаний. 2. Исторический обзор развития теории чисел. 3. Понятие простого числа, составного числа. Решение задач. Занятие № 2. Теорема Евклида Цель: повторить с учащимися определение простого и составного числа. Решить ряд задач, основываясь на определениях простого и со-ставного чисел. Рассмотреть теорему о том, что всякое составное чис¬ло имеет, по крайней мере, один простой делитель; теорему Евклида о бесконечном множестве простых чисел. План 1. Теорема о том, что всякое составное число имеет, по крайней мере, один простой делитель. (Эта теорема используется для доказа-тельства теоремы Евклида) . 2. Решение задач по теме занятия. 3. Теорема Евклида о бесконечном множестве простых чисел. Занятие № 3. Решето Эратосфена Цель: показать, что хотя простых чисел и бесконечное множество, но они составляют часть натуральных чисел. Выделить методы распозна¬вания простого числа. Познакомиться с одним из видов простых чисел. План 1. Теорема о том, что в натуральном ряду существуют сколь угод¬но большие промежутки, заполненные одними только составными шслами. 2. Методы определения простого числа. Исторические комментарии. 3. Решение задач по теме занятия. 4. Числа Мерсенна. Занятие № 4. Поиск формулы простого числа. Распределение простых чисел в натуральном ряду Цель: познакомить учащихся с новыми видами (формулами) простого числа. Рассмотреть теорему: любой многочлен с целыми коэффициентами при некотором натуральном значении аргумента принимает значение, представляющее собой составное число. Познакомить учащихся с функци¬ей п (х) - число простых чисел меньших или равных х. Познакомить уча¬щихся с именем П.Л.Чебышева. План 1. Числа Ферма. 2. Многочлен Эйлера. 3. Решение задач по теме занятия. 4. Теорема о том, что любой многочлен с целыми коэффициентами при некотором натуральном значении аргумента принимает значение, представляющее собой составное число. 5. Функция 71 (х) - число простых чисел, меньших или равных х. 6. Теорема П.Л.Чебышева. а) неравенство Чебышева; б) между числом п и 2п-2, начиная с 4 (п = 4), содержится по меньшей мере одно простое число. Занятие № 5. Основная теорема арифметики. Сумма и число делителей натурального числа Цель: сформулировать основную теорему арифметики. Выяснить, что есть каноническое разложение целого числа. Повторить, что такое фак-ториал. Дать исторические комментарии, связанные с признаками дели¬мости. Рассмотреть: числовую функцию а (п), где п -натуральное число, числовую функцию х (п), где п - натуральное число. А также, теорему о числе положительных делителей натурального числа. План 1. Основная теорема арифметики. 2. Определение канонического разложения натурального числа. Ре-шение задач. ' 3. Исторические комментарии, связанные с признаками делимости! 4. Числовые функции а (п) и т (п), где п - натуральное число. 5. Теорема о том, что если рг -р2 •... рв - каноническое разло-жение натурального число Ы, то количество делителей числа определя¬ется формулой: т (п) = ((Х1+1) (аг+1) ... (а з+ 1) . Занятие № 6. Дружественные числа Цель: дать понятие дружественных чисел. Рассмотреть теорему Са¬бита. Познакомить учащихся с малой теоремой Ферма. Рассмотреть метод получения дружественных чисел. План 1. Определение дружественных чисел. 2. Теорема Сабита о нахождении дружественных чисел. 3. Деятельность Ферма и Декарта в области математики. Малая теорема Ферма. 4. Исторические комментарии, связанные с поиском дружественных чисел и определением их количества. 5. Метод получения дружественных чисел. Решение задач. Занятие 17. Совершенные числа Цель: дать понятие совершенного числа (на основе исторических комментариев) . Показать, что до сих пор история совершенных чисел ставит перед учеными новые вопросы. Дать определение совершенного числа и доказать теорему, которая объединяет в себе два утверждения, доказанных Евклидом и Эйлером. Показать связь между совершенными числами и числами Мерсенна. План 1. Понятие совершенного числа. Исторические факты. 2. Определение совершенного числа. 3. Теорема: четное число л является совершенным тогда и только я-1 г? ц тогда, когда оно имеет вид п = 2 • (2 -1), где к > 2, а Р=2 -1 - простое. 4. Решение задач по теме занятия. Занятие № 8. Совершенные числа Цель: вспомнить связь совершенных чисел с числами Мерсенна. По-казать примеры совершенных чисел и пояснить, что до нашего времени ведется работа по отысканию новых совершенных чисел. План 1. Примеры совершенных чисел. 2. Проблема поиска совершенных чисел. Исторические факты. 3. Решение задач по теме занятия. Занятие № 9. Числа Пифагора Цель: познакомить учащихся с числами Пифагора. Ввести понятия: пифагорова тройка, простейший треугольник. Доказать два утверждения, связанные с числами простейшей тройки. Показать нахождение простей¬ших решений уравнения Пифагора. План 1. Целочисленное решение уравнения Пифагора. 2. Введение понятий: «пифагорова тройка» (х,у,гг); простейший треугольник. 3. Доказательство утверждений: а. Никакие два числа из простейшей тройки не имеют общего мно-жителя, отличного от 1, т.е. они взаимно простые. б. х и у из простейшей тройки (х, у, г) не могут быть оба не-четными. 4. Вывод формулы для нахождения простейших решений уравнения Пифагора. Решение задач. Занятие № 10. Числа Пифагора Цель: показать еще один способ нахождения простейших решений уравнения Пифагора. Рассмотреть ряд задач о нахождении треугольника Пифагора по одной из трех его сторон. План Нахождение простейших решений треугольника Пифагора, с помо¬щью понятия комплексного числа. Рассмотрение примеров и решение задач на нахождение длин сторон треугольника Пифагора. (Это занятие необходимо проводить только после изучения ком- плексньк чисел. Это будет удачно, так как комплексные числа получат подтверждение об их значении) . Занятие № 11. Числа Пифагора Цель: познакомить учащихся с новыми формулами и с новым типом задач о нахождении треугольника Пифагора, если известна его площадь. План 1. Формула площади простейшего треугольника Пифагора. Решение задач. 2. Формула площади треугольника Пифагора, не являющегося про-стейшим. Решение задач. жүктеу/скачать 212,88 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|